中考数学压轴专练专题07二次函数与平行四边形存在型问题（教师版）

突皿中考智学压轴：学霸秘笈大揭秘1019版)

弓题07:次函数。、F行四边形存在型同题

【典例分析】

WT]21.如图，抛物线丫=0%2+加_3经过点火2,-3),与久轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,S.OC=3OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在y轴上，且ZBDO=4B/C,求点。的坐标；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点4B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在。求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(1)根据当x=0时，y=-3,可知C(0,-3)根据OC=3OB,可知B(-1,0)利用待定系数法求出抛物线

的解析式即可.(2)如图：连接AC,作BFJ_AC交AC的延长线于F,根据已知条件得到AF〃x轴，得到

F(-1,-3),可知NBAC=45。,设D(0,m),则OD=|m|根据NBDO=NBAC=45。,即可得到结论；(3)设

M(a,a2-2a-3),N(1,n),①以AB为边，则AB〃MN,AB=MN,如图：过M作ME_L对称轴y于E,

AF_Lx轴于F,于是得到AABFT4NME,证得NE=AF=3,ME=BF=3,得到M(4,5)或(-2,11)；②

以AB为对角线，BN=AM,BN〃AM,如图3,则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论.

满分解答

(1)当x=0时，y=-3,•••C(0,-3),

•：OC=3OB,

OB=1..-.B(-LO)..-.(.°~3-°V(ft0-\，

二抛物线解析式为y=x2-2x-3.

(2)连接AC,作BF,AC交AC的延长线于F,

VA(2,-3),C(0,-3),

，AF〃x轴，

：.F(-1,-3),

，BF=3,AF=3,

.\ZBAC=45°,

设D(0,m),则OD=|m|,

VZBDO=ZBAC,

・•・ZBDO=45°,

AOD=OB=1,

/.m=±l,

/.Di(0,1),D2(0,-1)；

⑶设M(a,a*-2a-3),N(1,n),

①以AB为边，贝AB=NIN,过X作\正1对称轴y于E,AFlx轴于F,

则AABF丝ZiNME,

.•.NE=AF=3,N1E=BF=3,

a-1=3,

二.a=4或a=-2,

.,.M(4,5)或(-2,5)；

②以AB为对角线，BN=AM,BN〃AM,如图，

则N在x轴上，M与C重合，

AM(0,-3),

综上所述，存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，M(4,5)或(-2,5)或(0,-3).

例2如图，直线AD对应的函数关系式为y=-x-1,与抛物线交于点A（在x轴上）、点D,抛物线与x轴

另一交点为B（3,0）,抛物线与y轴交点C（0,-3）,

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P,使

得四边形GFEP为平行四边形；

（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q,使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四

边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由.

（1）先根据直线解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解；

（2）根据直线解析式表示出点P的坐标，利用抛物线解析式表示出点E的坐标，再用点P的纵坐标减去点

E的纵坐标，整理即可得到PE的表达式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点D的坐标，得到点P的

横坐标的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答；

（3）把抛物线的解析式转化为顶点式，然后求出点F的坐标，并利用对称轴根据点P在直线上求出点G的

坐标，然后根据平行四边形的对边平行且相等列式解方程即可判断并求出点P的坐标；

(4)①当点H在x轴下方时，根据平行四边形的对边平行且相等，可得点H的纵坐标与点D的纵坐标相

等，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，再求出HD的长度，然后分点Q在点A的左边与右边两种

情况求出点Q的坐标；

②当点H在x轴上方时，AQ只能是平行四边形的对角线，根据点D的坐标得到点H的纵坐标，然后代入

抛物线解析式求出点H的横坐标，然后根据点H的横坐标表示的点到点Q的距离等于点D的横坐标表示的

点到点A的距离相等求解即可.

