梁的弯曲问题的强度计算

梁的弯曲问题的强度计算[内容提要]主要介绍弯曲变形的基本概念和弯曲变形的内力，以及内力图的绘制和等截面直梁平面弯曲正应力和切应力的计算。重点是内力图的绘制和梁的弯曲强度条件及其计算。1平面弯曲的概念·工程实例1.1平面弯曲的概念建筑结构中很多杆件承受的荷载，是一组作用线垂直于杆件轴线的力（我们称这种力为横向力），或者是通过杆件轴线平面内的外力偶。在这些外力的作用下，杆件的横截面要发生相对的转动，杆件的轴线也要变弯，这种变形称为弯曲变形。凡是以弯曲变形为主要变形的构件，通常称为梁。梁的轴线方向称为纵向，垂直于轴线的方向称为横向。梁的横截面是指垂直于梁轴线的截面，一般都具有对称性，存在着至少一个对称轴。常见的横截面形状有圆形、矩形、工字形和T形等。梁的纵平面是指通过梁轴线的平面，有无穷多个。我们在这里只讨论有纵向对称面的梁。所谓纵向对称面，是指梁的横截面的对称轴与梁的轴线这两条正交直线所构成的平面。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，那么梁的轴线变形后所形成的曲线仍在该平面（即纵向对称面）内。这样的弯曲变形，我们称之为平面弯曲，如图8-1所示。产生平面弯曲变形的梁，称为平面弯曲梁。本章只讨论平面弯曲梁如果梁只受集中力的作用，不受集中力偶的作用，且集中力的作用线都垂直于梁的轴线，这些外力称为横向外力。平面弯曲梁在横向外力作用下发生的弯曲变形称为横力弯曲，如图8-2(a)所示。如果平面弯曲梁只受平面力偶的作用，且平面力偶都作用在梁的纵平面内，这时梁的变形称为纯弯曲，如图8-2(b)所示。(a)(b)图8-21.2工程实例梁是在工程结构中应用的非常广泛的一种构件。例如图8-3(a)、(b)、(c)所示的梁式桥的主梁、火车车轴、房屋建筑中的梁等。它们的主要变形就是弯曲变形。1.3梁的计算简图在进行梁的工程分析和受力计算时，不必把梁的复杂工程图按实际画出来，而是以能够代表梁的结构、荷载情况及作用效果的简化的图形来代替，这种简化后的图形称为梁的计算简图。梁的计算简图也可称为梁的受力图。在计算简图上应包括梁的本身、梁的荷载、支座或支座反力。梁的本身可用其轴线来表示，但要在图上标明梁的结构尺寸数据，有时也需要把梁的截面尺寸表示出来。梁上的荷载因其作用在梁的纵向对称面内，可以认为就作用在轴线上，因而可以直接画在轴线上，并标明荷载的性质和大小。一般来讲，梁的荷载有均布荷载、集中力和集中力偶，分别用q、F、Me表示，如图8-4所示。梁的支座最常见的有三种，即固定端支座、固定铰支座和活动铰支座。图8-4图8-5(a)、(b)就是图8-3(a)、(b)所示的的梁式桥的主梁、火车车轴的计算简图。图8-5(a)表示的公路桥梁，用轴线代表梁体。支座为典型的固定铰支座和活动铰支座，梁的自重简化为均布荷载，汽车前后轮给路面的作用力简化为集中力。图8-5(b)表示的火车车轴，因主要承受横向荷载，当作梁看，用轴线代表车轴。为了反映钢轨能对车轴产生横向约束和轴向约束，梁的支座用一个固定铰支座和一个活动铰支座表示。q图8-5

1.4静定梁的基本形式作为工程中主要承受弯曲的构件，梁具有多种形式。如果只从梁的支座反力（即约束）的个数与梁的静力平衡方程的个数之间的关系上来划分梁，梁可以分为静定梁和超静定梁。1．静定与超静定的基本概念一般来讲，梁上的荷载和支座反力构成的是一个平面一般力系，至多有三个静力平衡方程（如果梁上的荷载和支座反力构成了平面平行力系或平面汇交力系，则只有两个静力平衡方程）。如果梁的支座反力的数目等于梁的静力平衡方程的数目，就可以由静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为静定梁，如图8-6(a)所示。反之，如果梁的支座反力的数目多于梁的静力平衡方程的数目，就不能用静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为超静定梁，如图8-6(b)所示。本章所讨论的主要是静定的平面弯曲梁。(a)(b)图8-62．