2023届吉林省长春市重点名校高二数学第二学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2．若a|a|＞b|b|，则下列判断正确的是（）A．a＞b B．|a|＞|b|C．a+b＞0 D．以上都有可能3．已知一段演绎推理：“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”，则这段推理的()A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误4．已知p：函数有两个零点，q：，．若为真，为假，则实数m的取值范围为A． B．C． D．5．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误6．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）A． B． C． D．7．已知且,则的最大值为()A． B． C． D．8．设复数，则复数的共轭复数是()A． B． C． D．9．已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A． B． C．2 D．410．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．11．已知三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，得到的俯视图可以为（）A． B． C． D．12．己知复数z满足，则A． B． C．5 D．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数是偶函数，则实数的值为______.14．由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为__________．15．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为的概率为________16．根据所示的伪代码，若输入的的值为-1,则输出的结果为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）用数学归纳法证明.18．（12分）已知函数.（1）若，求的零点个数；（2）若，，证明：，.19．（12分）若不等式的解集是，求不等式的解集．20．（12分）大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示．（Ⅰ）将表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：，其中．21．（12分）已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．(Ⅰ)求的值和这两项的二项式系数；(Ⅱ)在的展开式中，求含项的系数（结果用数字表示）．22．（10分）已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，则t2≥6﹣2＝1当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为1．故选：B．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．2、A【解析】

利用已知条件，分类讨论化简可得.【详解】因为，所以当时，有，即；当时，则一定成立，而和均不一定成立；当时，有，即；综上可得选项A正确.故选：A.【点睛】本题主要考查不等关系的判定，不等关系一般是利用不等式的性质或者特值排除法进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.3、A【解析】

分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，结合指数函数的图象和性质判断正误，可以得出正确的答案．【详解】该演绎推理的大前提是：指数函数是增函数，小前提是：是指数函数，结论是：是增函数．其中，大前提是错误的，因为时，函数是减函数，致使得出的结论错误．故选：A．【点睛】本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题．4、B【解析】

由p∨q为真，p∧q为假，知p，q有一个真命题一个假命题，由p得△=m1-4＞0，解得m＞1或m＜-1．由q，得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m＜3，分两种情况求出实数m的取值范围．解答：解：∵p∨q为真，p∧q为假∴p，q中一个真命题一个假命题，由p：函数f（x）=x1+mx+1有两个零点，得△=m1-4＞0，解得m＞1或m＜-1．由q：x∈R，4x1+4（m-1）x+1＞0得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m＜3，当p真q假时，有即m≥3或m＜-1当p假q真，有即1＜m≤1∴实数m的取值范围为（-∞，-1）∪（1，1]∪[3，+∞）．故选B．5、B【解析】

根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.本题正确选项：【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.6、C【解析】

由，解得，解得，解得，所围成的平面图形的面积为，则，，故选C.7、A【解析】

根据绝对值三角不等式可知；根据可得，根据的范围可得，根据二次函数的性质可求得结果.【详解】由题意得：当，即时，即：，即的最大值为：本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解，难点在于对于绝对值的处理，关键是能够将函数放缩为关于的二次函数的形式，从而根据二次函数性质求解得到最值.8、B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果.详解：因为，所以,所以复数的共轭复数是,选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为9、A【解析】

由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案．【详解】由题意得，，，公比，则，故选A．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、C【解析】

根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.【详解】如图：抛物线的准线方程为，焦点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得,圆的圆心为，半径，可得的最大值为，由，可令，则，即，可得：，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值为故选：C【点睛】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.11、C【解析】点在的投影为，点在的投影为，在的投影为，在的投影为，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C12、B【解析】

先计算复数再计算.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据偶函数的定义，先得到，化简整理，得到，即可求出结果.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，即，整理得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记偶函数的概念即可，属于基础题型.14、【解析】

转化为定积分求解.【详解】如图：,曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形,因为,曲线与直线及的交点分别为，且，，所以，.由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为.【点睛】本题考查定积分的意义及计算.15、【解析】

正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60°的有48对，根据古典概型概率公式求解即可．【详解】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与上平面A1B1C1D1中一条对角线A1C1成60°的直线有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八对直线，总共12条对角线；∴共有12×8＝96对面对角线所成角为60°，而有一半是重复的；∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对．而正方体的面对角线共有12条，所以概率为：故答案为【点睛】本题考查正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本题的关键．16、【解析】

通过读条件语句，该程序是分段函数，代入即可得到答案.【详解】根据伪代码，可知，当时，，故答案为.【点睛】本题主要考查条件程序框图的理解，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析.【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证时不等式成立；（2）假设当时成立，利用放缩法证明时，不等式也成立．详解：证明：①当时，左边，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，∵，∴，∴当时，不等式成立.由①②知对于任意正整数，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．18、（1）（2）见解析【解析】

（1）将a的值代入f(x)，再求导得，在定义域内讨论函数单调性，再由函数的最小值正负来判断它的零点个数；（2）把a的值代入f(x)，将整理化简为，即证明该不等式在上恒成立，构造新的函数，利用导数可知其在定义域上的最小值，构造函数，由导数可知其定义域上的最大值，二者比较大小，即得证。【详解】（1）解：因为，所以.令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减，而，，，所以的零点个数为1.（2）证明：因为，从而.又因为，所以要证，恒成立，即证，恒成立，即证，恒成立.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以，所以，恒成立，即，.【点睛】本题考查用导数求函数的零点个数以及证明不不等式，运用了构造新的函数的方法。19、【解析】

由不等式的解集和方程的关系，可知，是方程的两根，利用韦达定理求出，再代入不等式，解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知，且方程的两根为，；由根与系数的关系得解得．所以原不等式化为解得所以不等式解集为【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根据总人数和表格中的数据可以完成，计算卡方观测值，结合卡方观测值所在区间判定；（Ⅱ）根据古典概型的求解方法求解.【详解】解：Ⅰ依题意，补充完整的表1如下：喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男23730女91120总计321850由表中数据计算的观测值为所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关．(Ⅱ)从成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人，基本事件总数为种，这2人恰好在同一组内的基本事件为种，故所求的概率为．【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概率的求解，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）285【解析】

(Ⅰ)由题意知：得到，代入计算得到答案.(Ⅱ)分别计算每个展开式含项的系数，再把系数相加得到答案.【详解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴；（Ⅱ）方法一：含项的系数为.方法二：含的系数为.【点睛】本题考查了展开式的二项式系数，特定项系数，意在考查学生的计算能力.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】试题