向量组及其线性组合

nnnn第二节向组及其性组合内容分图示★n维向概念★向量组与矩阵★★★★★★★★

向量的线性运算1★例2线性方程组的向量形式向量组的线性组合★3★★例定理16-8向量组间的线性表示内容小结★堂习习题3-2返回内容要：一向量及线运定1n个次序的数a,所成的数组称为维量这n个为该向量12n的个量第i个a称第个分量i注在几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形.坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数上义的3维向.此，当n3时维可以把有向线段作为其几何形象当n3时维没有观的几何形.若干个同维数的列向量（或行向）所组成的集合称为向量.如，一个n矩阵每一列组成的向量组,,12n

称为矩阵的向量组，而由矩的的每一行组成的向量组,,称阵的量.12m根据上述讨论，矩阵记为A(,或12n

12n

.这样，矩阵就列向量组或向量组之间建立了一一对应关.矩阵的列向量组和行向量组都是含有限个向量的向量性方程组的全体解当n时个含有无限多个n向量的向量.定2两维量)与,)的应分量之和组成的向12n12n量，称为向量的和为即由加法和负向量的定义，可定义量的减法：b,).1122nn定n维)的个分量都乘以实数k所组向量，称为数与12n向量的（又简称为数乘k，k,12n向量的加法和数乘运算统称向量线运.注向线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满下列运算规(1);(2))();(3)o;(4)()(5)(6));

~~(7)k()kk;(8)kl.二向组线组考察线性方程组ax111ax211axm11

a122a222am2

a1nnax2nnamnn

b1b2bm

(1)令

j

a1a2jamj

(j

b1b2bm则线性方程(为如下向量:xx(2)122nn于是,线方程组是解就当于是否存在一组数k,12n成立：

使得下列线性关系式定4给向量组A:,12s

，对于任何一组实数k,12s

,达式称为向量组的线性组,k,12s

称为这个线性组合的系.定5向量组A,,和向量若在一组数kkk12s12s

使则称向量

是向量组的线组,又向能向量组线性示线性表).x11

注：(1)能向量组,12有唯一解；xx22ss

s

唯一性示充分必件线方程组(2)

能由向量组12s

线性表示且表示不唯一的充分必条件是线性方程组x11

xx22ss

有无穷多个解；(3)

不能由量组

1

,,2

s

线性表示的充分必要条件是线性方程组xx1122ss定1设

无解；b1b2bm

，

j

a1a2jamj

则向量能量组,,,12s阵A(,,,,的.12s三向组的性示定6设向量组

线性表示的充分必要条件是矩阵,12s

与矩若向量组B中一个向量都由向量组A线性示,则向组B由向量组线示量组A与组B相线性表,这两个向量组等.按定,向量组能由向量组线表,则在使所以其中矩阵K称这一性表示的系数矩.stijs引若A,阵向量组能由矩阵的向量组线表示,snsttn为这一表示的系数矩阵.而C的向量组能由的向组表示,A一表示的系数矩.

TTTTTTTTTT定若组A可向量组线,组可向量组C性表,则向量组可向组C线表示例题选：n维量其性算3

1

例1(讲义例1)设0,求.2

1

T

2

5

如果向量满足例2讲例2)

,2)

,

.求23若x满352x0,例3设(由于因此是,121212的线性组.例4明量(向线性组合并具体123将用,,示出.123例5明向可以多方表成及的线.向组线组例讲义例3)任何一个向量

,n

都n维向量单位组

T

的线性组.因为a1122例7讲例4)零量任一向的性.因为001

2

0.s例讲例5)向量

1

,,2

s

中的任一向量

jj

都是此向量组的线性组.因为

j

0

1

1

j

0

s

.1

例9讲义6)断向量