人教数学必修五

acac111213建模画示图察复杂图从键灵于利来要内：任它比即A外接圆半

bB

=〔为Caaa=2221abacabcaaa=2221abacabc1．直角三角形中：sinA=，，cc即，，．AsinC∴A

bB

=

cC2．斜三角形中证明一积法〕在任意中

C1sinCacsinBsineq\o\ac(△,S)两同除以：=2sinAsinB

cC

Oc

接圆法〕如下图，∠Ａ∠Ｄ

A

Da∴sinA

asin

CD同理，sinC证明量〕过作单位量j垂直于由

=

AB两边乘单向量j得+CB)=j

j

•

+

j

•

CB

=

j

•

AB|j•|AC|cos90j•||cos(90jAB|cos(90∴Csin

∴sinsin同理，过作垂直于CB得：sinCsinB理

∴=sinABsinC解正弦定可以用来解两种类型的三角问题：．两角和任意一边，求其它两边和一角；两和其一边角另一边进而求其它的边和角示a,b和用正定理求时各种况假A锐时sinA无解解(直角)bsinA二锐一钝b

解(锐)a,bC

C

C

C

H解

Ba=CH=bsinA解

B1HB2H解

B无解假A为直角或钝角时一解(锐)2、弦定理余弦定理用语言可以这样表达形一的平方等于另两边的平方再去这两与夹角弦的积的倍．：

c

AcacosBca2假用边示角，余定可写为余定可以下两种型三形：〔〕形的三，可求内角；〔〕形的两角，可三边．：弦角一＞么锐设，那么为角设＜，那么为钝．3、余定理勾定理的关系余弦理锐角三角函的关系eq\o\ac(△,在)ABC，c=a+b-2abcosC假∠C=90°，么，是c

=a

+b

-2ab·0=a

+b

．说勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这Rteq\o\ac(△,与)ABC中的锐三角数致即直角三形的角三函是余弦理的例．4、角形的有关定理：内角和理：A+B+C=180°sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos

C

=sin

B

C,sin=cos

B积公：

S=pr=

p()(p

a(中

,r为切半径影定：=cos+ccos；b=acosC+cos；=acosB+bcosA5、解三角形应用题的一般步骤：〔析题意，弄清和所求；〔据提意，画出示意图；〔实问题转化学，所；〔确运用正、余弦定理。【典型例题】例在中，,A00,解：c,A00A∴

,30

0

,求a,和由

acsinAsin

得

csinAa

10sin45

0

2由

csinsinC

得

cBC

105300

sin

22062例在中，bB0

,求aC解∵sinB

sin

sin,C

B60

0

C为角C30

0

,90

0∴

例中，,

2求bCac：C

csin,sina

6032sinAaC

0

或120

060

csinB时B750,C

675600

3

，当C时，B

cB

6sin600

3b

3B75

或3

C

4eq\o\ac(△,例)ABCＤ为的分线：ABBCＤ∶分析家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题平线eq\o\ac(△,将)分了两个与eq\o\ac(△,，)CBD故要结成立它的价形∶＝∶，从而问题化两个三角形在三角形边的比于所对角正弦值的比可用ABADBC正弦定理所继转为ABDABDsinBDCsin弦值相等，互补正弦值也相等即证明结.证明在eq\o\ac(△,，)ABD内理得：ABADABsin即sinABDADsinABDeq\o\ac(△,在)，利正弦理得：DCsinBDC,即sinDCDBC∵是的分线.∴ABD＝∠DBC∴ABDDBC.∵∠∠BDC＝180°sin＝sin〔180°∠BDC〕＝

，再根正AB∴ADAB∴

sinADBsinABDAD

sinBCsinCD评述题可以启发学生利用弦定理将边的关系转化为角的关系并且注互补的正弦相等一殊关系式的用例在ABC中，3,b=2

°求及边．asin解：由正弦定理得sinA=b

3

,为°且b<a,所以有两解或°6当°,C=180°-(A+B)=75°，当时,C=180°-(A+B)=15°，c=

bsinCBsin

27545sin45

62

2

,思维点拨和中的解形弦解注解的情况的讨论例6ABC，假设

tanAatanB

22

，eq\o\ac(△,断)的状。解：由正弦定理：

sincossinBA

sin2A即：sinAsinBsin2cosAsin∴=2或A=180

即A=或+=∴ABC为等或直角三角解：由设

AcosBa2Asinb2

a2R2222

化b2a2

+c

)=a2b2

+c2

)∴a2

a2

+b2

)=0∴=b或2

+b2

=c2

eq\o\ac(△,∴)ABC为等或角形．思点：判断形状或手例7在ABC，Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，求：≤解由正弦定:

acAsinBsin

,

bB

(sinA+sinC)=

3

[sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0<A<120°，所以30°°<150°故1<2sin(A+30°≤2.法二，∴a+c-b=2accos60°,∴a+c-1=ac,∴a∴(a+c)