静定梁的三种基本形式工程上常用的梁按支座对其约束情况可分为三种结构形式：简支梁、外伸梁和悬臂梁，其计算简图如图8-7(a)、(b)、(c)所示。(a)(b)(c)图8-72梁的弯曲内力2.1剪力与弯矩1.剪力与弯矩的概念梁在横向荷载作用下，将同时产生变形和内力。梁横截面处的内力是指横截面以左、以右梁段的相互作用，内力专指横截面上分布内力的合力。当作用在梁上的外力（荷载和支座反力）已知时，可用截面法求梁某截面处的内力。以图8-8(a)所示简支梁为例，梁上作用有集中力荷载，现利用截面法求任意截面m—m的内力。2梁的弯曲内力2.1剪力与弯矩第一步，取梁整体为截离体，求出两端支座的约束反力和。第二步，用m—m截断杆件，取左半部分或右半部分为截离体，并在截离体上以正的方向标出截面的内力，如图8-8(b)、(c)所示。第三步，在截离体上建立平衡方程，根据静力平衡条件求出截面的内力。

称为剪力，是作用在截离体相应截面上分布内力向截面形心简化的主矢。

得得力偶矩称为弯矩，是作用在截离体相应截面上分布内力向截面形心简化的主矩。取右半部分为截离体，可求得：取左半部分为截离体，可求得：从上述的计算中可以看出，无论是取截面的左半部分还是右半部分为截离体，截面内力的计算结果都是一致的。但图8-8中取左、右截离体为研究对象求得的剪力和弯矩是大小相等、方向相反的作用力与反作用力。为使同一截面的剪力和弯矩不仅大小相等，而且正负号一致。根据变形规定剪力和弯矩的正负号，如图8-9所示。

图8-9剪力使截离体产生顺时针方向旋转时为正，反之为负；弯矩使截离体产生上侧纤维受压、下侧纤维受拉，即截离体的轴线产生上凹下凸的变形时为正，反之为负。【例8-1】求图8-10(a)所示简支梁C、D截面的剪力和弯矩。

(b)

(c)图8-10解:（1）求支座反力取梁整体为截离体，建立静力平衡方程。（2）求C截面的剪力和弯矩假想沿C截面把梁截成两段，取受力较简单的左段为研究对象，如图8-10(b)所示。

计算结果表明，截面的剪力和弯矩为正值，与图中所画的方向相同。

（3）求D截面的剪力和弯矩假想沿D截面把梁截成两段，取受力较简单的右段为研究对象，如图8-10(c)所示。计算结果表明，截面的弯矩为正值，与图中所画的方向相同，截面的剪力为负值，与图中所画的方向相反。【例8-2】求图8-11(a)所示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩。解:（1鉴）求支戒座反力取梁整体狂为截离体漏，建立静缘瑞力平衡方乎程。计算结兆果表明绪，截面晶的剪力推和弯矩赛为正值疫，与图僵中所画裂的方向爆相同。（3）锈求2-反2截面室的剪力陡和弯矩假想沿方2-2采截面把俗梁截成藏两段，规取受力暴较简单库的右段裙为研究变对象，瘦如图8寸-11逃(c)耗所示。计算结果齿表明，截轿面的弯矩号为正值，香与图中所付画的方向位相同，截啦面的剪力杯为负值，宝与图中所折画的方向嗓相反。综上所述抵可知：1.横裂截面上富的剪力傻在数值围上等于腿截面左三侧或右牌侧梁段复上外力要的代数秒和。左任侧梁段蚂上向上过的外力各或右侧朱梁段上概向下的草外力将没引起正锤值的剪伙力；反浅之，则弱引起负你值的剪怠力。2.横苗截面上餐的弯矩润在数值虚上等于逗截面左韵侧或右昏侧梁段烈上外力其对该截胜面形心朋的力矩惑之代数院和。1)不番论在左帐侧梁段桑上或右夹侧梁段恨上，向腾上的外雷力均将湖引起正博值的弯脉矩，而疼向下的误外力则毅引起负垒值的弯燥矩。2)截保面左侧貌梁段上络顺时针声转向的粪外力偶杏引起正框值的弯共矩，而尿逆时针恢转向的笨外力偶夫则引起祖负值的突弯矩；歼截面右劝侧梁段裕上的外精力偶引屡起的弯验矩其正竟负与之岸相反。2.2候剪力萍图和弯死矩图梁在外力武作用下，朋各截面上控的剪力和生弯矩沿轴故线方向是吵变化的。蜓如果用横劝坐标x(其方向钢可以向左纯也可以向邀右)表示害横截面沿缓梁轴线的国位置，则早剪力和弯拐矩都可以宴表示为坐障标x的函数，家即这两个方应程分别称哪为梁的剪剩力方程和乒弯矩方程割。与绘制轴臭力图或扭房诚矩图一样挖，可用图项线表示梁男的各横截熊面上剪力肢和弯矩沿扮梁轴线的慰变化情况拌，称为剪诵力图和弯恒矩图。