满分蟹答

(1)令y=0,贝I-X-1=0,解得x=-1,所以，点A的坐标为(-1,0),

fa-b+c=0(a=1

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,(3,0),C(0,-3)在抛物线上，|9Q+3/>+C=0,解得|b=-2,

Ic=-3[c=-3

所以，抛物线解析式为y=x2-2x-3：

(2);P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，

•••设点P(x,-X-1),则点E的坐标为(x,x2-2x-3),

PE=(-x-1)-(x2-2x-3),

=-x-1-x2-2x-3,

=-(X勺三联立｛，：二二3,解得忆；1，｛)；士3，

所以，点D的坐标为(2,-3),

••.P是线段AD上的一个动点，

Kx<2,

.•.当x=4时，PE有最大值，最大值为％

(3)Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4,

・♦・点F的坐标为(1,-4),点G的横坐标为1,

y=-1-1=-2,

工点G的坐标为(-1,-2),

AGF=-2-(-4)=-2+4=2,

•/四边形GFEP为平行四边形,

，PE=GF,

-x2+x+2=2,

解得X1=O,X2=1（舍去），

此时，y=-1,

.•.点P的坐标为（0,-1）.

故，存在点P（0,-I）,使得四边形GFEP为平行四边形；

（4）存在.理由如下：

①当点H在x轴下方时，：点Q在x轴上，

/.HD//AQ,

二•点H的纵坐标与点D相同，是-3,

此时>x--2x-3=-3,

整理得，x2-2x=0,

解得x1=0,x；=2（舍去）,

.'.HD=2-0*2,

...点A的坐标为（-1,0）,

-1-2=-3,-1-2=1,

二.点Q的坐标为（-3,0）或（b0）,

②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，

；点D的纵坐标为-3,.,.点H的纵坐标为3,Ax2-2x-3=3,

整理得，x2-2x-6=0,

解得Xl=l-J7,X2=l+",

♦.•点A的横坐标为-1,点D的横坐标为2,

2-（-1）=2+1=3,

根据平行四边形的性质，1-々+3-4-々，1+々+3=4+々，

.,.点Q的坐标为（4-々，0）或（4+々，0）,

综上所述，存在点Q（-3,0）或（1,0）或（4-/,0）或（4+々，0）,使A、D、H、Q这四个点为顶

点的四边形是平行四边形.

例3在平面直角坐标系中，平行四边形4B0C如图放置，点4C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),将此平行四边

形绕点。顺时针旋转90°，得到平行四边形AB'OC'.

(1)如抛物线经过点C、44,求此抛物线的解析式；

(2)在(1)情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△4M4的面积最大？最大面

积是多少？并求出此时M的坐标；

(3)在(1)的情况下，若P为抛物线上一动点，N为十轴上的一动点，点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q构成以BQ

作为一边的平行四边形时，求点P的坐标.

思路点桢

(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90。，得到平行四边形ABOC,且点A的坐标是(0,4),

可求得点A，的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A，的抛物线的解析式；

(2)首先连接AA，，设直线AA，的解析式为：y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线AA，的解析式，再设

点M的坐标为：(x,-X2+3X+4),继而可将AAMA，的面积，继而求得答案；

(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案.

满分斛然

解：(1):•平行四边形4B0C绕点。顺时针旋转90°,得到平行四边形AB'OC',且点4的坐标是(0,4),

，点4的坐标为:(4,0),

•:点A、C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),抛物线经过点C、4、4,

设抛物线的解析式为：y=Q，+bx+c,g

a-b+c=0

c=4,

{16a+4b+c=0

(a=-1

解得：b=3,

[c=4

・••此抛物线的解析式为：y=-，+3x+4;