+3(a-c)

=4,∴(a+c)

=4-3(a-c)

.7∵≤∴03(a-c)<3,∴4-3(a-c)≤即(a+c)

≤4,a+c2a+c>1,1<a+c≤．拨边角是角题的．例8O的径R，在它接形ABC中，有

2

sin

2

C

B成立，eq\o\ac(△,求)ABC面积S的值解由得

sin

2

sin

2

R

a．有

a

2

2

2ab

2

，又cosC

a

2ab

22

∴

4

．∴S

2244

sinsinB2R2

B

．所当=B时S

max

22

R．思维点拨三角形的角换，灵运正、弦理在求值时要用角函数的有关质例9在某海滨城市附近海面有台，检测，前风心位于城如图)的偏

(

arccos

10

)

方300面P处，并以20h的度向西偏45的方向移，台风侵袭的围为圆形区域，当半径为，并/h的度不断增加，问几时后该市始受到台风的袭8解：(一如建立坐标系：以点东为轴正.在刻〔〕风中心()

的坐为

2220t272202

t.此台风侵袭的区域

()

2

)

2

r(

2

，其

r(t)

t，假设在t时该市O受到台风侵袭，那么(

2

)

2

10)

2

即

(300

2220

t)

72220

t)

t)即

t

2

36t0

，24

.答：小时后该城开始到风气侵袭解二设时刻台中心为台风的圆区域为+60(km)假在时刻t市O受到台风的侵袭那么

10t60由余弦理

OQPQ2PO2PQ由PO=300,PQ=20tOPQcos

故

OQ

2

PQ

2

PO

2

2

t

2

9600tt

2此

20t2t30029解得12t24例如图A、B两点都在河的对岸不可到达计一种测量A、B两点间离的方法。分析是例的变式题研的是两不到达的之的距离测量问首先需构三形，所以需确两理三角形的任意可出另边的方法，分别求出AC和BC，再计出AB的。解量者可以在河岸边选定点得且两分得，

，BDA在和，正理得

=

asin[180

=

asin(sin(

=

asin

=

asin

180

计出AC和BC后再在应弦计出两间离AB

=

AC

2BCcos

变式设岸相40米的两得

，

略解：各量代入例的式，得6注见研三角时灵根据两定理可寻找到种决问的方案但有些过程较复如何找到最优的方法最主要的还是分析两个定的特点结题目选择正确的计算方式10例是底部不可的建，为建筑的最高，计一种量筑物高度的方法。分求长的关是求，在中，求出点建筑物顶部的离，再测由点察的，可计出的长。解：条水平基线，使、、点同条线。在点角器测A角别、，=a，测角仪的是那，在中根据正弦定理可得

=

a

AB

=

AEh=

ACsin

+h=

asin

+hsin(例12图，山顶铁塔上B处测得地面一点俯=540

，在底处得A处的角

。塔BC局部的高为,求出高精到11解:在中BCA=90,

ABC=90

-

,

-,

BAD=

.根据正定理

=

AB所以

AB

=

sin(sin(

=

BC解中得BAD=将测数代上,得

BCsin(BD==

.3cos45434≈≈答山的高度为150米例13如图,一车在一的公路东行驶到处测得公南远处一顶在东南15

的方上行驶后达处得此山顶在东偏

的方上角8

,求此山高12解:在中A=15

C==10,据正弦定理,BC=sin=

,CABsinsin

=

sinsin

≈7.4524(km)CD=BC≈≈答山高度为1047米例14如图一海从A出发，沿偏东的航行67.5nmile后到达岛然后从B出发北东32

的向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接A发到达C,船该沿样方航行需航行少距?角确0.1,距离确0.01n分析：首根三角的内和定求AC边对角ABC，即用弦定算边再根据正弦定理算出AC边和AB边的角CAB。13解：在中，ABC=180+32=137，根余弦理，

AB

2

BC

2

ABcosABC=

.5

2

.