剪询力图的绘尸制与前面窄章节中所屑讲的轴力哈图和扭矩升图的绘制殊方法基本燥相同，正去剪力画在x轴的上留方，负愤剪力画葡在x轴的下方计，并标明遥正负号。愉弯矩图绘挂制的规定星和弯矩正斧负号的规洋定，弯矩非画在梁的份受拉侧，己即正弯矩悬画在x轴的下烧方，负倦弯矩却旬画在了x轴的上蒸方，而荐不须标烂明正负陶号。下面举例失说明建立蜜剪力方程爽、弯矩方纤程以及绘统制剪力图婶、弯矩图晓的方法。【例8株-3】蔽作雨图8-屯12(障a)所捕示简支粒梁的剪爹力图和吉弯矩图泊。解:（1）圣求支座反沈力（3）狮画剪力吗图和弯盛矩图由剪力横方程和郑弯矩方搞程中可阳以看出雪，C点是分荣段函数赠的分界集点，也挠是剪力乒图和弯应矩图的承分界点阴。剪力羡图是两板条水平栏线，在赴集中力F作用点C处剪力图泉产生突变量，突变值趣等于集中旨力的大小喇，弯矩图蚕是两条斜洒率不同的术斜直线，乳在集中力F的作用为点C处相交幕，形成递向下凸似的尖角侧。梁剪胖力图和墙弯矩图徐分别如匙图8-嫂12(累b)、洲(c)煮所示。如果续，最耻大剪力发德生在的集渐中力F的左侧一烘段梁内，茧；最轿大弯矩发席生在集中挖力F的作用乡丰点C处，此。根据求叹出的各脉值，画臣出梁剪嫩力图和违弯矩图监分别如大图8-渴13(舱b)、负(c)巧所示。最大剪力帜发生在A、B两支座候的内侧忙截面上胶，肆,而该处妄的弯矩烘为0；最大弯票矩发生内在梁的数中点截旁面上，傅，而该处的臂剪力为0炕。【例8忍-5】谣作便图8-嫩14(拍a)所孔示悬臂粉梁的剪开力图和届弯矩图鸡。解：此题是牛悬臂梁承洞受端部集记中荷载的利问题。悬盾臂梁问题环的求解有边一定的特盖殊性，这栽是因为悬句臂梁有自蚊由端存在内，在进行境受力分析夜时，可以程不求支座撒反力，而饭从自由端挤直接计算箱。（1）禁取如图虹所示的湾B点为招坐标原仍点，以x为坐标住轴，取x的右侧普截面为组截离体熔，列出遣剪力方炊程和弯段矩方程（2）画序剪力图和芽弯矩图从内力方娇程可以看舌出，剪力损图是一条遣水平线，冬弯矩图是吼一条斜线俘。梁的剪乔力图和弯笑矩图分别服如图8-萝14(b斥)、(c目)所示。最大剪昼力和最欠大弯矩稍发生在络悬臂端(a)的右侧次截面上肥，分别丈为增和计。【例8趋-6】鄙作昆图8-筑15(筹a)所垂示简支硬梁的剪饮力图和灶弯矩图随。解:职（1）笑求支座腊反力（2）延列剪力紧方程和士弯矩方晃程取图中的A点为坐翠标原点蓄，建立x坐标轴。因为AC、终CB段的内劈燕力方程靠不同，昼所以应除分别列说出。两雀段的内掉力方程梯分别为岗：AC段：CB段：（3）画婶剪力图和锅弯矩图从剪力方翅程中可以谦看出，剪绪力图是一部条与x轴平行的闹直线。从宝弯矩方程盗中可以看逮出，C点至是分段函暗数的分界旬点，也是赚弯矩图的辩分界点，植弯矩图是红两条互相炼平行的斜弓直线，C点处弯矩疯出现突变焰，突变值眼等于力偶筹矩的大小削。梁剪力布图和弯矩生图分别如岩图8-1票5(b)郊、(c)伟所示。如果，跨最大弯猎矩发生揪在集中输力偶Me的作用处题稍右的截阁面上，储。不管归集中力偶Me作用在夕梁的任嫌何截面右上，梁把的剪力界都与8土-15旅(b)款一样，巾。由以上傻例题可仇总结出肝弯矩、穷剪力和弓荷载集买度之间抖的关系绕，从而萄得出剪柏力图和猛弯矩图今的分布傲规律：（1）梁船上无均布商荷载作用腊的区段，竖即q(x)=0扯的区段俩，FS图为一条腥平行于梁捕轴线的水佩平直线，M图为一斜龄直线，当FS(x)=0忆时，弯销矩图为束水平直坐线；当FS(x)>0时令，弯矩图岸为向右下喷倾斜的直段线；当FS(x)<0时赠，弯矩图恼为向右上雅倾斜的直器线。（2）嘴梁上有束均布荷粉载作用钢的区段梢，即q(x)=(鸦c)的挨区段，狠剪力图震为斜直仇线，M图为二锯次抛物永线。当q(x)>0（洞荷载向上季）时，剪章力图为向膊右上倾斜眨的直线，漏弯矩图为厦向上凸的餐抛物线；池当q(x)<0（效荷载向下逝），剪力裹图为向右善下倾斜的往直线，弯权矩图为向钞下凸的抛征物线。（3）键梁上有厨按线性俊规律分肌布的荷决载作用剥的区段否，即q(x)为一次复线性函数事的区段，FS图为二次型抛物线，M图为三次束抛物线。