遵循规律 重视关联 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选遵循规律重视关联摘要：在探索直角三角形的三边关系时，将特殊的直角三角形放到方格网中，图形的边长和面积就会被数字化，更形象直观更容易发现等量关系，在充分考虑学生情况的前提下，学生在数学课堂上经历从特殊到一般的推理证明过程，符合数学命题教学规律。在教学过程中为了求方格网中的正方形面积，用到了割补法，但是割补之后产生的图形与我们所研究的直角三角形之间有什么关联，面向未来应是我们培养学生提出大胆猜想的一个很好的范例，对学生发现和解决问题能力的影响是深远而有意义的。 关键词：面积计算，方程思想，推理论证，提升素养

引言：究竟我们该怎样利用课标、课本和学生等方面去设计课堂教学，才能让我们的学生更好地发展下去呢？2022版数学课程标准强调对学生“三会”的培养、新时代背景下的教学要求我们创造性地使用教材，更好地为国家培养人才等，这些都对我们数学课堂提出了更高的要求。以下，笔者根据课程标准中的设定，结合沪科版八年级下册第18章第1节“勾股定理（第1课时）”的教材，设计如何突破重难点之后，再谈谈我的一些教学思考。一、教学分析 1．教材分析

勾股定理，是学生在经历过有关几何命题的发现和推理基础上进行的学习。在课本的设定中，定理的发现似乎不难，但是定理的证明模型不容易想。具体表现为：学生经历从特殊直角三角形三边关系过渡到一般直角三角形三边关系的研究，通过观察、发现、归纳，猜想直角三角形两直角边与斜边之间满足的数量关系，综合应用已学知识去关联、证明猜想的全过程。本节课的学习过程中渗透了数形结合、从特殊到一般和方程思想等重要数学思想，同时为后续学习勾股定理逆定理和解直角三角形和高中将要学习的一般三角形中余弦定理和平面解析几何的部分公式提供理论支撑点。2．教学重难点

重点为：经历探索、验证、证明勾股定理过程。难点为：发现面积计算可以证明勾股定理。12022年安徽省中小学教育教学论文评选 3．学情分析

八年级下学期的学生，在小学学过了怎样计算方格网中几何图形的面积，能用割补法计算格点正方形的面积；在七年级，已经学习了有理数的乘方运算，会计算边长的平方，也多次经历过数到字母的抽象过程，还对数量之间是否存在等量关系有了一定的判断能力，能用数学语言归纳出勾股定理的大致内容；在八年级上册学习了全等三角形的判定，能发现多个直角三角形之间是否有关系。他们对新事物充满好奇，喜欢动手剪纸，能做出全等的直角三角形纸片，能在问题的引领下探索新知；但是他们在数学观察方面能力还不强，数学思维能力还需提升，数学语言表达也还不精准。二、教学过程 1．设疑导入

问题：同学们，面积计算是我们数学经常遇到的一类问题。如果只知道一个直角三角形的一条斜边和一条直角边，能求出它的面积吗？师生活动：学生可能会说：如果再告诉我它的另一条直角边或者再告诉我斜边上的高都行，只用直角三角形的一条斜边和一条直角边进行计算，不能直接用三角形的面积计算公式来计算。教师在黑板上画出直角三角形，在对应位置标上相应的字母，如图1。图1教学说明：因为学生知道三角形的面积计算公式是底乘以底上的高再除以2，很明显直角边并不是斜边上的高，无法直接代入计算。但是实际上直角三角形的三边之间是有关系的，只要已知直角三角形的任意两边都是可以求出第三边的，这个环节由面积计算来引入，通过设置疑问勾起学生的好奇心和求知欲。 师：其实直角三角形是一类特殊的图形，相信大家经过这节课的学习就能解决上面的问题。 2．探索问题