2

.0

≈113.15根据正定理CAB

=

ABC以

BCsinCABAC540=.≈0.3255,,

-CAB

答此应沿北东方向行要行113.15n例15在点处建物AE的端的角

沿BE方向进，至点测顶A的角再继前3至D，测得顶端A的为求大和建物AE的高。解一正定理求〕可得在，AC=BC=30，1422222222AD=DC=10

，ADC=180-4

，

3

=

1804

。因

=2sin2

cos2

cos2

,

2

=30

=15，在

ADE中=15：所角

为15筑度解法二方来〕DE=AE=h在Rt中(10++=30在Rt

ADE中+h=(10

)

2式，x=5,h=15在

中tan2

=

h3x

=

332

=30

,

=15

答所求角

为15，建筑高为15m解三公解建高，由题意，

，

，AC=BC=30m,=CD=10

m152222在中在中，

x3010

①,---------②②得

cos2

32

,2

=30,

，AE=ADsin60=15：所角，物为例16某逻艇在发北东

相9海里处一走私沿南偏75

的方以10海/小时的速度向我海岸驶立以海/小时的速度沿直线方追去，问巡逻艇该沿什么方向去？需要少时间才赶上该走私船？分析：道题的关是计算出三角形各边，即需要引时间这个变量。解巡艇方向过时后在处走

75

=

2

=

2

3化简得-27=0，,或2所以==15,AB

9

(去)又为sin

BAC=

BCsin120AB

33=214BAC1BAC=1414不题意，舍去，1638

3

=83

3

答巡逻艇应该沿北偏东3

方去追，经过小才赶上走私船评三角形中们可根据弦函的定得到个解但作有关现实生活的应题必检验上述求解否符实意，从而得实问的解【题析】★★什【题回放】1设a,,分别是个角,,C所的边那么a的〔〕〔充分条件〔B〕分必件〔〕充分条件〔〕不分又不必要条件2．在ABC中，2

sinC

，给以下四论断：①

tanAB

②

0sinAsin

2③

Acos

B

④cos

A

Bsin

其中确选是〔〕〔①〔〕④〔〕①④〔〕②③A3在eq\o\ac(△,)中，、、成等差数，么tan2

tantan222

的为

.4果11

的三个内角的弦值分等B的三个内角的正弦值〔〕222．B1．BC11

和和

C2C2

都锐角三角形都钝角三角形．1．C1

是钝三角形，是锐角角形222是锐三角形，钝角三角形217225．己知C是锐两个内角，且tanC是方程px+1-＝0，且，的两个实根，那么，的取别____和___，的取值范围是(0，，［6．Δ中，

6

B

，上的中线BD=5，sinA.【专家解答】设为BC中点，连接DE，么，且DE

AB3

，设ΔBDE中可得BD2BEEDBEcos

，x2

263

x得x，x舍去〕故BC=2，而2AB

cos

283

，即

AC

21

又

sin

故

，A

★高要考【点透视本题要查正弦定和弦理．【点析三形的角函数关系是历年高考重内之，节主要帮助考生刻解、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技学生要掌的能：运用方程观点合恒等形法巧解角；熟地行角和关系的价化；能练运用三角形根底知识正余弦理及面积公式与三角函数公式配合通过等价化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖★★★破重难点1811【范例在eq\o\ac(△,】)中角C所对的边分别为b=acosC,eq\o\ac(△,且)的边长1为，小角正弦值为。3断的形状；eq\o\ac(△,求)ABC面积。解析〔〕b=acosC，sinB=sinAcosC,〔〕B=

,

sinB=sin(A+C),从而#〕式变为，又0,

，，是角形。

〕eq\o\ac(△,〔)的边为，〔〕知斜边=12又eq\o\ac(△,，)最弦值为Rteq\o\ac(△,，)的短边为=4，一条直为

eq\o\ac(△,S)

=

=16点此题要考三角数换及弦定的应用用正弦定理化为，再以角为突口判出的条件求出三边，从求面积【文】在eq\o\ac(△,，)中︰＝a:b，试判断eq\o\ac(△,形)的．解析数系及正弦理推得∵B三形内，∴≠0sinB≠0．∴＝或2A－，∴B或＋＝．2以eq\o\ac(△,所)ABC等腰三角形或直角三角形．【晴角形分类是按边或进行的以判三角形把件转化为边之间系或角间关系，从而到诸如＋2＝，锐三形b2＜2〔钝三角〕sin(A－＝，＝，＝或cosC＝等等进定形状，但在选转化为或角的关上要进行索．【范例ABC中角.

的对边别为.b.c19

a.c成比数列22

〔〕求cotC值；〔〕设

，求a的值解析〔由cos

得，由b2得2Asin

，cotcot

A

cosC

cosCsinsinC

sin2B

sinBsin

47sinB7〔由BA

32

3得ac因B以：即：b22余弦理2c2B

得b2B于是：

c

ac59

故】角形为体以角变为心结合正弦理余定理合查逻辑分析计算推理能力高考命题的一个重方向要别关注三函在斜三形中的灵应用.【，、、别角BC对，4sin(1)求角的数；(2)假设3，+=3，求和的.