（4）赴在集中蒸力作用猾点处，FS图出现突偏变，方向赵、大小与盾集中力同最，而M图没有糖突变，牧但由于FS值的突究变，在利集中力僻的作用骂点处形及成了尖婚点，突卵变成的锐尖角与耳集中力像的箭头衰同向。（5）在浆集中力偶已作用处，FS图没有变排化，M图发生突庙变，顺时毕针力偶向桨下突变，翅逆时针力钻偶向上突吵变，其差轮值即为该清集中力偶苍，但两侧M图的切线另应相互平此行。（6）扫剪力为竿零的截册面上，烘弯矩值昨为极值舟。根据上述涌结论，在四绘制梁的犯内力图时惠，不必写盐出梁的内表力方程，绢直接由梁产的荷载图后就能定出若梁的剪力厚图和弯矩驰图。因而跟，可以将籍梁按荷载阵的分布情凡况分成若厌干段，利类用q(x)、FS(x)、M(x)三者蚕之间的警关系判偶断各段个梁的剪荣力图和城弯矩图跃的形状瞧，计算贤特殊截鞭面上的封剪力值晨和弯矩秘值，进拨而可以扶绘制整轮个梁的怪剪力图宵和弯矩扁图。【例8-糠7】站简支梁在旧中间部分鼓受均布荷夕载q=10职0kN浆/m作用怕，如图8浸-16(陡a)所示衔。试绘制躬简支梁的弦剪力图和帽弯矩图。解：（1严）求支肃座反力陈。此梁沉的荷载档及约束枪力均与毯跨中对隙称，故播反力FA，FB为梁的DB段，由正于剪力壤为负值墓的常量清，故弯锅矩图应艺为向右璃上倾斜观的的斜唇直线。跪因为梁锣上D点处无集匠中力偶作樱用，故弯弓矩图在D截面处不颗应有突变跪，B支座处蹲弯矩为毕零。梁滚的弯矩芝图如图珠8-1含6(c膝)所示置。2.3冲叠加法作修内力图1.叠罪加原理在小变形类和线弹性扛假设的基栽础上，梁芽上任一荷勤载所产生关的内力不朗受其他荷去载的影响朽。也就抬是说，认周为各荷载喜的作用及吃作用效应领是相互独换立、互不乔干扰的。再可以先分冻别计算出征各荷载单博独作用下围效应，再大求出它们殖的代数和哪。这种方担法可以归乓纳为一个墓带有普遍坝性的原理冤，即叠加惨原理，其迅内容可以乞表述为：喉由几个外缺力所引起爹的某一参功数（包括帐内力、应惩力、位移扮等），其克值等于各幸个外力单陷独作用时巴所引起的排该参数的适值之总和厦。弯矩可牺以利用折叠加原车理来作奋梁的弯桥矩图，含即先分资别作出虽梁在各饲项荷载挽单独作壳用下的瓜弯矩图征，然后萍将其相敬对应的裁纵坐标篮线性叠奖加，就坐可得出仰梁在所丘有荷载腿共同作攀用下的插弯矩图康。对梁的字整体运斜用叠加净原理来墙绘制弯犯矩图，武事实上请是比较拒繁琐的调，并不初实用。茫如果先朽对梁进满行分段呈处理，谁然后，桃再在每掘一个区唐段上运耍用叠加秃原理进家行弯矩蓝图的线偏性叠加幼，这种残方法常嚷称为区甩段叠加冻法。2.区吹段叠加炉法绘制喊梁的弯翻矩图首先讨论鉴图8-1煤7(a)斤所示简支订梁的弯矩耀图的绘制耐。如图8锁-17湾(a)霉所示，皇简支梁风上作用船的荷载崭分两部蛋分：跨夕间均布嚷荷载q和端部富集中力棍偶荷载MA和MB。当端部传力偶荷载MA和MB单独作用淘时，梁的滔弯矩图为负一直线，劲如图8-庭17(b肢)所示。仁当跨间均山布荷载q单独作田用时，表梁的弯包矩图为桑一条二论次抛物夕线，如丧图8-逝17(涨c)所响示。当透跨间均可布荷载q和端部集阿中力偶MA和MB共同作用远时，梁的效弯矩图如刺图8-1并7(d)县所示，是富图8-1星7(b)眼和图8-神17(c羡)两个图苦形的叠加淋。值得注妙意的是化：弯矩唤图的叠浆加，是窜指纵坐费标的叠资加，即头在图8护-17材(d)姐中，纵摩坐标垂伞直于杆索轴线A惑B，而宾不垂直症图中虚胆线。采用区段片叠加法绘效制梁的弯恋矩图，可诱归结成如航下的两个黎主要步骤欢：（1）在敞梁上选定川外力的不巩连续点（都如集中力拼作用点、两集中力偶御作用点、思分布荷载跪作用的起肠点和终点窑等）作为良控制截面减，并求出朋控制截面墨的弯矩值绘。（2）源区段叠用加法画益弯矩图制。如控乞制截面庸间无荷尖载作用色时，用昌直线连懂接两控续制截面属的弯矩薄值就作弊出了此薄段的弯吸矩图。常如控制稍截面间填有均布间荷载作眠用时，势先用虚浓直线连稀接两控鼠制截面创的弯矩荐值，然误后以此建虚直线尺为基线隆，叠加跳上该段常在该均读布荷载洽单独作脚用下的址相应的六简支梁宿的弯矩摇图，从毯而绘制分出该段跌的弯矩佳图。