地图数学投影

地图数学投影第1页，共35页，2023年，2月20日，星期一上一讲应掌握的内容1、什么是大地测量主题解算2、大地主题解算基本思路以大地线的微分方程为基础进行积分运算，但积分式不能直接计算，必须将积分式进行变换。主要方法是用勒让德级数展开为大地线S的升幂级数。以白塞尔大地投影为基础，即在球面上解算大地问题。3、勒让德级数式第2页，共35页，2023年，2月20日，星期一上一讲应掌握的内容4、勒让德级数大地主题正算公式5、高斯平均引数正算公式推导思路首先把勒让德级数在P１点展开改为在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点

M

的复杂性，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m

点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。6、高斯平均引数正算公式（需叠代计算）（如何叠代？）此方法适合于200公里以下的大地问题解算(保持4次项)，其计算经纬计算精度可达到0.0001″,方位角计算精度可达到0.001″。7、高斯平均引数反算公式（不需叠代计算）（如何求S

、A12，A21

？）第3页，共35页，2023年，2月20日，星期一为了计算的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。勒让德级数式

当取至4次项时，对于60km以下的大地线，计算经纬度可精确至0.0001″，方位角可精确至0.001″。第4页，共35页，2023年，2月20日，星期一勒让德级数（短于30km的公式）第5页，共35页，2023年，2月20日，星期一高斯平均引数正算公式第6页，共35页，2023年，2月20日，星期一

所谓地图（数学）投影，简略地说,就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平面上（可展的曲面），研究这个问题的专门学科叫地图投影学。坐标投影公式：不同的投影条件有不同的投影函数。投影变形一般分为方向变形、角度变形、长度变形、面积变形。可以根据需要使某一种变形为零，即产生了一、地图数学投影概念§4.8地图数学投影变换的基本概念等角投影等积投影等距离投影第7页，共35页，2023年，2月20日，星期一（一）长度比长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。一般情况下，不同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同。

二、地图投影的变形dsdS第8页，共35页，2023年，2月20日，星期一（二）主方向和变形椭圆投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。若将椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影在平面上，一般不能保持正交。但其中总有一组在椭球面上正交的方向投影后仍然正交。可以证明这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。

二、地图投影的变形第9页，共35页，2023年，2月20日，星期一

（二）主方向和变形椭圆（续）

如果已知主方向上的长度比，就可计算任意其他方向上的长度比。以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。变形椭圆的形状、大小及方向，完全由投影条件确定。随投影条件不同而不同，同一投影中因点位不同也不同。r第10页，共35页，2023年，2月20日，星期一二、地图投影的变形（三）投影变形投影后同原来的距离、方向、角度及图形产生差异，称为投影变形。

1.长度变形

v值可能为正、负或0。第11页，共35页，2023年，2月20日，星期一（三）投影变形2.方向变形设从主方向量起OP的方向角为α，投影后O′P′的方向角为α′则称为方向变形第12页，共35页，2023年，2月20日，星期一3.角度变形(设OA与OB分别为最大的变形方向)角度变形就是投影前的角度u与投影后对应角度u′之差。（三）投影变形最大角度变形可用最大方向变形计算，且是最大方向变形的两倍。两个方向与y轴对称第13页，共35页，2023年，2月20日，星期一（三）投影变形4.面积变形：原面上单位的面积为π，投影后变形椭圆的面积为πab。则：

在地图投影中，尽管投影变形是不可避免的，但是人们可以根据需要来掌握和控制它，可使某种变形为零，而使其他变形最小。如：高斯投影，角度变形为零，其他变形最小。第14页，共35页，2023年，2月20日，星期一三、地图投影的分类(一）按变形性质分类1）等角投影：投影前后的角度不变形。由可知：a-b=0或a=b推论：等角投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数。又把等角投影称为正形投影。2）等积投影：投影前后的面积不变形。

ab=13）等距离投影：既不保持等角又不保持等积的投影，称为任意投影。其中，使某一主方向的长度比等于1的投影称为等距离投影。即：a=1或b=1第15页，共35页，2023年，2月20日，星期一（二）按经纬网投影形状分类