图1

(2琏接乂©,设直线从彳的解析式为：)•=kx+b>

.(b=4

•U+b=0>

解得:w，

「・直线AA'的解析式为：j=f+4,

设点M的坐标为：(乂一小+3x+4),

则SUMA，==X4X[—x2+3汇+4—(―汽+4)]=-2x2+8x=-2(犬-2)2+8,

...当x=2时，△的面积最大，最大值5二4n4,=8,

...M的坐标为：(2,6)；

(3)设点P的坐标为(爸-V+3》+旬,当P,N,B,Q构成平行四边形时,

•••平行四边形4B0C中，点4、C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),

.•.点B的坐标为(1,4),

•••点Q坐标为(1,0),P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，

①当BQ为边时，PN//BQ,PN=BQ,

■：BQ=4,

.".-x2+3x+4=+4,

当一炉+3x+4=40寸，解得：x.=0,xz=3,

.•用（0,4）,丁（3,4）；

当一产+3x+4=-4时，解得：X.=f-,=二'-,

••玛（里9-4）,,-4）;

②当BQ为对角线时，BP//QN,BP=QN,此时P与艮，P；重合;

综上可得：点P的坐标为：P：(0,4),P.(3.4),/,_4),gd平,一4)

例4在平面直角坐标系中，抛物线？=-；/+w+c与%轴交于点4B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过4

C两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在4c上方的抛物线上有一动点P.

①如图1,当点P运动到某位置时，以4P,40为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时

点P的坐标;

②如图2,过点0,P的直线y=日交4C于点E,若PE：0E=3:8,求k的值.

思路点核

(1)由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=-1x2+bx+c求出b和c

的值即可得到抛物线的解析式；

(2)①若以AP,A0为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ〃AO,再根据抛物线

的对称轴可求出点P的横坐标，由(1)中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；

②过P点作PF〃OC交AC于点F,因为PF〃OC,所以aPEFs△()£(：,由相似三角形的性质：对应边的比

13

值相等可求出PF的长，进而可设点点F(x,x+4),利用(_y_/4)-(."4)=2,可求出x的值，解方程求出

x的值可得点P的坐标，代入直线丫=1«即可求出k的值.

满分斛冬

解：⑴：直线y=x+4经过4,C两点,

点坐标是(一4,0),点C坐标是

又；抛物线过.4,C两点,

一合(-守-4匕+c=0,解得:C&=-1

1c=4

c=4

・・.抛物线的解析式为》=-*一-4.

(2)①如图1

12

Vy=--xL-x+4,

2

.•.抛物线的对称轴是直线X=-l.

V以4P，40为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,

APQ//AO,PQ=AO=4.

,:P,Q都在抛物线上,

：.P,Q关于直线x=-l对称，

••.P点的横坐标是-3,

1_5

.,.当x=_3时，y=--x(-3)2-(-3)+4=-,

.•.P点的坐标是(-3,3；

②过P点作PF//0C交4c于点已

'：PF//0C.

.FPEF-AOEC,

・PEPF

•k才

又•脸=；,”=4,

：.PF=^,

设点广(x，x+4),

•'•(-7*2-x+4)-(x+4)=7，

化简得：X?+4x+3=0,解得：x：=-1,x2=-3.

当x=一IB寸,y=7)当x=-30寸>y=p

即P点坐标是(-L；)或(-39.

又：点P在直线y=人上，

-"'k=-；或k=

(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点。的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N,使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形为平

行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标.

思路■点拨

(1)设抛物线的解析式为y=ax?+bx+c(a#0),再把A(-1,0),B(5,0),C(0,--)三点代入求出

2

a、b、c的值即可；

(2)因为点A关于对称轴对称的点*A的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即

可；

(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.

满分斛答

解：(1)设抛物线的解析式为y=m二+i.v+c,

.•・抛物线经过H(-1，°),B(5,0),C(0,-2.5)三点，

a—b+c=Q,

25a+5b+c=0,

c=-25

a=0.5,

解得,力=-2，

c=—2.5.

・•・所求抛物线的解析式为y=05——2.V-2.5.

(2)如图，连结

则5c与对称轴的交点就是所求的点P.

设直线BC的解析式为y=kx+b,

,:B(5,0),C(0,-2.5),

'5k+b=O,

b=-2.5.

