抛物线及其性质知识点及题型归纳总结

抛线其质识及型纳结知点讲一、抛物线的定义平面内与一个定点和条定直线

l(Fl)

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线

l

叫做抛物线的准线.注若在义中有

Fl

，则动点的轨迹为

l

的垂线，垂足为点.二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种式：

y

2,ypxx2pyx

py(p

，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表所示）表标准方程

y220)y2px2xpy

y

y

yF

l图形

F

x

F

x

x

xl

l

l

F对称轴

轴

轴顶点

原点焦点坐标

,0)

)

(0,)准线方程

x

x

y

y

三、抛物线中常用的结论1.点

,0

与抛物线

y

2

的关系（1）（2）

在抛物线内（含焦点）y在抛物线上y.

2

.（3）在物线外

2

.2.焦径抛物线上的点

,0

与焦点

F

的距离称为焦半径

y220)

半PF

，PF

.3.

p(

的几何意义

0p0

为焦点F到线l距离，即焦准距，越，物线开口越.4.焦弦若为物线y

2

的焦点弦，(x)，B(y)1122

，则有以下结论：（1）

p24

.2y（2）.1（3）焦点弦长公式1：ABx12

，x2xxp1212

，当

x

时，焦点弦取最小值2p

，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p.焦点弦长公式2：AB

psin

（为直线与称轴的夹角）（4）的面积公式：

S

p2sin

（为直线与对称轴的夹角）.抛线的弦若AB为抛物线

y

2

的任意一条弦，

,yB(x,y)1

，弦的中点为,y0)00

，则（）弦公：（）0

1

2

x12

k

y(k12AB（）直AB的程为

0

0

(x)0（）线AB的直平分线方程为

0

0(x)p6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（）

yAx(A

焦点为

(4

，准线为

x

4(2)

x

2

Ay(A0),

焦点为(0,)，准线为4

y

4如

yx

2

，即

x

y，焦点为(0,)，线方程为y416167．参数方程

B．yB．yx．y．yy

2

2pt的参数方程为y2

（参数tR）8．切线方程和切点弦方程抛物线

y(p0)

的切线方程为

yy(xx0000

为切点切点弦方程为

yp),(x,y)000

在抛物线外与中点弦平行的直线为

yp),00

此直线与抛物线相离

,y)00

（含焦点是的中点，中点弦的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以到同样的结果。题归及路示题1；物线定与程思提求抛物线的标准方程的步骤为：(1)先据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：(2)根据题目条件列出的方程(3)解方程求出P，得标准方程10

已知抛物线

y(p

的准线与圆

xy2x

相切求值为（）A．

12

B．1C．D．解析；抛物线的准线为

x

p2

，圆

xy2x

的标准方程为

(x3)2

，由

x

p2

与圆相切，知

3

p2

)

，解得

，故选C评注准是抛物线的重要质，要熟记准线方程。变设抛物线的顶点在原点，准线方程为

x

，则抛物线的方程是（）A．

y

22

x变

设

y00

为抛物线

C:2

上一点，

F

为抛物线

的焦点，以

F为心，FM为径的圆和抛物线的线相交，则y的值范围是（）A．

B．

．

D．

例0.24

若点

到直线

的距离比它到点

的距离小

，则点

的轨迹为（）A．圆

B．圆

．双曲线

．物线解析解法一接法）设

y)

，依题意有

x

(x2y2

，当

时，

x

(xy

，整理得

y2当

x

时，

y

2

4(x

，显然不成立，故点

的轨迹方程为

y

2

0)

2oo解法二义法）由题意可知，点只在2oo

的右侧，点p直线x

的距离等于它到点

的距离，根据抛物线的定义知，点

的轨迹是抛物线，故选D变设圆

与圆

x

22

外切，与直线

相切，则

的圆心轨迹为（）A．抛物线

B．曲线

C．圆

．圆变动点到F(2,1)距离和到直线

lxy

的距离相等，则动点M的迹为（）A．抛物线

B．线

．线段

．线

设抛物线

y

2

上一点

P

到

y

轴的距离是

，则点

P

抛物线焦点的距离是（）A．B6C．

D12解析由焦半径公式

PF

p2

知点P到点的距离为，故选变（2012四川理8）知抛物关于

轴对称，它的顶点在坐标原点

O

，并且经过点

y)0

，若点

M

到该抛物线焦点的距离为3，

OM

（）A．

2

B．

3

C．D．

变2已知

F

是抛物线

y

2

的焦点，

是该抛物线上的两点，

BF

则线段

AB

的中点y到轴的距离为（）357A．B．1C．D．44变设F为抛物线的点，A,B,CFC（）

为该抛物线上三点，若

rFC

，则A．．．D．过物

的焦点

作倾斜角为

的直线与抛物线分别交于

,B

两点（点

A在

轴上方

AFBF

解析如图10-10所示，由题意得准线

l:x

p2

，作

l

于点

C

，

l

于点

D

，

AC

于点H，,BF

，

AHBDBF

，因为在三角形AHB中，HAB

o

，所以

AHAFBF1，(BF)AF，AFBF

AFBF

变1已知

F

是抛物线

C:x

的焦点，过

F

且斜率为1的线交

于

两点，设

FB

，则FA与的值等于变2已点

，抛物线

C:x2

的焦点为

，射线

FA

与抛物线

C

相交于点

M

，与其准线相交于点

，则

FM:MN

（）A．

:

B．

1:2

C．

1:

．

1:3题2与物线关距和值题思提抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行化而把两条线段长度之和的题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题解题中物线的定义及其性质求抛线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线求解。

已知直线

ly1

和直线

l:x2

，抛物线

y2

上一动点

P

到直线

l

和

l

的距离之和的最小值是（）A．

B．C．

1137．5分析画出图形，利用等价转化将距离之和的最小值转化为点到直线的距离。解析作辅助线如图10-11所，连接

PF

抛物线方程为

y2

，

l

为其准线，焦点为

F

，由抛物线的定义可如

PHPHPFFH(F,l)211

，故选评注本题考查抛物线的定义及化与化归的数学思想变

已点是物y

2

x

上一动，点到(0,2)与该物准的距之的小为）

oAoAA．

B．C．

5

．

92变式已点P在抛物线y

2

x

上那么当点P点Q

的距离与点到物焦点距离之和取得最小值时，点

P

的坐标为（）A．

1(4

B．

1(4

C．

D．

变式3

动圆满足过定点

F(1,0)

，且与定直线

x

相切，直线

l:

与动圆有公共点，则动圆的面积最小值为题3抛线中角，边的积题思提解决此类问题经常利用抛物线的定义抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离构直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。例10.28（2012北理）在直角坐标系中直线l过抛物线

y

2

4x的点，与该抛物线相交于

,B

两点，其中点

A

在

轴上方，若直线

l

的倾斜角为

，则

OAF

的面积为解

解一直

l

的程

没代

y

2

x得x

2

x解x1

13

,2得

(3,2S

VOAP

1332解二如所，题得抛线准

l:x

，

A

作

l

于

C

，

AC

于

H

，连

CFOA

，

AC

，

o

，三形

ACF

为三形因

CHp

，以

，以

S

V

132评注解法一求出了交点

A

的坐标而求得

OAF

的面积法利用了抛物线的义及三角形的性质，得出

OAF

中边

的高，计算量较小，方法更简捷变（2012安理）抛物线

y

2

x的焦点F的线交抛物线于A,B两，点是坐标原点，若

，则

AOB

的面积为（）

ooooA．

22

B．

C．

．

2例10.29抛线

y

2

x

的焦点为F准线为l经过且率为3的线与抛物线x轴方的部分相交于点

A

，

AKl

，垂足为

K

，则

VAKF

的面积是（）A．

4

B．

3

C．

D．

8分析作出图形，利用数形结合想，在图中找到三角形的底和高从而使问题得以解决。解析解一：如图10-13所示，由题意可知

F

，准线方程为

，由

yy

，解得(3,23)

，故

，因为直线

的斜率

3

，所以

AFx60

o

，则

60

o

，又AF，则AKF为正三角的底为

，高为2，所以S

V

1332解法二：由焦

到准线

l

的距离为2为直线

AF

的斜率为

3

以

AFx

o

60

o

，又

，则

VAKF

为正三角形，则

，则

KFF

，所以

AKF

2

，选C变1已抛物线

C;

2

的焦点为

F

，准线与

轴的交点为

，点

A

在

上且

AF

，则VAKF的积为（）A．

4

B．

C．

．

变2设物线

y

2

x

的焦点为

，过点

M(3,0)

的直线与抛物线相交于

,B

两点，与抛物线的准线相交于点

，

，则VBCF等（）A．

4B．C．．57

xB．yx．yD．y22xB．yx．yD．y221．物线

y

2

24ax(0)

上有一点M，的横坐标是3,它焦点的距离是5,则物线的方程)A．

y

222

若P到直线x

的距离比它到点的距离大则点P的迹为)A．圆

B．圆

C．曲线

．抛物线已抛物线

y

2

px

,以焦点的弦为直径的圆与抛线准线的位置关系)A．相离

B．切

．相交

D．不能定已双曲线

:1

aba2

的离心率为2,若物

:

py0)

的焦点到双曲线的渐近线的距离为则抛物线

C

2

的方程()A．

2

3B．x

．

x

2

y

．

x

2

等轴双曲线

的中心在原点,焦点在

轴上

与抛物线

y2x

的准线交于

,B

两点

AB3,则的轴长)A．

B．

2

C．

．

已

P

为抛物线

xy

上两点点

P

的横坐标分别为

4,

,

P

分别作抛物线的切线,两切线交于点

A

,则

A

的纵坐标为)A．．C．．已以焦点的抛物线4x上的两点A,满足AFFB则弦的中点到准线的距离为8．点

ypx

的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为，

9．知点

，动点抛物线

2

上运动，则APBP取最小值时的点的标是10．知抛物

y

2

的焦点是F点P是抛线上的动点（）有点