(按投影面分类）

1）方位投影

取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以极点为圆心的同心圆，而经线则为它的向径，且经线交角不变。

LightSource三、地图投影的分类第16页，共35页，2023年，2月20日，星期一

2）圆锥投影:取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated（二）按经纬网投影形状分类第17页，共35页，2023年，2月20日，星期一3）圆柱(或椭圆柱)投影

取圆柱(或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面(或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated（二）按经纬网投影形状分类第18页，共35页，2023年，2月20日，星期一1)正轴投影：圆锥轴(圆柱轴)与地球自转轴相重合的投影，称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影。2)斜轴投影：投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影。3)横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴相垂直，且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。除此之外，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓割圆锥、割圆柱投影等。（三）按投影面和原面的相对位置关系分类第19页，共35页，2023年，2月20日，星期一投影分类图

第20页，共35页，2023年，2月20日，星期一地图投影的分类汇总按投影变形性质分类:

等角投影等距投影等积投影

a=b

a=1orb=1

a·b=1按投影面分类:

圆锥面圆柱(椭圆柱)面平面投影按投影的中心轴线:

正轴投影横轴投影斜轴投影按椭球面与投影面的切割情况分:

切投影割投影第21页，共35页，2023年，2月20日，星期一四、控制测量对地图投影的要求应当采用等角投影（正形投影）：角度投影前后不变，避免大量投影计算；在有限范围内使图上图形与椭球上原形相似。在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，而与方向无关，这给在图上量算带来极大方便。要求长度和面积变形不大：能够应用简单公式计算由变形带来的改正数。应限制在不大的投影范围。对于一个国家，投影后应该保证具有一个单一起算点的统一的坐标系，可这是不可能的。往往将大的区域按一定规律分成若干个小区域（或带），每带单独投影，再将这些带用简单的数学方法联接在一起，组成统一的系统。第22页，共35页，2023年，2月20日，星期一高斯投影完全满足上述要求，故我国采用高斯投影。五、高斯投影的基本概念（复习）横切椭圆柱等角（分带）投影

想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。第23页，共35页，2023年，2月20日，星期一高斯投影特性中央子午线投影后为一直线，且长度不变；其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长度改变。投影后，赤道为一直线，但长度改变，其它纬线呈凸向赤道的曲线。投影后，中央子午线与赤道线正交，经线与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投影。

由中央子午线的投影线与赤道线的投影线可构成一个直角坐标系。xyNS中央子午线赤道纬线纬线O第24页，共35页，2023年，2月20日，星期一高斯投影分带①6°投影带:从首子午线开始0°—-6°，6°—-12°，12°—-24°……1带，2带，3带……N我国的6°带投影自13带至23带共11带，中央子午线75°--135°

第25页，共35页，2023年，2月20日，星期一②3°投影带：从1.5°子午线开始1.5°—4.5°，4.5°—7.5°，7.5°—10.5°……1带，2带，3带……划分的目的：六度带的中央子午线与三度带的中央子午线重合

第26页，共35页，2023年，2月20日，星期一带号及中央子午线经度的关系对于6°带：

N=（L/6）的进整数

L０=６N-3对于3°带：

n=L/3(四舍五入)L０=3n第27页，共35页，2023年，2月20日，星期一求带号及中央子午线经度例：某控制点P

点按3°带：按6°带：第28页，共35页，2023年，2月20日，星期一高斯平面直角坐标系

中央子午线作为纵轴，即x轴；赤道投影线作为横轴，即y轴我国有十几(6°)个高斯平面直角坐标系。自然坐标：A（3795231.024，157680.231）

B（4246752.780，-174240.734）国家统一坐标：A（3795231.024，20657680.231）

(通用坐标)B（4246752.780，2032559.266）把坐标纵轴向西平移500km，在横坐标值前冠以带号。第29页，共35页，2023年，2月20日，星期一六、椭球面元素化算到高斯投影面的内容第30页，共35页，2023年，2月20日，星期一3)将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现的。1）将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据x,y反算B，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。

2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边P’K’的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角γ及方向改化δ实现的。六、椭球面元素化算到高斯投影面的内容第31页，共35页，2023年，2月20日，星期一

因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。

当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带