A;=0.5,

解得《

h=-2.5.

：.直线BC的解析式为y=0.5x-2.5.

•：抛物线的对称轴为直线x=-b&=——-2—

2a2x0.5

把龙=2代入y=0.5x—2.5中，得y=-1.5,

P(2,-1.5).

(3)存在，.

①当点N在x轴下方时，

•.・抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,-1),

•'•Ni(4,一；)；

②当点N在x轴上方时，

如图，过点N作NDlx轴于点D,

在AAND与△MCO中,

"NAD=NCMO

<AN=CM

/AND=NMCO

/.△AND^AMCO(ASA),

.*.ND=OC=-,即N点的纵坐标为3.

22

55

・120

222

解得x=2+V14或x=2-^/14,

l5r—5

AN2(2+714»5),N3(2-W，-).

综上所述，符合条件的点N的坐标为(4,--),(2+-y/14>2)或(2--y/14>—)•

2

考点：二次函数综合题

【变式训练】

I.抛物线y=-x2+6x-9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得

四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是()

A.(-6,0)B.(6,0)C.(-9,0)D.(9,0)

【答案】D

【解析】

【分析】

首先确定顶一点坐标A和y轴的交点坐标，然后根据抛物线的对称性确定点C的坐标，进而确定D点坐标.

【详解】

解：令x=0得尸-9即点B坐标(0,-9)

,.•y=-x:-6x-9—(x-3)2,

••・顶点坐标A(3,0),对称轴为x=3,

••.C在抛物线上：四边形ABCD为平行四边形，

.*.C(6,-9),

.\CD=6:AB=6;

/.D(9,0),

故选D.

【点睛】

本题考查了抛物线的图像性质，属于简单题，一般式化为顶点式，求出对称轴是解题关键.

2.如图，抛物线y=M-2x-3与x轴交于点A、D,与y轴交于点C,四边形A8CD是平行四边形，则点8的

坐标是()

A.(-4,-3)

B.(-3,-3)

C.(-3,-4)

D.(-4,-4)

【答案】A

【解析】

【分析】

首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出A、D、C的坐标，再利用平行四边形的性质得出B点坐标.

【详解】

解：令y=0,可得x=3或x=-l,

点坐标为（-1,0）；D点坐标为（3,O）j

令x=O,贝

.♦・C点坐标为（0,-3）,

四边形ABCD是平行四边形，

二.AD=BC,AD//BC,

,.\W=BC=4,

••.B点的坐标为（-4,-3）,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键.

1

3.如图，抛物线y2（x+2）（x-8）与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,顶点为M,以AB为直径

作。D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②。D的面积为16K；③抛物线上存在点E,使四边形

ACED为平行四边形；④直线CM与。D相切.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定;

②求得（DD的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE〃AB,交抛物线于E,

如果CE=AD,则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的

解析式通过它们的斜率进行判定.

【详解】:•在y=：(x-2)(x-8)中，当y=0时，x=-2或x=8,

••点A(-2,0)、B(8>0),

・•・抛物线的对称轴为x=^03,故①正确；

TOD的直径为8-(-2)=10,即半径为5,

・・・G)D的面积为25兀，故②错误；

在(X—2)(X-8)=了:一，一4中,当x=0时y=-4,

••点C⑸-4),

当产-4时,为一37=7,解得：制=0、x：=6,

所以点E(6,-4),则CE=6,

VAD=3-(-2)=5,AAD#CE,

・・・四边形ACED不是平行四边形，故③错误;

1,31、25

\"y=-x2--r-4=-(x-3)2--:

?4244

一25

，点M(3,

4

25

25

如图，连接CD,过点历作MNl_y轴于点N,则有N(0,-—)，MN=3,

9225

VC(0,-4),：.CN=-.工”二。M+肱衿丁,

4f16

在即△ODC中，/C0D=9T,：.C\F-6笆,

•.必/=(芋)2=答,

4上<)

:.c\r-cgD\"

.,.ZDC\>90°,即DC1CW,

.「CD是半径，

二直线CW与。。相切，故④正确，

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待

定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关

知识是解题的关键.