【例8信-8】任用毯叠加法路绘制如裤图8-蹄18(徒a)所栋示外伸帆梁的弯亮矩图。解:外伸专梁的弯口矩图等努于集中糟力8-冲18(召b)和斗均布荷捐载8-必18(袍c)单甘独作用纠下的弯塌矩图叠谨加而成敬。集中宵力作用躺下弯矩犯图如图例8-1君8e所顽示，均柿布作用存下弯矩满图如图泳8-1亲8f所袄示。两屋个弯矩滤图相应石的纵坐侨标相加蚂，得到层所求外碗伸梁的尤弯矩图念如图8泼-18倍(d)剖所示。【例8-化9】绘制螺如图8-度19(a典)所示简思支梁的弯煌矩图。解：(音1)求哭支座反神力。由吩梁的静袖力平衡轧方程可箭以求出向支座反蚁力为（2）作FS图根据荷载互作用的情杂况，可以腿把整个梁附分成AC、CD和DB三段。AC和CD段无荷卖载作用仰，FS为常数韵，FS图为一冻水平直麻线。DB段有均布梯荷载作用某，FS图是一央条斜直挺线。先育出各控澡制截面惭的剪力脑值如下售:依次在ＦS图上定辰出各点待，绘制五梁剪力鸣图如图亲8-1颈9(b朽)所示围。（３）作Ｍ图选择Ａ、Ｃ、D和B作为控制缠截面，求盖出各控制号截面的弯气矩值如下墙：依次在M图上定拼出各点司。在AC和CD无荷载寸作用段勤，连直四线即为锁弯矩图虎。而在拿有均布逗荷载作振用的段县，先连勒虚线，迹再叠加辣上以为窝跨度的标相应简斗支梁在晓均布荷说载q作用下的例弯矩图，顶就可以作谊出DB段的弯祥矩图。变整个梁溪的弯矩到图如图宪8-1巩9(c膛)所示江。而截测面E的弯矩扑值为：【例题吩8-1国0】炭试绘耐制图8就-20炎(a)绿所示简根支梁的子弯矩图厅。FAFB(a)(b)解：（1）斗求支座反需力。由梁的捐静力平孕衡方程军求得支着座反力用为（2）计徒算控制截务面的弯矩障值选择Ａ、Ｂ、利Ｃ、Ｅ、舰Ｆ和Ｇ作为控制单截面，求旗出各控制沃截面的弯刷矩值为(c)（3）侍绘制弯俯矩图依次在M图上定出径以上各点格。在AB、B颠C、EF和FG各无荷业载作用仰段，连娃直线即业为弯矩贫图。而货在有均临布荷载蜻作用的CE段，先佳连虚线基，再叠哥加上以CE为跨度的屋相应简支卖梁在均布捷荷载q作用下正的弯矩晓图，就丈可以作葡出CE段的弯矩船图。、整原个梁的弯否矩图如图拒8-20标(b)所单示。而梁倦的正中间斤截面D的弯矩获值为：此时，M搏D不是弯虫矩的极大哭值。如果要糕求出弯原矩极大财值，可醉先画出肿剪力图剖如图8惑-20脸(c)惩所示，御剪力为照零截面呀上的弯社矩为弯僚矩极大板值，其数值大小私为36亡.12优5kN锻·m。可见，梁扒的正中间喷截面D的弯矩证值与弯效矩极大浊值非常春接近。3梁恳的弯曲跑应力3.1迁梁的弯曲裙正应力及辅正应力强荒度条件1.梁的丙弯曲正应中力在平面驶弯曲梁甩的横截渗面上，复存在着铁两种内绘力——伏剪力和嘴弯矩。换横截面摔上既有圾弯矩又棒有剪力卡的弯曲蚁称为横激力弯曲牛。如果扑梁横截痒面上只肃有弯矩掩而无剪灭力，这记种弯曲绸称为纯渡弯曲。只有切嘉向分布漫的内力跳才能构腔成剪力正，只有裂法向分烟布的内忘力才能仔构成弯亩矩，因介面在梁逗的横截陈面上同朽时存在意着切应信力τ和假正应力巡寿σ。（1）币纯弯曲势梁横截头面上的眠正应力痛计算图8-2运1所示的待简支梁的CD段，因其叶只有弯矩幻玉存在而无师剪力存在隙，是一种普纯弯曲变冒形情况。愈纯弯曲是游弯曲中最甜基本的情蓝况，纯弯家曲梁横截志面上的正诵应力计算楚公式可以朱推广到横锐力弯曲中棒使用。因般此，研究蒜弯曲正应矛力从纯弯稀曲开始。1）纯弯劣曲变形首先要进券行变形实魄验，观察酿变形情况葱。假设梁镜的横截面包为矩形，荐受力前在复梁侧面画非上与轴线辈平行的纵励向直线和肾与轴线垂饼直的横向城直线，如久图8-2幕2所示。石受力后，扒梁上的纵傲向线（包浅括轴线）血都弯曲成革相互平行姜的曲线，晶靠近凹侧馒一边的纵渣向线缩短支，而靠近而凸侧一边借的纵向线掏伸长。梁对上的横向适直线仍为符直线，各捏横线间发劈燕生相对转幕动，不再呈相互平行饺，但仍与鲜梁弯曲后也的轴线垂粪直。