问题1：请看图2，在行距、列距都是1的方格网中，有三个正方形，以S1，S2，S3分别表示他们的面积。22022年安徽省中小学教育教学论文评选（1）你打算怎样计算S3？ （2）三个正方形面积之间有“关系”吗？这种“关系”能用它们围成直角三角形的三边来表示吗？图2师生活动：对于第（1）问：学生可能会用数格子的办法，这时教师鼓励学生再想办法，多创新，先打开思路，对于不同的意见要给予肯定；对于第（2）问：得出S1+S2=S3很容易；对于用直角三角形的三边来表示，有难度，可以组织学生深入讨论，第一种情况学生可能会回答：一条直角边乘以另一条直角边的2倍等于斜边的平方；第二种情况学生可能会回答：一条直角边的平方加上另一条直角边的平方等于斜边的平方，教师接下来引出问题2。教学说明：一方面，通过简单而又直观的图形问题设置，使得学生愿意去参与计算和交流；另一方面，教材上为了探索勾股定理，直接出现以直角三角形的三边向外作正方形的情况，对于学生来讲太突然，不好想，所以，在新课没有进行之前，只计算方格网中正方形的面积，再渗透方程思想去寻找三个正方形面积之间的关系，最后与直角三角形的三边建立关联，利用课本上的素材和部分问题设置，对课本上的设计进行改编，更好为学生的教学服务。 问题2：图2中的等腰直角三角形是特殊的直角三角形，请看图3中的直角三角形，你能找到它三边之间的关系吗？图3师生活动：学生会回忆上一个问题的解决过程与这个问题有“类似”的地方——通过对图中的三个正方形作面积计算，可以找到“规律”。学生通过计算会发现：两直角边的平方和等于斜边的平方，而不是两直角边乘积的2倍等于斜边的平方。教学说明：遵循从特殊到一般的研究路径，建立形与数的联系，再次渗透方程思想，32022年安徽省中小学教育教学论文评选设法使直角三角形三边关系借助等面积法体现出来，学生再一次发现直角三角形的三边之间存在着等量关系，从而突出直角三角形三边有没有关系这个重点，培养学生的几何直观，为下个环节的猜想提供支撑。以上两个问题的设置，是由面积计算而自然引起的，是沿着面积计算而自然展开的，是上一个环节的延续，也是下一个环节的根据，是本节课中最关键的部分。本着依靠学生操作、观察、思考、合作的学习方式，借助教师及时的引导和总结，培养学生发现数学的眼光，拓宽解决数学问题的思路。3．猜想论证

问题1：通过上面的探究，猜想对于任意直角三角形三边的长之间有怎样的关系？问题2：请回忆上面的面积计算过程，如果只给你一个直角三角形能不能证明你的猜想？假如给你若干个全等的直角三角形能不能证明你的猜想？大家一起拼一拼，动手证明一下。图4图5图6 学生将拼接的结果展示在黑板上：

师生活动：对于问题1，学生回答自己的猜想，教师多次指导学生用数学语言去修正，只要关键词语正确，表达的意思也正确的情况下，就达到了教学目的，教师板书定理“直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方”这样一个命题。对于问题2，学生阅读题目发现一个直角三角形不能证明，就会尝试用两个，三个、四个或者更多的全等的直角三角形或者别的拼图方式去验证，有的学生发现两个直角三角形可以通过拼图法证 的明猜想是对的（如图4），而更多的学生可能会发现上一个环节我们通过两次计算S3值时，已经产生过四个直角三角形可以拼成正方形（如图5和图6），构建数学问题的直观模型，发现同一个正方形有两种计算面积的方式，最后借助方程思想证明我们猜想的命题是正确的，教师需要巡视和指导有困难的学生。教学说明：问题1，通过简单的归纳猜想发现一些初步的结论，培养学生的推理意识[1]。问题2的设置具有开放性，不是老师在牵着学生的鼻子走，而是把问题交给学生，挖掘几何直观的素材，为学生发展几何直观素养创造机会[2],由学生架构勾股定理的证明过程，感受图形与数之间、多个图形之间的关联。虽然有点难度，但是在学生群体优势和先前以面积计算做铺垫的情况下，命题的证明是可以被解决的。42022年安徽省中小学教育教学论文评选……三、教学思考 1．主线要清晰环节要紧凑

每一节数学课中重难点的突破都是有主线的。以上设计以面积计算为主线，经历了直角三角形的面积计算、方格网中正方形的面积计算、特别强调了用割补法来计算斜边所在正方形的面积，引出一些用面积计算来证明勾股定理的模型。每一节数学课中重难点的突破环节是紧凑的，以上设计经历了面积计算有疑问、面积计算找关系关系，到面积计算可以用来猜想和论证的过程。总之，我们遵循主线教学规律，重视各个环节之间的关联使之更加紧凑。 2．主体要明确思想要渗透

数学课堂上培养的主体应该是学生，学生除了学习数学知识以外，对学生进行数学思想的渗透也更显得尤为重要。例如本节课在解决直角三角形三边之间是否有等量关系时，我们先从三个正方形围成的特殊的直角三角形入手，渗透数形结合思想，把图形放到了方格网中去研究，这样的话，图形边长方面的属性更容易被抽象出来，借助方程思想找到三边关系，在学生的能力范围之内。再把研究起来有难度的一般直角三角形按照上面的思路放到方格网中，使得它的边长方面的属性再一次被抽象出来，借助数来研究形之间的关系，再一次用到了数形结合思想，后来发现直角三角形向外所作的三个正方形面积之间有等量关系，又一次借助方程思想找到了三边关系，因为不是第一次找直角三角形的三边关系，学生做起来是有思路的。最后，直接把直角三角形从网格中抽出，以开放式的问题设置，引领学生去思考、讨论和交流，而不是牵着学生的鼻子走，用心去培养孩子们的数学素养，提高课堂效率。总之，