4.已知二次函数y=x?+bx+c图象的顶点坐标为(1,-4),与y轴交点为A.

(1)求该二次函数的关系式及点A坐标；

(2)将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是.；

(3)若坐标分别为(m,n)、(n,m)的两个不重合的点均在该二次函数图象上，求m+n的值.

(4)若该二次函数与x轴负半轴交于点B,C为函数图象上的一点，D为x轴上一点，当以A、B、C、D

为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积

【答案】(1)y=x2-2x-3,点A的坐标为(0,-3)；(2)y=-x2+2x+3；(3)m+n=l；(4)6或9+3行或15.

【解析】

试题分析：(I)由y=x2+bx+c的二次项系数为1,顶点坐标为(1,-4),得出该二次函数的顶点式为y=(x-l)

2-4,展开得到二次函数的关系式为y=x2-2x-3,再令x=0,求出y=-3,得到与y轴交点A的坐标；

(2)先求出y=x2-2x-3的顶点坐标(1,-4)沿x轴翻折后的顶点坐标为(1,4),再由二次项系数互为相反

数得出新抛物线的解析式为y=-(x-l)2+4,展开即可求解；

(3)先将(m,n)、(n,in)两点的坐标分别代入y=x2-2x-3,得到n=m2-2m-3d),m=n2-2n-3(2),再用①-

②，整理得出m2-n2-m+n=0,即(m-n)(m+n-1)=0,由n#n,求出m+n=l；

(4)先由y=x2-2x-3,求出B点坐标为(-1,0).当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分

两种情况进行讨论：①如果BD为平行四边形的边，那么根据平行四边形的性质得出BD〃AC,且BD=AC,

则A、C关于二次函数y=x2-2x-3的对称轴x=l对称，得到AC=2,进而根据平行四边形的面积公式得到

S，，ABDC=AGOA,代入数值，即可求解；②如果BD为平行四边形的对角线，那么BD与AC互相平分，设

BD与AC交于点P,由P在x轴上，其纵坐标为0,得出C点纵坐标为3,再由C为函数图象上的一点，

把y=3代入y=x2-2x-3,求出x的值，得到P点坐标为（匕立，0）,则BD=2BP=3+J7,然后根据

2

S；ABCD=SAABD+SACBD,将数值代入即可求解.

试题解析：（1）•..二次函数y=x?+bx+c图象的顶点坐标为（1,-4）,

...该二次函数的顶点式为y=（x-1）24即y=xJ2x-3,

当x=0时,y—3»

.••与y轴交点A的坐标为（0,-3）；

（2）•••y=x2-2x-3的顶点坐标为（1,-4）,

二沿x轴翻折后二次函数图象顶点坐标为（1,4）,

新抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4,

即将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是y=-x2+2x+3；

（3）..•坐标分别为（m,n）、（n,m）的两个不重合的点均在二次函数产x?-2x-3的图象上，

.,.n=m;-2m-3（D,m=n;-2n-3（Z）,

①-②，得n-m=（m;-2m-3）-（n;-2n-3）,

整理，得m--n--ni-n=C>,

（m-n）（m-n-1）=0,

,/m=n,.*.m-n=0,

.\m-n=b

（4）；y=x2-2x-3,

当y=0时，x2-2x-3=0,

解得x=-l或3,

AB点坐标为（-1,0）.

当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况，如图：

①如果AD为平行四边形对角线时，那么BD〃AC,且BD=AC,

二AC〃x轴，A、C关于二次函数y=x2-2x-3的对称轴x=1对称，

：A点坐标为（0,-3）,

.♦.C点坐标为（2,-3）,AC=2,

SoABDC=AC»0A=2x3=6；

②如果BD为平行四边形的对角线，那么BD与AC互相平分，设BD与AC交于点P.

