三角函数恒等变换练习题及答案详解

αβ两角和与差的正、弦正αβ利用两和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换2.利用角变换讨论三角函数的图象和性质牢和差公式、倍角公式，把握公式特征灵使用正用、用、变形两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知点顾．两和与差的余弦、正弦、正切公式cos(－)coscosβ＋β

)αβcos(＋)cos_－sin_αβ)αβ)＝α－αsin_αβ)＝α＋αsin_

(S)αβ(S)αβtan(－)tan(＋)

tanα－tanβ＋tanαtantanα＋tanβ－tanαtan

(T)αβ(T)αβ．二角公式sin＝

2sin

；cosα＝cos2－α＝α－1＝－ααtan＝－tan2．在确熟练地记住公式的基础上灵活运用公式解决问题公式的正用用变形用等可变形为tanαβ＝tan(tan_tan_β)，tanα＋tanβtanα－tantanαtanβ＝－＝－

αβ．函f(α)＝acos＋sinαa常数)可以化为fα＝

＋bαφ或fα)＝a2

＋bcos(－φ，其中可a，b的唯一确定．[难正本疑清]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常“凑．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常“切化弦、升与降”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个待的目标，其手法通常值换”、逆用变用公”“通约”“解与组合”“配方与平方”等．热训1tanα．已α＋)，sin(－β)＝－，的为．5tanβ精选

tan．函f(x)2sinx＋cos)的单调增区间为_____________________tan．(2012·江苏设α为角，若cos

6

4，sinα＋cosα．(2012·江西若＝，2等sinα－cosαA－C．π．(2011·辽)设＋)则sinθ等

()(

)A－

B．

C.

典分题型一三角函数式的化简、求值问题例

化简：α－tanα2

＋tanα

α

；(2)求值：＋＋3tan80°.精选

则

在中已知三个内角，B，成等差数列，AA＋tan＋的值为________．22题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例(1)π12已知<<α<π且，求cos(β)的值；21(2)已知，∈(0π)，且αβ＝，β＝，求α－的值．精选

π已知cosα，cos(－)＝，且<<，求.题型三三角变换的简单应用精选

xxxx例

已知f()＝

1

1tanx

x－·sin4(1)若tanα＝2，求fα的值；ππ(2)若x∈，，fx)取值范围．精选

xx已知函数

f(x)＝

sin

2

6

＋2sin

x

12

(∈R．(1)求函数f(x)最小正周期；(2)求使函数f()取得最大值时的合．利三变研三函的质典例：分(2011·北京)已知函数fx＝4cosx·sin6(1)求f)的最小正周期；(2)求f)在区间

64

上的最大值和最小值．精选

22总方法与技巧．巧公式变形：和差角公式变形tany＝)·(1tantany；＋cos2－cos2倍角公式变形：降幂公式cosα＝，sinα；2αα配方变形：1±sinα＝sin±cos1cosα＝2，－cos＝．利辅助角公式求最值、单调区间、周期．由＝asin＋bcosα＝a22＋)(其中φ)有＋b≥y．重视三角函数“变“三变是指“变角、变名、变”变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明问题的体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．．已和角函数值单或和角的三角函数值的技巧已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所的复杂问题简单化．．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征体会公式间的联系握常见的公式变形角公式应用是重，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误与防范“1”(0sin(β)

αβ精选

π＋sin．在三角求值时，往要估计角的范围后再求值．π＋sin过训(时间：钟，满分分)一、选择题每小题分，共15分．(2012·山东若θ

,4

7，sin2＝，则θ于

()

C.

．已tan(＋)＝，

4

，那

4

(

)

C.

π．当≤x≤时函数f(x＝＋3cos的A最大值是1最小值是1B最大值是1最小值是－C．大值是2最小值是－2D．大是2最小值是－1二、填空题每小题分，共15分

()．已锐角α满α＝cos

4

sinα＝．已

4

α，∈＝4．设x∈

2

＋1函数y＝的小为_．sinx三、解答题．分(2012·广东)已知函数f(x)2cos

6

中，R的最小正周期为10π.(1)求ω的；精选

π105，(2)设α，∈0，π105，

5α＋π＝，f5－＝，cos(＋)的值．课后习题(时间：钟，满分分)一、选择题每小题分，共分)．(2012·江西若θ＋＝4，则θ等tanθ

()

C.

．(2012·大纲全国已知α为二限角α＋cos＝

，则cos2等于

()A－

B－

C.

．已，都是锐角，若sinα＝ππ3πC.和4

，sinβ＝，则α＋等3ππ3D．和

()．(2011·福)若α

2

2＋cosα，则的值等于

()B.

C.23二、填空题每小题分，共15分．cos

75°＋2

＋cos75°cos的值为_______．

12°－＝________.－212°3．sin＝，＝，其，∈＋＝__