第四章函数5数集与不可

选取N为“标准集合”，记可数集：若存在从N到A的双射,则称A限集,简称可数集或可列集,K[A]=0;否则，称为不可数集例如，A={1,4,9,16n2B={1,8,27,64,…,n3,C={2,5,10,17,…,n2+1,D={1,1/2,1/3,…,1/n,均为可数集且K[A]=K[B]=K[C]=K[D有限集和可数集统称为至多可数集定理1集合A为可数集的充要条件是A中的元素a1,a2,….,an,若A={a1,a2an则存fAN使得f(an)=n-1(n=1,2,…).反之，若AA~N,则存在f:NA,f(n)=an+1(n0,1,2A={a1,a2an此定理可以作为AA可数的一个实设A是任意的无限集，从中取一元素记为a1,则A-{a1}为非空无限集再在A-{a1}中取一元素记为a2,去，就得到A的一个可数子集{a1,a2,…,an,…}A的元素排成a1,a2an,…,从a1查，不断地删去不在B中的元

的一ai1,ai2ain故B={ai1,ai2ain用排队的方法证明S1={a11,a12,a13,…,a1n,S2={a21,a22,a23,…,a2n,S3={a31,a32,a33,…,a3n,令S=S1∪S2∪Sk,Sk证（续）：a11

S

不唯 的个数依次为1,2,…,故S的元素可排列为：a11,a12,a21,a13,a22,a31,…从定理3和定理4可知：可数个可数集定理5:NN是可证：S1={<0,0>,<0,1>,<0,20,nS2={<1,0>,<1,1>,<1,2>,…,<1,n>,S3={<2,0>,<2,1>,<2,2>,…,<2,n>, 则NNSk.由定理4知，NN是可k 的一个双射函数。这种方法具有一定难定理6:有理数集Q是可数集证一一切有理数均±n/m(n,mN,m0)的形式现将所有±n/m按下列次序排列：正分数按其分子、分母之和的大小顺序从小到正分数的分子、分母之和相同者按分子排列：从大将0放在首位，与正分数具有相同形式的于正分数之按照上述规则可得如下0,1/1,-1/1,2/1,-2/1,1/2,-1/2,3/1,-3/1,2/2,-2/2,1/3,-1/3,故所有呈±n/m状的数所组而Q其无限子集由定理3知，Q为可数集定理6:有理数集Q删除所有m和n不是互为质数的序偶<m,n>,得集合SNN,S={<m,n>|mN,nN且m和n互质}。因为S是N×N的无限子集，由定理3可知，S是可令g:SQ+,即g:<m,n>m/n（其中m,n互质），因为g是双射，故Q+又因为Q~Q-,故Q=Q+∪{0}∪Q-是可数集例4.5.1(0,1)反证假设S是可数的，则S必可表示为={S1,S2,Si是(0,1)记Si=0.ai1ai2ai3…ainaij{0,1,2,…,9},i,(如0.2和0.123可分别记为0.1999…0.122999例4.5.1(0,1) 1,

0,

这样，bjajj,即r与所有实数S1,S2,…,Sn,…不同，说明rS,这与r为S中的元素产生 并非所有的无限集均为选取(0,1)作为新的“标准集合”，记(0,1)的基数为,作连续统的势。如果A~(0,1),那么所以，K[R]=K[(0,1)ABEC个有限集或可数集,则K[A∪B]=K[ABECCA.又因为B为有限集或可数集故由定理3知， 双射f:C∪(B-A)C.下面构造函数g:A∪BA.由于A∪B=(A-C)∪(C∪(B- 所以可以这样构造 xA-

f(x),xC∪(B-显然g为双射A∪B~A,从而无理数集的基数集，有理数集，它们的基数是0.实数集的基设P表示无理数PR=P∪Q.因为 所以由定理8知K[P]=K[P∪Q]=K[R]无理数集也是不可数集思考1、仅由0,1构成的无限序列集合是不可数的。T={a0a1a2…an…|nN,an=0or1}为不可数集。2、将(1)0,1,2…,9构成的无限序列集3、S={(x,y)|xyR0<x,y<1}为不可数集。（提示：构造f:S→(0,1)为双射函数）4、证明：RR…R=Rn5、II是可数集。(I为整数集HW:HW:4-5习的可数子集，则(A-证记P=A-B,则P是无限集。否则，由B是可数集且A=B∪P可得,A为可数集与题设 集D,记M=P-D,即P=M∪D.从而A=M∪D∪B,A-因为DB均为可数集，D∪B~D且M∩D∪B,M∩B=由4-4的习题(3)即A~A-ABA={a0,a1,a2,B={b0,b1,b2,作函数fABNN,f(<am,bn>)=<m,NN~N.所以，AB~N,即AB是可数集ABA~N,由4-4习题的(4)知，AB~NN.又由定理5NN~N.所以，AB~N,即ABEx5.3(4-5习题的(5设A是有限集，B是可数集，设A={a0a1an},B={b0b1,…},A∪B={a0,a1,…,an,b0,显见A∪B是可数集。由4-5习题的(4)(A∪B)B是可数集。而AB是的无限子集,由定理3Ex5.4仅由0,1构成的无限序列集T={a0a1a2…an…|nN,为不可数其中ti=ai1ai2…(i=1,2,…),aij=0或1(i构造一个T内的序列r=r1r2…

1,0,

这样，rjajj,即r与所有实数t1,t2,…说明 类似可0,1,2,…,9构成的无限序列集合也是不可数集Ex5.5S={(x,y)|xyR0<x,y<1}为不可数集。证：(x,y)S,则0<x<1,0<y<1,令x=0.a1a2y=0.b1b2ai,bi{0,1,…,9}(i=1,2,作映射fS(0,1),f((x,y))=0.a1b1a2b2…,显见f为双射。所以S~(0,1),从而S为不可数集。Ex5.6RR…R=Rn是不可数集。由例4.4.2知，(0,1)~R,由习题4-4的(4)知可数集，所以，RR是不可数集假设(0,1)n-1~(0,1(0