•「P为BD中点，BD在x轴上，

・•.P在x轴上，其纵坐标为0,

•「P为AC中点，A点坐标为《0,-3〉,

•••C点纵坐标为3,

把产3代入J2x-3,得3=x;-2x-3,

解得x1=l-行，X;=1-T7(不合题意舍去)，

二.C点坐标为"币,3),P点坐标为(安匕，0),

.,.BD=2BP=2x(=3-77,

==X

-'-S=ABCDS_ABD_S_CBD2S_ABD=-(3--</7)x3x2=9-35；

③若以AB为对角线，S=5x3=15.

综上可知，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，该平行四边形的面积为6或9+3疗或15.

考点：二次函数综合题.

5.如图，已知二次函数丁=-#+以+‘的图象交工轴于点4(-4,0)和点&交y轴于点C(0,4).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若点P在第二象限内的抛物线上，求△P4C面积的最大值和此时点P的坐标；

(3)在平面直角坐标系内，是否存在点Q,使4,B,C,Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐

标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴y=-x2-3x+4:(2)点P(-2,6),8；(3)足条件的点Q的坐标为(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

【解析】

【分析】

(I)由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB,则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用

待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；

(3)分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到CQ=AB,可得到

关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ的中点，则可求得Q点坐

标.

【详解】

解：(1：.二次函数y=r2+bx+c的图象交x轴于点以一4,0)和点B,交)轴于点C(0,4).

.[-16—4b+c=0

"Ic=4'

-(b=-3

-Ic=「

..・二次函数的表达式为y=-x2-3.1+4,

(2)如图1,

由(1)有，二次函数的表达式为3*+4,

令y=0,得％=-4,或％=1,

3(1,0)

连接月C,PA,PC,

・••点P是直线从。平移之后和抛物线只有一个交点时,S“4c最大,

・.F(—4,0),C(0,4),

・・.直线AC解析式为y=x+4,

设直线平移后的直线解析式为)，=%一4+b,

.(y=­x2—3犬+4

Yy=x+4+b'

.'.x2+4万+b=0；

/.△=16-4b=0>

：.b=4,

，点P(-2,6),

过点P作PD_Ly轴

:・PD=2,。。=4,

・.・/(-4,0),C(0,4)

OA—4,OC=4,

・・・CD=2,

SAPAC

1111

梯形尹

=S7100P-S&PCD-S“AOC=/+°4)x--PDxCD-4xOC=-(2+

4x4=8

⑶

存在点Q,使4B,C,Q四点构成平行四边形,

理由：①以为边时，CQ"AB,CQ=AB

过点C作平行丁的直线/,

VC(0,4),

二直线，解析式为y=4,

.•.点Q在直线，上，

设Q(d,4),

/.CQ—\d\

・・・A(-4,0),

/.AB=5»

：.\d\=5,

/.d=+5,

・・4(-5,4)或(5,4),

②以AB为对角线时，CQ必过线段月B中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，

•1(一4,0),B(l,0),

二线段月B中点坐标为(一；,0),

2

"(0,4),

一直线“解析式为)，=J+4,

设点Q(m,：m+4),

.,J(m+7++4尸=+16,

.'.m=0(舍)或m=-3,

-4),

即：满足条件的点Q的坐标为Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

1

6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=一于2+fet+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点、,其中点A

的坐标为(0,8),点B的坐标为(一4,0).

(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；

(2)点。的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CZXCF,以CD、CF为邻

边作平行四边形CDEF,设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值.

【答案】⑴y=-*+x+8,C(8,0)；(2)①50；②18.