图8-刑22袜图确8-2谱3根据观察毯到的表面粱现象，对至梁的内部顷变形情况材进行推断怨，作出如驰下假设：①梁的慌横截面余在变形馅后仍然佩为一平懒面，并洁且与变淹形后梁暖的轴线富正交，浆只是绕压截面内阀某一轴喂线刚性遣地转了讯一个角简度，该先假设称桐为梁弯摧曲变形末的平面锣假设。②把梁看绳成是由许嫩多纵向纤攀维组成。谜变形后，冠由于纵向裤直线与横福向直线保符持正交，返即直角没战有改变，抽可以认为税纵向纤维唇没有受到纳横向剪切啦和挤压，揭只受到单津方向的拉热伸或压缩区，即靠近朋凹面纤维己受压缩，岸靠近凸面治纤维受拉畅伸。根据假症设，靠赴近凹面生纤维受传压缩，间靠近凸溉面纤维避受拉伸膨。再根品据变形钓的连续旦性，纵混向纤维花从受压么缩到受友拉伸的傍变化之雄间，必紫然存在顿着一层炉既不受舍压缩、糊又不受绘拉伸的抚纤维，伴这一层芝纤维称雾为中性肤层。中复性层与冶横截面坑的交线厦称为中仰性轴，聪如图8吉-23扔所示。谊因此，叮梁纯弯纸曲变形框可以看醒成是各火横截面嫌绕各自胁中性轴合转过一球角度。2)纯弯翻曲梁正应汉力公式推殿导根据纯田弯曲梁向的变形堆特点，忠下面从胸几何方诞面、物虹理方面挡和静力搂学方面国来推导帝纯弯曲招正应力净公式。①几何方法面图示dx微段，睡其中x轴为假绵设的中虎性轴(垃待确定介)，所模以O1O2在变形前犁后长度不竭变，而变毫形后的弧宿段O1O2的转角丧为dq，考虑福线段ab在变形后仓的线应变露，式(a舱)是变哲形的几宪何关系崖式，也戚称变形刑协调条恼件或变太形协调竞方程。疏它表明湖梁横截摔面上任乞意一点享处的纵决向线应鸽变与该察点到中猴性轴的洽距离成灵正比。②物理方诱面由于纵烧向纤维舟只受单喉方向的感拉伸或坏压缩，记当材料腿在线弹欧性范围搅内工作配时，根箱据虎克扁定律有购：则(a)讲式变换成晋为：(b)式(b亚)尚不怜能用来飞计算弯吨曲正应薪力。因鲁为式中幕为变形气后中性窑层的曲卵率半径暂，还没稀有求出惊，y为所求颗纵向纤碌维到中薄性层的糠距离，招虽然y值已知盖，但中粱性层或庙者中性运轴的位鸭置也还死没有确虫定。还枕需要用舍静力学胡的方程模来共同叮求解。③静力诞学方面纯弯曲闷梁的横招截面上抄只有正凯应力，桶而无切凯应力，望即架。横截禽面上的晒法向分揉布内力埋组成了北一个空渐间的平填行力系炒。该力颂系对截战面形心正的矩等办于该截迹面上的寒弯矩，建该力系享在截面鸦法线方俘向上的忍合力等可于该截枯面上的链轴力柏。通过数学咳推导可以钩得知：中乓性轴一定蚁通过横截轨面的形心栗。根据弯串矩和轴棒力的关魂系可得截出梁弯应曲时中更性层的酸曲率表浆达式为(8-费1)式中：M——横截备面上弯矩追；IZ——横促截面对必中性轴醋的惯性雷矩。式(8耕-1)鲜是梁弯件曲变形拒的一个腥基本公控式。当吗弯矩M越大，誓梁弯曲鹊变形越垒大，中佳性层的捐曲率半怠径越小奖；EIZ越大，曲马率半径越们大，梁弯图曲变形越锄小。EIZ是梁抵香抗弯曲纪变形的吴能力，琴称为梁晋的抗弯勿刚度。将(8艺-1)汇式代入局(b)笛式，得顽：(8-数2)式(8-饰2)称为弹纯弯曲梁纯横截面上渐正应力计战算公式。式中：y——横所截面上暴所求应赶力点至拼中性轴制的距离荐。几点说明谣：①公式战(8-脂2)的桨适用范宪围为线触弹性范书围。②计算应益力时可以起用弯矩M和距离y的绝对值天代入式中半计算出正昌应力的数技值，再根桐据变形形暮状来判断骂是拉应力惊还是压应猫力。③在应力乒计算公式闹中没有弹宿性模量E，说明正从应力的大唯小与材料喇无关。3)横冷截面上聋正应力坡的分布垃规律和些最大正邀应力从式(8存-2)可充以看出，助梁横截面伪某点的正郑应力σ与妹该横截面刺上弯矩M和该点职到中性沙轴的距弓离y成正比，甲与该横截掉面对中性败轴的惯性闻矩成反比鸟。当横截项面上弯矩M和惯性等矩IZ为定值时吹，弯曲正话应力σ与y成正比滑。当y=0时洗，σ=饺0，中灾性轴各狠点正应拾力为零姐，即中纷性层纤爬维不受报拉伸和梳压缩。普中性轴兴两侧，遣一侧受汤拉，另稍一侧受嫩压，距类离中性似轴越远并，正应裕力越大酒。到上误下边缘y=ymax正应力估最大，滚一侧为府最大拉真应力σtm她ax，而另荣一侧为悉最大压哄应力σcmax。正应赌力分布狠规律如旦图8-灰25所凡示，横得截面上y值相同继的各点爹正应力啦相同。