2019高中数学竞赛试卷及答案

2019高中数学竞赛试卷及答案2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分0L已知正实数口满足，=（9rT，则1。&（3白）的值为.工若实数集合｛[,234的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则：的值为..平面直角I坐标系中，c是单位向向量:a满足&•0=2,目.4£5ti+Fc对任意:头数F成立，则口的取值范留为..设48为抑圆厂的长轴顶点，J尸为「的两个焦点，月8|=4,/IF|=2+a/3,『为「上一点,满足|PE|*PFj则△尸EF的面积为..在1.2,%…，10中随机选出一个数口，在-I,-2,-3 10中随机选出一个数4则十人被3整除的概率为..对任意闭区间J,用表示函数），=0n#在/上的最大值.若正数口满足M口刈二2%",“则〃的值为-.如图，正方体力BCQ-EFGH的一个截面经过顶点4。及楂EF上一点汇,日一将正方FK体分成体积比为3:1的两部分，则——的值为KF「’•「F.Ll.，'u」：」 .「•成1/12 、一- ，1..的不同的X位数的个数为.2019高中数学竞赛试卷及答案二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤口.（本题满分16分）在&48。中，BC-a^CA-b,AB=匚若力是口与c的等比中项，旦sinA是sin（是与sinC的等差中项，求cosB的值口.（本题满分20分）在平面直角坐标系xQy中，圆C与抛物线「：/=4工恰彳:一个公共点，且圆Q与工轴相切与「的焦点F,求圆Q的半径。.（本题满分20分）称一个复数数列任力为“有趣的二若旦对任意正整数人均有=0,求最大的常数C,使得对一切有趣的数列出］及任意正整数m，均有小+z?+ +2由＞C.2/122019高中数学竞赛试卷及答案2019年全国高中数学联合竞赛加试试题A卷一、（本题满分40分）如图，在锐角^八8（3中，M是BC边的中点。点P地AABC内，使得AP平分/BAC。直线MP与AABP，AACP的外接圆分别相交于不同点P的两点D,E。证明：若DE=MP，则BC=2BP。（答题时请将图画在答题纸上）.f=（a12+a22+...+a20i92）-（a1a3+a2a4+a3a5++a2017a2019）.求f的最小值f0,并确定使f=f0成立的数组（匕纥,…,a20p的个数。三、（本题满分50分）设m为整数，|m|云2。整数数列勺,纥,…，满足：勺,纥不全为零，且对任意正整数n均有an+2=an+i-ma,证明：若存在整数r,s（r>s看2）使得ar=a二a/则r-s上|m|。四、（本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面，某些点之间连有线段，设E为这些线段构成的集合。试求最小的正整数n,满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每从此二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集。3/122019高中数学竞赛试卷及答案2019年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷答案2019年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)答案一、填空题aa-(9口/oh=logd9a由二log”n=：rlog*9=—：=logri3=-］ft K lb:,心&3白=log43+I=2工［由题意知，，为负值，，3-h=1+2+3+m=>耳=一11|V5t2V5|设同二篇原题转化为/<25(z2+f+4z)=25(r+40>x4-25x2Q—100之Z1—25x2二5MYM20n6M卜区2吞由题意知该椭胱可设为三+/=1。，产产+尸£'=4,后产=2。,由余弦定理,4PF\PE2-2PEPFcosZEPF=EF*n12-4cos/EPF=12所以cosZEPF二0tsin/EPF=1=$,叶下=：PEPFcosZEPF=137*WO若be区2,45,7,810},/=imod3若白■(■方三0mod3nb=-1mod3nbw{-l,-4,-7r10)君武［3,6,9} mod3若/+方三0mod3=〃三0mod3n8t(-3,一6一一叫4/122019高中数学竞赛试卷及答案7箕4+3乂117TOC\o"1-5"\h\z）。上十方为3的倍数的概率为—— --=——100 1005网f1加.—或 6 12由图像分析得日"红或者史6 6.阻二卜椒面与FG交于JEFV=V-I-V+V=L+1ir^-uXt=Lr-tUCKKJ~VAUCf-十FAKI'J十fAFJC上十上网 / .66 6 4*」a左=1,24"+2Aj】=0,解行*.———!■,A——--—\舍去）2 2 2EK2-（73-1）3一行 rr一二g~8、解析：所有首位非d的R位数；6!—里2.0相匏的不同客位数；二251-411、，相邻的不同8位数：——■2甲2、0与t,9均相邻的不同S位数：—2!2!5，55平故所求的8位数个数为：（6!