三年高考两年模拟-数学不等式

第七章不等式

第一部分三年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

2x+y<3,

x+2y<3,

1.(2010文)15.满足线性约束条件{尤>0的目标函数z=x+y的最大值是()

”0

3

(A)1.(B)(C)2.(D)3.

2

答案C

解析：当直线z=x+y过点B(l,1)时，z最大值为2

x+3y-3>0,

2.(2010理)(7)若实数x,y满足不等式组■2x-y-3«O,且x+y的最大值为9,则实

x-my+1>0,

数相=

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

答案C

解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C,本

题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中

档题

3.(2010全国卷2理)(5)不等式-------^>0的解集为

x—\

(A){x\x<-2,^x>3}(B){x|x<-2,或l〈x<3}

(C)3―2Vx<1,曲>3}(D)3―2Vx<1,或1V%<3}

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

X-x一6、八(x-3)(x+2)-〜7,4、八

------------>0=——△-----二>0=(x-3)(x+2)(x-l)>0，

【解析】x-l(X-1)利用数轴穿根

法解得-2<X<1或x>3,故选C

%>-1

4.(2010全国卷2文)(5)若变量x,y满足约束条件"y2x则z=2x+y的最大值为

3x+2y<5

(A)1(B)2(03(D)4

【解析】C：本题考查了线性规划的知识。

V作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，

二即为(1,]),当X=l，y=l时Zmax=3

r—3

5.(2010全国卷2文)(2)不等式一^<0的解集为

x+2

(A){M_2cx<3}(B)|x|x<-2}(C)|x|x<-2gJu>3|(D)|x|x>3}

【解析】A：本题考查了不等式的解法

•••X+2，,一2Vx<3,故选A

x―2,x—2,

------>--------

6.(2010理)3.不等式无”的解集是()

A.(0,2)B.(-oo,0)C.(2,+oo)D.(-oo,0)U(0,+oo)

【答案】A

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.七2<0,解得A。

X

或者选择x=l和X=-l,两个检验进行排除。

2x4-y-6>0,

7.(2010文)(8)设x,y满足约束条件｛尤+2y—6W0,则目标函数z=x+y的最大值是

”0,

(A)3(B)4(C)6(D)8

答案C

【解析】不等式表示的区域是一个三角形,3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2),目标函数2=%+y

在(6,0)取最大值6。

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区

域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大

值.

x>Q,

8.(2010文)(7)设变量满足约束条件“x-yNO,则z=3x-2y的最大值为

2x—y—240,

(A)0(B)2

(C)4(D)6

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z=3x-2y过点B时，在y轴上截距最小，z最大

由B(2,2)知Z3=4

*x+3y-3^0>投

(2010浙江媛)(7)若我取满足不等式组合」2x-y-3W0,则数力的最大值为〃

^x-y+l^O,d

(A)9(B)—P

7

7

(C)1(D)—

15

解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A,本题主要考察了用平面区域二元一次

不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题

10.(2010理数〉(7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是

911

A.3B.4C.-D.—

22

答案B

解析：考察均值不等式

2

x+2y=8-x-(2y)>8-,整理得(x+2y)2+4(x+2y)—32N0

即(x+2y-4)(x+2y+8)N0,又x+2y〉0,二x+2yN4

y>0

11.（2010理数）（4）设变量x,y满足约束条件|x-y+l上0,则z=2x+y的最大值为

A.—2B.4C.6D.8

答案C

解析：不等式组表示的平面区域如图所示

当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6

x+y-1120

12.（2010北京理）（7）设不等式组<3x-y+3>0表示的平面区域为D,若指数函数

5x-3y+9<0

y=优的图像上存在区域D上的点，则a的取值围是

(A)(1,3](B)⑵3](C)(1,2](D)[3,+<»]

答案：A

,11■,

13.(2010理)(12)设a>/>>c>0,则2a~H----1----------10ac+25c~的最

aba(a-b)

小值是

(J)2(B)4(C)2亚（。）5

,11,

解析：2。2+一+---------10ac+25c2

aba(a-b)

—(a-5c)~+ci~-cib+abH----1--------

aba(a—h)

,11

=(a-5c)+ah-\---Fa(a—h)H--------

aba(a-b)

20+2+2=4

当且仅当a—5c—0,ab=1,a(a—6)—1时等号成立

如取a=V2,6=^^,。=也满足条件.

