2023届上海市虹口中学数学高二第二学期期末考试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的定义域是，则的展开式中的系数是（）A． B．192 C． D．2302．若6名男生和9名女生身高（单位：）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为()A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，1683．．设(x1,y1),(x2,y2A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(4．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．5．从位男生，位女生中选派位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有位女生的选法共有()A．种 B．种C．种 D．种6．设双曲线C：的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C的方程是（）A． B． C． D．7．有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（）A．922 B．716 C．98．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③9．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A．k2+1C．k2+111．设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（）A．1 B．2 C． D．12．方程的实根所在的区间为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正数满足，则的最小值____________．14．已知命题任意，恒成立，命题方程表示双曲线，若“”为真命题，则实数的取值范围为_______.15．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____.16．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）附参考数据：；；．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在直角坐标系中,直线的参数方程为是为参数）,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)判断直线与曲线的位置关系；(2)在曲线上求一点,使得它到直线的距离最大,并求出最大距离.18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+255ty=1+55t（t为参数），以（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）点P1,1，直线l与曲线C交于A,B两点，若PA⋅PB19．（12分）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点为线段上靠近点的三等分点．求点的坐标：若点在轴上，且直线与直线垂直，求点的坐标．20．（12分）设函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，对任意恒成立，求整数的最大值.21．（12分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.椭圆的左顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于另一点.若直线交轴于点，且，求直线的斜率.22．（10分）某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：家庭人口数12345678910家庭数20294850463619843（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

函数的定义域是可知，-1和2是方程的两根，代入可求得值，再根据二项式定理的通项公式进行求解即可【详解】因为的定义域，所以-1和2是方程的两根，将-1代入方程可得，则二项式定理为根据二项式定理的通项公式，，的系数答案选A【点睛】本题考察了一元二次方程根与系数的关系，二项式定理通项公式的求法及二项式系数的求法，难度不大，但综合性强2、C【解析】

根据平均数和中位数的定义即可得出结果.【详解】6名男生的平均身高为,9名女生的身高按由低到高的顺序排列为162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位数为168.故选:C.【点睛】本题考查由茎叶图求平均数和中位数,难度容易.3、D【解析】因回归直线一定过这组数据的样本中心点(x点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a,b，写出回归方程，回归直线方程恒过点4、D【解析】

先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．5、B【解析】

由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生．当选到的是两个男生，两个女生时共有C52C42=60种结果，当选到的是三个男生，一个女生时共有C53C41=40种结果，根据分类计数原理知共有60+40=100种结果，故选B．6、D【解析】

利用双曲线的一个顶点坐标为，求得的值，即可求得双曲线的方程，得到答案.【详解】由题意，因为双曲线的一个顶点坐标为，所以，所以双曲线的标准方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7、A【解析】

先求出从12人中选3人的方法数，再计算3人中有1人是老师的方法数，最后根据概率公式计算．【详解】从12人中选3人的方法数为n=C123=220，3人中愉有∴所求概率为P=m故选A．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出完成事件的方法数．8、B【解析】

说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.9、A【解析】

先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图像，即可求出结果.【详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，，，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.10、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4+n22时，当n=k+【详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./11、C【解析】

由复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0可得答案.【详解】解：，复数为实数，可得，，故选：C.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，属于基础题，注意运算准确.12、B【解析】

构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．【详解】构造函数，则该函数在上单调递增，，，，由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.【点睛】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据条件可得，然后利用基本不等式求解即可．【详解】，，当且仅当，即时取等号，的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题．14、【解析】

根据题意求出命题P，Q的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化判断即可.【详解】当时，不等式即为，满足条件，若，不等式恒成立，则满足，解得，综上，即；若方程表示双曲线，则，得，即；若“”为真命题，则两个命题都为真，则，解得；故答案是：.【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有复合命题的真值，根据复合命题的真假求参数的取值范围，在解题的过程中，注意对各个命题为真时对应参数的取值范围的正确求解是关键.15、【解析】

基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案为：．【点睛】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16、【解析】

计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.【详解】由题意可知，，事件为，，，所以，，，由条件概率公式得，故答案为：.【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)相离；(2).【解析】

把直线参数方程化为普通方程，曲线极坐标方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，然后与半径比较大小即可作出判断圆上一点到直线的距离最大为，求出过圆心与直线垂直的直线方程，与圆的方程联立确定出此时的坐标即可【详解】(1)易得直线的方程为,曲线的方程为,圆心,半径,圆心到直线的距离,所以直线与曲线相离.(2)易得点到直线的最大距离为,过圆心且垂直于直线的直线方程为,联立,所以,易得点.【点睛】本题主要考查了将参数方程和极坐标方程转化为普通方程，然后判断直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离即可作出判断，属于基础题18、（Ⅰ）x-2y+1=0，y2（Ⅱ）a=0或1．【解析】

（Ⅰ）利用极直互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程，消去参数t求出直线的普通方程即可；（Ⅱ）联立直线方程和C的方程，结合二次函数的性质得到关于t的方程，由t的几何意义列方程，解出即可．【详解】（Ⅰ）∵C:ρsin∴ρy2而直线l的参数方程为x=1+255则l的普通方程是：x-2y+1=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y2=2ax①，l的参数方程为x=1+2将②代入①得：t2故t1由PA⋅PB解得：a=0或1．【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程以及普通方程的转化，考查直线和曲线的位置关系，是一道常规题．19、（1）（2）【解析】

（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P的坐标．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q的坐标．【详解】设，因为，所以，又，所以，解得，从而．设，所以，由已知直线与直线垂直，所以则，解得，所以．【点睛】本题主要考查了线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．20、（Ⅰ）当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（Ⅱ）2【解析】

（Ⅰ）根据解析式求得导函数，讨论与两种情况，结合一元二次方程的根即可由导函数符号判断函数的单调性；（Ⅱ）将代入解析式，并代入不等式分离参数，构造函数，求得，在令，由即可证明在单调递增，再根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，进而由单调性求得，整理化简后可得，即可得整数的最大值.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，，当时，恒成立，所以在内单调递增.当时，由得，，，且在区间内，在区间内.综上可得，当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（Ⅱ）将代入函数解析式