最大应糠力值为纪：(8-3参)式中：利——剩弯曲截面逐系数（抗读弯截面系煤数或抵抗矩），它甲仅与横结截面的形责状尺寸有性关，衡量绘截面抗弯甲能力的几仍何参数，未常用单位剑是mm3或m3。图8惹-25对于高诵为h，宽为(b)的矩形截宫面(图8催-26(盖a))：对于直搜径为(d)的圆形叛截面(贪图8-怜26(经b))凭：各种常用澡型钢的惯和性矩和弯共曲截面系遵数可从型敌钢表中查简取。当梁的貌横截面幻玉不对称奋于中性爪轴时，叨截面上较的最大盯拉应力趋和最大源压应力肾并不相辅等，如伐图8-招27所柜示中的采T形截育面。这宗时，应喂把y1和y2分别代三入公式皱，计算间截面上卡的最大倒正应力怎。最大冻拉应力乱为最大压漆应力为图8-2炼7(2)仗横力弯曲宽梁横截面纱上的正应眨力计算横力弯曲明时，由于啄横截面上疤存在切应久力，所以付，弯曲时崭横截面将唇发生翘曲乐，这势必矩使横截面神再不能保圾持为平面倍(平面假扯设不适用较)。特别由是当剪力喂随截面位金置变化时专，相邻两昂截面的翘是曲程度也暴不一样。剃按平面假电设推导出雨的纯弯曲足梁横截面塞上正应力请计算公式栽，用于计板算横力弯衣曲梁横截调面上的正絮应力是有特一些误差叠的。但是绩当梁的跨类度和梁高巾比l/h大于5时滤，其误差梳在工程上值是可以接河受的。这绳时可以采冲用纯弯曲烟时梁横截驰面上的正软应力公式顶来近似计择算。【例8-熟11】长为的矩百形截面悬委臂梁，在稠自由端作炼用一集中言力F，已知b＝12盆0mm捏，h＝180孤mm、＝某2m，F＝1.6恳kN，试灵求B截面止上a、b溜、c各点损的正应力抹。图8-朋282.正应冻力强度条河件对于等截汪面直梁，赚梁最大弯盏曲正应力扰发生在最缴大弯矩所索在的横截住面上距中俭性轴最远清的各点处纺。最大弯汤矩所在的核横截面称切为正应力清的危险截躲面。在该巨危险截面刚上，离中刚性轴最远角的各点其急弯曲正应败力的值最森大，称为指正应力的窗危险点。梁弯曲正斜应力危险卷点上有梁嚼的最大弯让曲正应力蜜σmax，若梁肯的容许吴应力为痕[σ]闷，则弯趋曲正应扛力强度茎条件为新：（8-吼4）等截面直通梁的弯曲梳正应力强岭度条件为判：（8-舱5）对于抗拉误和抗压强载度不同的艰脆性材料内，由于[兼σt]≠[回σc]，因垄此弯曲宣正应力纹强度条梅件分别贫为：（8-6晌）（8-7闹）式中：σtma相x和σcma德x分别表情示梁的赛最大弯芳曲拉应贪力和最贷大弯曲散压应力辨。【例8-贩12】梁垦的荷载如摇图8-2沟9所示。匙已知截面哪对形心轴雨的惯性矩Iz=4.0滔3×10军7mm4猫，材料的猾抗拉强度裹=50M想P(a)温，抗压强效度=10矩0MP(言a)。试慕按正应力没强度条件含校核梁的吉强度。解:(1)全画梁的练弯矩图域如图8炮-29裕(c)爽所示。厦梁的最卵大正弯演矩发生刚在C截面上凤，梁的贷最大负循弯矩发释生在B截面上管，最大满正、负唇弯矩的腰值分别乏为3.2滩提高黄梁抗弯言强度的龟措施梁的弯路曲强度忘主要取洪决于梁软的弯曲逢正应力传强度条拌件，即姿：（1）尽返量降低梁返的弯矩；（2）林提高梁脂的抗弯吩截面模暗量；（3）锣同时降迫低梁的垒弯矩和鞋提高抗能弯截面充模量—找—等强狸度梁。1.合伏理布置涌梁的支思承及载飞荷（1）胞合理布浓置梁的栋支座图8他-322.选择脑合理的截盒面形状最合理孔的截面僻形状是词用最少给的材料至获得最灯大的抗碑弯截面夏模量的矩截面。驾为了比密较各种揉截面的划经济程锹度，可陈用抗弯脏截面模弯量WZ与截面滑面积A的比值WZ/A作为衡较量标准乳。WZ/A越大，仗就越经滴济。表膀8-1凯列出了丸五种截士面的WZ/A值。表中h代表截接面高度朝，圆环屋形截面欣的内径互用d表示（d=0.隙8h）。从表中数线据可知，富实心圆截疮面最不经更济，矩形鹊截面次之意，空心圆货截面较好甩，槽钢和谊工字钢截脉面最佳。仰显然，这差和梁弯曲仅时横截面华上的正应精力分布有钻关。在离陆中性轴最尤远处的正村应力达到舱许用应力信时，在中纯性轴附近焰处的正应够力仍然很趣小，也就反是说，中涂性轴附近映的材料没宅有充分利患用。为了女提高材料鬼的利用率液，应当尽良可能将材话料放置在比离中性轴触较远的地敬方。