25

答案：B

14.(2010理)(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出/产品，由乙车间加工出力产品.甲

车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克/产品，每千克｛产品获利40元，乙

车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克8产品，每千克8产品获利50元.甲、

乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480

小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为

(/)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

(8)甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

(C)甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

(。)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

答案：B

解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱

x+y<70

则<10x+6y<480

x,yeN

目标函数z=280x+300y

结合图象可得：当x=15,y=55时z最大

本题也可以将答案逐项代入检验.

x+y<3,

15.(2010天津文)(2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大

”1，

值为

(A)12(B)10(C)8(D)2

【答案】B

【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知,

当目标函数过直线y=l与x+y=3的交点(2,1)时z取得最大值10.

16.(2010文)

5.设xveR且

17.(2010全国卷1文)(10)设a=log321=ln2,c=5-；则

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)c<b<a

答案C

【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小

的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.

【解析1】a=log32=―,—,b=In2=——，而log,3>log,e>1,所以a<b,

log23log,e

，而y[5>2=log24>log23,所以c<a,综上c<a<b.

112

【解析2】a=loga2=---^,/>=ln2=----,1<log；<log：<2,l<_L<_L<i.

2log；log；'

log2log；

111

c=52=—；=■<—7==—,/.c<a<b

V5V42

9，

18.(2010全国卷1文)(3)若变量满足约束条件，x+y>0,则z=x-2y的最大

x-y-2<0,

值为

(A)4(B)3(02(D)l

由图可知，当直线/经过点A(l,-1)时，Z最大，且最大值为z”.=l—2x(_l)=3.

19.(2010全国卷1理)(8)设a=10g32,金ln2,c=52,则

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)c<b<a

分析：本小题以指数，对数为载体，主要考查指数、对数函数的性质，实数大小的比较以及换底公式等知识.

1][n2]n2

解：<52<—=log?<lo§32=-----<-----，.tC<Q<6.故选C.

2In31

20.(2010全国卷1理)

(3)若变量x9y满足约束条件■x+y20，则z=x-2y的最

x-j-2<0,

大值为

(A)4⑻3(02(D)l

分析:本小题主要考查线性规划中利用约束条件作出可行域

并能求出目标函数的最值问题。

解：作出可行域，当目标函数z=x-2y通过两直线

x+y=0,x-y-2=0的交点(1,-1)时取得最大值，

•••Za=l—2・(—l)=3.故选B

21.(2010文)(11)设。>1)>0,则。24----1—----^的最小值是

ahaya-b)

3)1QB)2(03(。)4

答案：D

解析：/-4-

ahaya-b)

=a2-ab+ab+—+-----

aba(a-h)

1

=ab+-+a(a-b)+一—

aba(a-h)

22+2=4

当且仅当ab=T,a（a—扮=1时等号成立

如取a=肥，b=---满足条件.

2

22.（2010文）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出8产品.甲车

间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车

间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克5产品获利50元,甲、

乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480

目标函数z=280x+300/

结合图象可得：当x=15,y=55时z最大

本题也可以将答案逐项代入检验.