【解析】

【分析】

(1)把A点和B点坐标代入y=-；x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物

线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标

(2)①连结DF,OF,如图，设F(t,&2+t+8),利用Sw边柩OCFD=SACDF+SAOCD=SAODF+SAOCF,利用三角形

4

面积公式得到SACDF-tMt+16,再利用二次函数的性质得到ACDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的

性质可得S的最大值；

②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD〃EF,CD=EF,利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移

8个单位，再向上平移4个单位得到点D,则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E,即E

11

(t-8,-H2+t+12),然后把E(1-8,-12+1+12)代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算

44

△CDF的面积，从而得到S的值.

【详解】

解：⑴..二次函数y=-泞+Bx+C过A(Q,8)、B(-4,0)两点,

-4-4&+c=0'解61c=8

二二;欠函数的解析式为y=-^:+x+S,

当y=0时，解得沟=-4,x:=S,

...C点坐标为(8,0)；

(2)①如解图，连接DF,OF,设F(M,-%2+M+8),

4

•'•S_CDF=S_ODF+S_OCF_S_o皿

=，4xM+|x8x(-+M+8)-：x83

=2M-NF+4M+32-16

=-NF+6M+16

当M=3时，ACDF的面积有最大值，最大值为25,

•.•四边形CDEF为平行四边形，

•'•SCDEF=2S_CDF=50,

AS的最大值为50;

②S=18.

四边形CDEF为平行四边形，

，CD〃EF,CD=EF,

•••点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D,

...点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E,即E(M-8,-1M2+M+12),

4

1,

VE(M-8,-M2+M+12)在抛物线上，

4

11,

(M—8)2+(M—8)+8=—M2+M+12,

44

解得M=7,

2

当M=7时，SACDF=-(7-3)+25=9,

此时S=2SACDF=18.

7.(本小题满分12分)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线y=x+l与二次函数的图象交

于A、B两点，其中点A在y轴上.

(1)二次函数的解析式为y=：

(2)证明点(一m,2m-1)不在(1)中所求的二次函数图象上；

(3)若C为线段AB的中点，过点C做CE_Lx轴于点E,CE与二次函数的图象交于D.

①y轴上存在点K,使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是.

②二次函数的图象上是否存在点P，使得三角形SAPOE=2SAABD?若存在，求出P坐标，若不存在，请说

明理由.

【答案】(1)y=；x2—x+1；(2)详见解析；(3)①K(0,5)或(0,—3),②存在点P(—6,16)和P

(10,16),使得SAPOE=2SAABD.

【解析】

试题分析：(1)由二次函数图象的顶点坐标为(2,()),故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式.

(2)把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，根据根的判别式进行判定.

(3)由直线y=x+l与二次函数的图象交于A,B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，

①设K点坐标(0,a),使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，贝ljKA=DC,且BA〃DK,进而求

出K点的坐标.

②过点B作轴于F,则BF〃CE〃AO,又C为AB中点，求得B点坐标，可得到显POE=2SAABD,

设P(x,!X2-X+1),由题意可以解出x.

4

试题解析：

(2)证明：设点(一m,2m—1)在二次函数y=；x?—x+1的图象上

则有：2m—1=—m2+m+1,

4

整理得m2—4m+8=0.

*.,△=(-4)2-4x8=-16<0,

，原方程无实根，

:•点、(—m,2m—1)不在二次函数y=；x2—x+1的图象上.

(3)①K(0,5)或(0,一3)

②二次函数的图象上存在点P,使得S.poE=2S_ABD

如图，过点B作BFJLX轴于F,则BF4CE//AO,又C为AB中点，

/.OE=EF,由y=；x-x+l和y=x+l可求得点B(8,9).

；.E(4,0),D(4,1),C<4,5),.二皿*轴.

<*.S_ABD=2S_ACD=2X~X4X4—16.

设P(x,|x;-x+l),由题意有：

S_POE—x4(-rX--x+1)-2x+2.

242

•「S_POE=2S_ABD,二・—2x+2=32)

解得x=-6或x=10.

当x=-6时，y=(—6)，一(—6)+1=16.

