高中数学培优班第十三讲 空间向量的坐标运算

zDBx111112222222空间向量的坐运算zDBx111112222222【知识要】1．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直1基底叫做单位正交基底，常用表示．2．空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点O原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴x轴yz，它们都叫坐标轴，则建立了一个空间直角坐标O，点O叫原点，向量都叫坐标轴．注：①笛卡尔系．②右手系3．空间向量的坐标

O

A

Cy1

y则

①坐a．②向量的坐标记法axyjzk③点的坐标．两的距离公：设点Pxx→Pxxyyzz．12212121

，4．向量的数量积①向ab夹角，记为：>，0②正射影．③数量积．

．abab)为间两个向ab数量积，又称点乘积，内积．性质(a)b)（2abba（3b)cacb（4）ab．注abcac．5．向量坐标运算法则，axx．111222（1abx1

x21

y21

z2

（2abx1

x21

y21

z2（3）axx,123

（4abxx12

yy12

zz12

6．空间向量平行和垂直的条件，设向axx111222a1（1ab0)aba2a3（2abab0xxy1212

b1b2b3zz12

0

xyz111xyz222

．【经典例题例1已知ABCD为边长等于1的方形，SA底面ABCD．设GABC的重心，E是→→SD上一点，且SE=3ED试用基底表示向GE求线段GE的长．SEAG

DB

FC例2已知空间向满足a4,，试求a2b．→例3在正方体ABCD—ABCD，求：<AC11111

>．D

1

C

1A

1

B

1D

CAB例4已知ABC的三个顶点（1,－1,7－2,5－3,9ABC的各边之长求的三个内角的大小写出的重心坐标及外心坐标．

→→→→→→→→→例5在如图所示的正方体AC，已知E、F、G、H分别是CC、BC、CD和C中点．1111证明：AB⊥EH．1

xB

1

A

1

H·

C

1

D

1A

E

D

yz

B

(O)

F

C

G例6试问向是否共面？例7如图所示，正方形ABCD与方形ABEF边均为1且平面ABCD⊥面ABEF，点M在AC上移动，点BF上移动，CMBNa0a2求MN的度a为何值时，MN的长最小．

CD

M

B

EN【经典练习1．已知O、A、B、C是空间四点，有下列各命题：①若存在实，OCyOB，则O、A、B、C四点共面；OCxOAyOB

A

F

→→→aabbb→1→4．②若不存在实，使O、B、C四点不共面；③A构成空间的一个基底，则O、B、C四点共面；→→→aabbb→1→4．④构成空间的一个基底O四点不共面中正确的

）A、1个B、2个C、3个2．下列结论中，不正确的是（）

D、4个A、两个非零向b垂直的充要条件b1311

b22

b33

B、b．aba131

22222223123C、两个非零向b，则a13Dab0的充要条件a0b

23．已知空间三点x,yx,y，则112333

是AC三点共线的（）A、充分但不必要条件C、充要条件

B、必要但不充分条件D、既不充分也不必要条件4．模等2且方向与向同的向量为．5．已2,为段AB上一点，满足6．是意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题

，则点C的坐标为．①abcca0③cac不c直；

②ab④3a2b3a2b9a

2其中是真命题的有（）A、①②B、②③C、③④D、②④7．如果向满足260，那

．8．如果4,a2,b1，则a

．9．如果ab2,ab3

，a，则a

，b

．10．已知向ai3k与b4ijk则，．11．已2,c，则

．12．已b

b，ba2

a，b

．13．如图所示，已知线AB⊥平面CDBC，DF平面，且DCF30→与A在的同侧，若AB=BC=CD=2，的模．ADFBC

14．如图，点是正ABC平面外的一点，若、F分别是、OC中点，→→试求与BF所成的角．OFA

CE

O′B15．如图，ABOD与ODEF都是边长为的正方形，BOOF，点P是AF中点．（1）求OP求异面直线与OP所成的角．zB

y

P

AF

E→16．如图所示，在正方体BCD，求向量BC与11111

AC→

OD的夹角的大小．D1

xC

1A

1

B

1D

C17．如图所示，已知空间四边形的条边和对角线长都等于1EAB、AD→→→→→的中点，计算（1EF（2BD（3DC．OE

FB

DC

→11→1118．如图所示,已知平行六面体BCD，AB=4，AD=3