-5!）-二—一—+ =49S2 2 2!2!二、解答题9、山糜意二/2sinA=sin（B-Jj+sinC=sin（H-月）十甫n（B+月）=2&inBcos/,整理即sinif=lanJJ2J对w=£/利用正弦定理并结合三项的等差数列得sin月*inC二幺=1.即cos-AsinA-sinCcos2A5/122019高中数学竞赛试卷及答案于是tanA=sinCconA=sinZ?=麻力(.4+C)=stncost-FeosAsinC.即sin/cosCn0,C=—2cosRsin8=tanA=cotB=―:——,cosB=sinJ/?=I—cosJB，令＜:口38=丁,则sinB/+犬一！=0『解得cos8=x=」+近210.解析工设园的半径为R,圆心为（1,再）或（-11）,则圆的方程可■写作（工一iy+（y—&F=w不妨设圆与抛物战相切了点（小,K）,则过该切点区,FJ的切线方程为以国为对象，得（工―一-以抛物线为对象,得1%=2（，+质）TOC\o"1-5"\h\z于是可得K**一 ①”y「R名/=1/??也」 ②y0y「R又切点（为,打）在抛物线丁=4,_匕y：=4% @由②得r=}”+ —=二十.瑞为+2/ 6%于是解得，1Ly„=2--rR=2,故所求圆半行为的L3 3 9 9t另解】如除，为准线，户为焦点，。为圆心，$为公共点，FHLHrH，SG±l+G,S『平分/GSF.则由抛物线性域可得GS=E工OSJ_ST,从而/TSF=/TFS不妨设SFx.则由勾股定理及GH=-S尸知26/122019高中数学竞赛试卷及答案(2—=/,即4x+4=0,解得*=4或(，乂x<2,故工=：cc_6_4指CJS= rX= TOC\o"1-5"\h\z3 9I [ 7 4△SGT全等于ASFT,从而〃T=—GT=—7F=—,从而/二一2 2 3 3】l•方而取z=f=—#(〃=12……中。则limI々+4+…+/1=*，故。皿工另一方面，由条件可得？7二2不失一般性，可不妨设4=1(否则可用马二二代替生)及j="(否则可用2；=[代替司).■2设%二产，其中％=。,的=1,矶—您.1=±1(〃=2,3,...)记集合4={口I*=r(mod3)J<n<m},i=0,1,2….并设A2-{%，码…为》,其中与<u2<…v%则1>3,%—%.1>2(/=2,3,,_J)故%>2i+1(j=1,2,…")因此7/122019高中数学竞赛试卷及答案8/122019高中数学竞赛试卷及答案2019年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）答案取最小值时。刈7=49g=1,a2on=49,每个明门一%二0或1,m=12/20】6设尸…,见川川。司有演个（抑=12-,49）则任意仃=1,2i.49, >2令丁甘-九-L则M+y2+..*+尤=2°18-49。1969由隔板法加打…儿的解数为因此所求值吗…吗猥）有个,因此值治=74009/122019高中数学竞赛试卷及答案I…I记（id则对任意正整数人d\an,考虑数列％=亍，可得同样结论。故不妨殁（%吗）=1,由％_一q1一加%，mod|/ii可知口…三口[rnodm即对任意大广2的正整数月.Fr""« rl'L r■ I FJIda 『JI-FX\ IIfan=a?（mod门“若q不满足四w%（mod帆|）,则不存在『,）帛之2使得ar=巩=a]故不妨设%=«2（mbd|/n）t由互质性（孙同卜1设%=m十bn*mji-12…则仇为整数数列，々=0,1）/2=%-%-bjm,mod阿可知b^2三也舟—t71（inod|///|）,若存在整数，＞s22使得即=4=修，则儿=儿=0、而年=bx一（y-s）*1[mod网），故川|（『一备,]，由（q,“"）=1知训|尸一’,故尸一s2间.证毕。10/122019高中数学竞赛试卷及答案个二元子集.四、引理:筒单.连通图H有力个顶点，〃F条边，则一定可以将其边集划分为个二元子集.二元子集之间不交”.林个：元/柒内的边有公共端点0证明：归纳对用，m=1,2,3,显然成立设结论时掰，片成立।比之3,则加=*+1时，考虑所有叶子顶点&，4,…若有网片叶了44连在同一顶点/?上，则符月声号力/分为二元了•集，对其余制一2条边由典纳假设,可分为［可7二］曰］-1个一元子集旦两两不相交.结论成立，否则设4,H，…,4分别按在顶点环鸟，…,耳上，若存在i匕三外印度为3设口与4c相连，将月再与瓦C取下，同理由归纳假设结论成立，否则对任意1，『，外d⑻>2,将4,,4去掉，得图”‘，则在印中没有由子结点，力连通，朝耳'为一个环，此时设可在环上与CD相连，在H中把4耳与用C去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证,引理证毕口阿慷题，r和E构成一个无向简单图G,当图G可分为979个K连通分支和一个含1815条边的61个点的连通分支时，固=2794,此时无法符合题意，故月之2795,而若月之2795,设行有尸个连通分支，每个连通分支边数为不…,与，点数为匕，…，匕,，求边数为奇数的连通分支至多多少个.对任何两个连通分支，点数尸MS.