22

.7解析2A

及B:B)]2cos

)4cosA即4cosA060

由余定理得cos

b

2bc

122(b)2bc

2bc.a

3,b代入上式得bc由得或cc【点睛】弦定理余弦定理在解斜三形中应比广泛【范例的长为，,AB1〕面积最；

成等数列，求〔〕取值范围．解析设,CA,依次为，，那么，=ac．eq\o\ac(△,在)中得B

a

22

a22ac22

,

B

．ac

0

．11〔〕Bb22

3

，3

．〔〕BA

a2()2ac22

(6)2b2

27

．0

2BABC

．【点睛】的点中比，用的为中的解的，和用解的．【式】中角C别为c,△的接半R=

3

，且足

2sinCcossin

.Bb△ABC21222222(1)

cosC2sinCcosBsinB

得∴=2sinAcosB

∴sinA=

∴cosB=

∴B=

∵

b=2RsinB

∴(2)∵

=

acsinB

2sinCsinAsin(

A)

3

sin(A)2

3∴当时S的最大是．4点睛】三函数的最题角的用【范例】观测站城的南西方向，由城出有一公路走向是南˚东，在处得距为千米的公路上处有一人沿公向城了千米，到达处，此时、间距为米，问还需走多米达城？解析意得图，中=31千米，=20千，=21米∠60．设=∠=β在CDB中由余弦定理得：cos

BC

2131

，cos

3

．

CDAsin

313sin6014

．CDeq\o\ac(△,在)中得ADsinA

2155．sin3所还得走千到达城．【点晴】解三角形的知解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的2222元素，后解三角形求．【变式】半圆的径，为延上，，为上一，以为边作等边三角形〔、、为顺时针排列点在么位置时，四边形OPRQ面最并个面积.解析x180PQ

2

cosPQR

积

3PQ

，eq\o\ac(△,而)面积=，∴四形面积S

3

x

x)

sin(x150

max

.【点睛三函数在实题应题★1．直三形，锐为和那么)1〔〕有大值值值小值2〔〕既无最大值也无最小值大值无值ABAC非零向量与AC满足AC

).

AB且AB

么为〔〕〔〕边角形〔角角形〔〕腰边形〔〕边均不相等的三角形3eq\o\ac(△,．)中，3sinA+4cosB=6，，那么C大是〔〕〔〕

5〔B〕

〔〕

2〔〕323n1nn假个以对整nn1nn假个以对整n4.一直三形内角正值等比数列其小角为A)(A)arccos

(C)arccos

5.，+2，+3是钝三形三边那么的值范围是

.

〔，2〕16．定义在上的函数f(在区[0单,假设()2

的角满足(cosA,么的取围是,](3

7数{}中，项＝，前项为，且tStS(t*)

.〔断列}是为等比数列，并证明你的结论？〔〕设每正数，，，为边长都构三角形，求的范围。解析略〔〕t

16【文】在ABC中，..的对分别为b.。假设成等数列求cosB的值域。假设成等数列且，求的。3解析∵bac

,

ac

B

a222ac

2acac2

当且当时号0

3

∵3

2sin(B

3

)∵

∴()的为∵a2b,

∴∵

2∴3

2

C=

3

2B∴3

3

24展化得

B2*2sincos222

,∵2

B3,∴4∴sin

528．在正角形的边、AC上分别取两，使沿段折三角形时，顶点正落在边上，这种情况下，假设要使最求∶AB的值解析意，设叠后点在边上改称点显然P两关于折线对称又∠BAP，∠=，∠，设=a，=，∴=xeq\o\ac(△,在)∠=180°∠ABP－BAP=120°－，由正定理知

BPsinBAPAPB

.∴120eq\o\ac(△,在)

DPBP中，sin

,以BP

xx2,而sin60

,x

60sin2120

3asin(60

∵60°，∴180°，∴当=90°，，sin(60°+2，时取最小值AD最，23∴－【文】在中，c72cos2(B2

分别为角C

的对边，且满足１〕角大小；２〕设b，a取最小值时判ABC的状．解析〔〕

，2

cos2(B)A2cos

2

2cosA

，2cos

1A2

．

，0

，

．25222222〔２由余定理cosA

b222bc

，得2

．a2)2

bc

b9)2

，

32

．所以小值为b

时等号．此时为三角．形题级名、选:1在ABC中，以下子不正的项

号绩A．a

bccos

B．a:sin:sinCC．

sin

．Rsin2在ABC中，0

，么3sinA

的值为3A．．．．23在ABC中，假设ABACBCCA

那么eq\o\ac(△,，)是A．等边三形形形形4．

，么角的形为26A．直角三形角三角形形角三形5在ABC中，a

2,

4

，么于A．或．．或3336在ABC中，A．B．0．0D．

，那么此三角的最大角是7在ABC中〞“Asin2

〞的A