对于抗压冷强度大于晕抗拉强度售的脆性材降料，即〔诉σc〕>〔σt〕的材浸料，例安如铸铁羽，如果桌采用对坏称于中孔性轴的计横截面拉，则由按于弯曲锤拉应力特达到材巨料容许竞拉应力丽〔σt〕时，弯尊曲压应力澡没有达到艘容许压应读力〔σc〕，在松受压一岔侧材料孔没有充粒分利用旷。因此佩，应采汪用不对晋称于中振性轴的妥截面，通并使中碎性轴偏己向受拉梯的一侧药，即使蹄得最大弦拉压应丈力同时自达到材烦料的允受许应力遣值。3.采用误等强度梁按正应袭力设计若梁的截沈面时，论是以梁炭的最大剩弯矩为醒依据的茎。对于坐等截面都梁，当邻梁危险叨截面危哄险点的蜂应力值般达到容才许应力脱时，其厨余弯矩药小的截仓面上的就材料没喇有充分皇利用。互为提高剩材料的谋利用率吊、提高掠梁的强涝度，可敢以设计主成各截孕面应力汗值均同梢时达到农容许应厦力值的及“等强奔度梁”秧。其弯寄曲截面甚系数WZ，可按镰下式确喇定：工程中铅为了加晒工方便侵和满足俩结构上墨的需要夺，常用宏阶梯状残的变截与面梁（灭阶梯轴缓）来代葬替理论僵上实等盲强度梁路。※3.3衔梁的弯卵曲切应力串及切应力呆强度条件梁在横力济弯曲时，吃梁的横截萍面上同时牧有弯矩M和剪力FS。因此逆，横截视面上不得仅有弯摇矩M对应的查，还有将剪力FS对应的蛇切应力萍。本节守主要研望究等截品面直梁器切应力利的计算崇及切应矿力强度辆条件。1.矩候形截面贩梁的切切应力（1）公遗式推导图8-糕33所吵示的矩杨形截面叮梁高度溉为h，宽度品为b，沿截劲面的对狮称轴y截面上兽有剪力FS。因为慌梁的侧张面没有们切应力醉，根据认切应力健互等定犬理，在绍横截面饲上靠近济两侧面奋边缘的青切应力辉方向一蛾定平行愤于横截丘面的侧笛边。一唇般矩形烘截面梁秘的宽度始相对于束高度是瞒比较窄晒的，可谎以认为躲沿截面事宽度方惹向切应影力的大危小和方进向都不烫会有明夹显变化浴。所以却对横截港面上切赞应力分简布作如掠下的假拜设：横鹊截面上教各点处利的切应袄力都平爽行于横励截面上馋的剪力FS，沿截面蓬宽度均匀徐分布。用相距dx的两个预横截面m－m和n－n从梁中见切一微遵段(图凑8-3压3(a薯))。遍为研究挤方便，游设在微越段上无久横向外党力作用讯，则由搜弯矩、驰剪力和躁荷载集渴度间的昼关系可悄知：横遍截面m－m上和n－n上剪力央相等，通均为FS。但弯矩缘瑞不同，分先别为M和M＋FSdx(图8-江33(b毁))。由义平衡方程炒ΣFX=0，导运出（过程隆从略）矩名形截面梁鄙横截面上关切应力公猫式（8-京8）式中：肾——横寒截面上黑的剪力旁；——整犯个截面奶对中性链轴的惯钻性据；——横洪截面上采求切应恐力处的乞水平线巧以下（冰以上）系部分面堤积对中郊性轴的叼静矩；——矩形宅截面宽度午。（2）切稀应力分布舱规律及最习大应力2.其索它形状帆截面的移切应力（1）工凳字形截面毒梁工字形梁践的横截面五由上、下荣翼缘和中笼间腹板组拿成（图8却-35）播。腹板是框矩形截面拢，所以腹掠板上切应戴力计算可混按(8-唉8)式进恐行，翼板隙上的切应枯力的数值菌比腹板上狠切应力的名数值小许昨多，一般糠忽略不计良。其切应伪力分布如奋图8-3粉5所示。最大切捕应力仍蚂然发生英在中性砖轴处。锣在腹板秀与翼板舞交接处向，由于毒翼板面抬积对中常性轴的派静矩仍车然有一客定值，茎所以切馅应力较怜大。式中：鸭——半话个截面长对中性绑轴的静绿矩。（2）俯圆形截拍面梁和格圆环形录截面梁圆形截盆面梁和沃和圆环易形截面绪梁如图连8-3虽6所示溜，它们曾的最大吧切应力绑均发生伙在中性爽轴处，都沿中性阶轴均匀蛇分布，鸣计算公掘式分别腊为图8犹-36【例8舟-13竟】惊如图5乱6a光号工字糖钢制成局的简支凯梁，试母求梁的慰横截面我上的最稀大切应硬力和同墨一横截桂面上腹希板a点处(续图(b凡))的也切应力豪。梁的环自重不吧计。解（1括）绘制摸剪力图久如图8臣-37栽所示。存在于除蠢两个端截决面A，B和集中旁荷载F的作用点既处C以外的席所有横矛截面上著。（2）计色算最大弯校曲切应力由型钢跑表查得徐56a留号工字呢钢截面芹的尺寸显如图8佳-37接(b)订所示，休根据型阔钢表有I