2023届内蒙古乌兰察布市集宁区集宁一中数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设表示不超过的最大整数（如，）.对于给定的，定义，.若当时，函数的值域是（），则的最小值是（）A． B． C． D．2．若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（）A．1 B． C． D．－3．将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于对称，则（）A． B． C． D．4．如图，在直角梯形中，，是的中点，若在直角梯形中投掷一点，则以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（）A． B． C． D．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（）A．5 B．4 C．3 D．96．若方程在区间（-1,1）和区间（1,2）上各有一根,则实数的取值范围是()A． B． C． D．或7．已知函数在有极大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（）A．8 B．10 C．12 D．169．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（）A． B．C． D．10．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有()A．140种 B．84种 C．70种 D．35种11．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则（）A． B． C． D．12．若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为()1A． B． C．或 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______14．已知，是单位向量.若，则向量，夹角的取值范围是_________.15．已知一组数据从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数为5，则这组数据的众数为______.16．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望EX=三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数．(Ⅰ)求的概率；(Ⅱ)记求随机变量的概率分布列和数学期望．18．（12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.19．（12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数.（1）若函数与相切于点，求的值；（2）若是函数图象的切线，求的最小值.21．（12分）若，求证：．22．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先根据的定义化简的表达式为,再根据单调性求出函数在两段上的值域,结合已知条件列不等式即可解得.【详解】①当时，.在上是减函数，；②当时，.在上是减函数，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求分段函数的值域,属于中档题.2、A【解析】

根据已知的偶函数以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函数f（x）在[﹣2，2]上的解析式，进而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，对g（x）进行求导可知g（x）的增减性，通过增减性求得最大值【详解】根据,得函数关于点(1,0)对称,且当时,,则时，，所以当时，;又函数为偶函数,所以当时，则,可知当，故在[-2，0)上单调递增,时，在[0,2]上单调递减,故.故选：A【点睛】本题考查函数的基本性质：对称性，奇偶性，周期性．同时利用导函数的性质研究了函数在给定区间内的最值问题，是中档题3、B【解析】

运用三角函数的图像变换，可得，再由余弦函数的对称性，可得，计算可得所求值.【详解】函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则可得，再把得到的图像向左平移个单位长度，则可得，因为所得函数图像关于对称，所以，即，解得：，所以：故选：B【点睛】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.4、C【解析】

根据，，2为三边构成的三角形为钝角三角形建立不等式，其几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分，用此部分去掉即为符合条件的的运动区域，作出面积比即可【详解】由题，，，故设为最长边长，以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形，即以原点为圆心，半径为的圆，，故选【点睛】本题考查钝角三角形的三边关系，几何意义转化的能力及几何概型5、B【解析】

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.【详解】当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，不满足进行循环的条件；故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题.6、B【解析】

函数f（x）＝在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则，解得即可．【详解】∵函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，∴，即，解得a＜1，故选B．【点睛】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．7、C【解析】分析：令，得，，整理得，问题转化为求函数在山过的值域问题，令，则即可.详解：令，得，，整理得，令，则，则令，则在单调递减，∴，∴，经检验，满足题意．故选C．点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．8、C【解析】

数列，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项，得通项公式，从而得结论．【详解】最下层的“浮雕像”的数量为，依题有：公比，解得，则，，从而，故选C．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．9、A【解析】

利用特殊值判断函数的图象即可．【详解】令，则，再取，则，显然，故排除选项B、C；再取时，，又当时，，故排除选项D.故选：A.【点睛】本题考查函数的图象的判断，特殊值法比利用函数的导函数判断单调性与极值方法简洁，属于基础题.10、C【解析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有种；快译通1台和录音机2台，取法有种，根据分类计数原理知共有种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.11、D【解析】

根据条件概率公式可得解.【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，所以，，由条件概率可得：，故选D.【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.12、A【解析】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：.解得.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】：，即14、【解析】

设向量、的夹角为，在不等式两边平方，利用数量积的运算律和定义求出的取值范围，于此可求出的取值范围．【详解】设向量、的夹角为，，两边平方得，、都是单位向量，则有，得，，，因此，向量、的夹角的取值范围是，故答案为．【点睛】本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．15、6【解析】这组数据按从小到大的顺序排列其中中间的两个数为4，，这组数据的中位数为∴x＝6，故这组数据的众数为6，填6.16、2【解析】试题分析：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=C6P（X=1）=C12P（X=2）=C12P（X=3）=C12∴E（X）=0×20816+1×180816+2×396816考点：离散型随机变量的期望与方差三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】

求得球放入甲,乙,丙盒的概率.（I）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求的概率.（II）先求得可能的取值是0，1，2，1，然后根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为．(Ⅰ)由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或1点，．(Ⅱ)由题意知，可能的取值是0，1，2，1．．故的分布列为：0121期望．【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查分布列的计算和求数学期望，属于中档题.18、（1）；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值.【解析】

首先求得；（1）将代入求得且点坐标，根据导数的几何意义可求得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）令导函数等于零，求得，从而可得导函数在不同区间内的符号，进而得到单调区间；根据极值的定义可求得极值.【详解】由得：（1）在处切线斜率：，又所求切线方程为：，即：（2）令，解得：当时，；当时，的单调递减区间为：；单调递增区间为：的极小值为：；无极大值【点睛】本题考查利用导数求解曲线在某一点处的切线方程、求解导数的单调区间和极值的问题，考查学生对于导数基础应用的掌握.19、（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是（2）【解析】

易知，函数的定义域为当时，当x变化时，和的值的变化情况如下表：x10递减极小值递增由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是由，得又函数为上单调函数，若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立，而在上的最大值为，所以若函数为上的单调减函数，根据，在上，没有最小值所以在上是不可能恒成立的综上，a的取值范围为【点睛】本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题．20、（1）；（2）【解析】

（1）利用函数与相切于点，切线即可求的值.（2）若是函数图象的切线，设切点，表达函数的切线方程，表达，构造新函数，求其最小值即可.【详解】（1）由函数，则，，.所以，.（2）设切点，则切线方程为，即，亦即，由题意得.∴令.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；∴∴的最小值为.【点睛】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值，解题的关键是熟记基本初等函数的导数，属于中档题.21、见解析【解析】

引入函数，展开，其中，，是整数，，注意说明的唯一性，这样有，，然后计算即可.【详解】证明：因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的