当x=10时，y=|xl02-10+1=16.

二存在点P(-6,16)和P(10,16),使得S_ME=2S_ABD•

考点：二次函数综合题.

8.如图，已知二次函数y=-x?+bx+c(其中b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为

点M,过点A作AB〃x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标.

(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在AABC的

内部(不包括AABC的边界)，求m的取值范围.

(3)沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M的坐标.

(4)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PQ,记点M关于直线PQ的对称点为M，.当以

点P、A、M、M，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+4,(1,5)；

(2)2<m<4;(3)(3,3)或(-1,7);(4)(1,3)或(-3,7).

【解析】试题分析：(1)利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)先求出AC直线解析式，平移后顶点AC

下方，48上方，在求出坐标的范围.(3)当y=l时，-x2+2x+4=l,解得尸-1或3,利用可得平

移后的例的坐标.(4)连接MC,交P。于凡设出各点坐标，则四边形CMFP是矩形，当四边形PAM'M

是平行四边形时,分别求出尸的坐标为(1,3)或(-3,7).

试题解析：

解：⑴把点-4(3,1),点C(0,4)代入二次函数尸…tow得

—9+3b+c=1b=

解得｛

c=4c=

..・二次函数解析式为尸-.v-2.v-4,

配方得尸-(x-l)

...点”的坐标为(1,5).

3m

(2)设直线4c解析式为尸底也把点A(3,I),C(0,4)代入得｛,,

/?=4

%=—1

解得:

。=4

直线AC的解析式为y=-x+4,如图所示，对称轴直线户1与AABC两边分别交于点E、点£

把户1代入直线AC解析式产7+4解得尸3,则点E坐标为（1,3）,点尸坐标为（1,1）,

点M向下平移〃?个单位后，坐标为（1，5-/n）,

由题意：解得2V初〈4；

：.2<m<4.

（3）如图，

当尸1时，-.v;-2v-4=l,解得r=-1或3,

:.B(-1,1),

/C(0,4),

/.5C=712+3:=.yA0,

'：\iXfZ<ACt。”=而」/(1,5),

••.-W的坐标为⑶3〉或（-1,7）,

二平移后点U的坐标（3,3）或（-1,7）.

（4）如图，连接MC,MM交PQ于F,则四边形CMFP是矩形,

xr(y

当四边形RLWM是平行四边形时，RW=.l£"=2J@=2Pg设P（7”,-D>

则有0（3-加）=2点%

二•H尸1,

：.P（1,3）,

当P41A/是平行四边形时，易知XP，=2CP,

:.及（3-??»）=2**>/2（一?〃），

解得w=-3,

/.P（-3,7）,

综上所述，满足条件的点P的坐标为3,3）或（-3,7）.

点睛：1.求二次函数的解析式

（1）己知二次函数过三个点，利用一般式，），=62+法+。（a/。）.列方程组求二次函数解析式.

（2）己知二次函数与x轴的两个交点（内,0）（*2,0），利用双根式，y=。（无一%）（尤一%）（。工0）求二次

函数解析式，而且此时对称轴方程过交点的中点，》=怜.

（3）已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式y=a（x—/?『+女，（。/0）求二次函数解析式.

（4）已知条件中a,b,c,给定了一个值，则需要列两个方程求解.

（5）已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同（王,y）（x2,y）,则可

以得到对称轴方程x=五上强.

2

2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用

字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，

找出不同点间的关系.如果需耍得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式.

]

9.如图，二次函数y=-2，+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求aABC的面积；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得以0、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-#+4x-6；(2)6；(3)存在；P点坐标为(4,6)或(4,-6).

【解析】

【分析】

(1)把A点和B点坐标代入y=--x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到

抛物线解析式；(2)先把(1)中的解析式配成顶点式，从而得到C点坐标，然后根据三角形面积公式计算

即可；(3)利用PC〃OB,则根据平行四边形的判定方法，当