23.（2010理）

x-y+2>o,

（10）设变童X、1满足约束条件,x-5»+10M0,贝J目标

x+^-8<0,

函数-3.V-41的最大值和最小值分别为

（A）3,-11（B）-3,-11

-3（D）113

【答案】A

【解析】画出平面区域如图所示：

可知当直线z=3xSy平移到点（5,3）时，目标函数z=3x4y取得最大值3；当直线z=3x/y

平移到点（3,5）时，目标函数z=3xSy取得最小值-11,故选A.“

【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识,画出平面区域与正确理解目标函数z=3x4y

的几何意义是解答好本题的关键.，

X>1

24.（2010理）8.设不等式组<x-2y+3N0所表示的平面区域是R,平面区域是a与。,关

y>x

于直线3x—4y—9=0对称，对于。，中的任意一点A与。2中的任意一点B,|的最小值

等于（）

2812

A.—B.4C.—D.2

55

【答案】B

【解析】由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Q,中的点到直线3x—4y—9=0的距

离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

第8题图

可看出点（1,1）到直线3x—4y—9=0的距离最小，故|AB|的最小值为

2x|3xl-4xl-9|^4>所以选B。

5

二、填空题

1.（2010文）2.不等式2二日〉0的解集是________________

x+4

【答案】{x|-4<x<2}

解析：考查分式不等式的解法2二色〉0等价于（x-2）（x+4）<0,所以-4<x<2

x+4

x+2y<4,

2.（2010文）14.设x,y满足约束条件<x-y<l,,则目标函数z=?>x-y的最大值

x+2>0,

为.

【答案】5

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z=3x—y过点C（2,1）时，在y轴上截距最小

此时z取得最大值5

3.（2010文）（15）已知一1cx+y<4且2<x-y<3,则

z=2x—3y的取值

是.

（答案用区间表示）

【答案】（3,8）

x+y>-l

A+V<4表示的平面区域，即可求解.

【解析】填（3,8）.利用线性规划，画出不等式组，

x-y>2

x-y<3

4.（2010理）（14）已知一1Vx+y<4且2Vx—y<3,则z=2x-3y的取值围是

（答案用区间表示）

【答案】（3,8）

【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

—1<x+v<4

【解析】画出不等式组1表示的可行域，在可行域平移直线z=2x-3y,当直线

.2<x-y<3

经过x-y=2与x+y=4的交点A（3,1）时，目标函数有最小值z=2X3-3X1=3；当直线经过

x+y=T与x-y=3的焦点A（1,-2）时，目标函数有最大值z=2X1+3义2=8.

5.（2010文）（15）若〃>0,。>0,。+。=2,则下列不等式对一切满足条件的。涉恒成立的

是（写出所有正确命题的编号）.

①②&+血40；③a2+b2>2；

④/+八3；⑤

ah

【答案】①，③，⑤

【解析】令a=b=l,排除②②；由2=a+命题①正确；

a2+h2=（a+b）2-2ab=4-2ab>2,命题③正确；-+-=^-=—>2,命题⑤正

ababab

确。

6.（2010文）（15）若正实数X,Y满足2X+Y+6=XY,则XY的最小值是»

【答案】18

7.（2010文）（14）已知x,yeR+,且满足2+[=1,则xy的最大值为.

【答案】3

8.（2010北京文）（11）若点p（m,3）到直线4x—3y+l=O的距离为4,且点p在不等

式2x+y<3表示的平面区域，则m=。

【答案】-3

9.（2010全国卷1文）93）不等式，二-20的解集是

x2+3x+2

【答案】{司一2cx<-1,或x>2}

【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法

【解析】：^-007—==~->0«（x-2）（x+2）（x+l）>0,数轴标根

J+3x+2（x+2）（x+l）'八八/

得：{犬卜2<x<-1,或x>2}

10.（2010全国卷1理）（13）不等式，2市+1-xWl的解集是,

分析：本小题主要考查无理不等式的解法.

解：由Jzf+l-xd.•.14痴场41+丫,两边平方解得041工2,故不等式的解窠是{x|0WxM2}.

yKx,

11.（2010文）12.已知：2x-y,式中变量x,y满足的束条件<x+yNl,则z的最大值为

x<2

【答案】5

【解析】同理科

12.（2010理）

（14）若对任意x>0,——<a恒成立，则a的取值范围是

x，+3x+l-----

【答案】a>-

5

所以（当且仅当时取等号），所以有

【解析】因为x>0,x+l22x=l

X

X_1『1一1snx的3+估斗1如八、1

2-

X+3X+1-x+l+32+35'…q

x

【命题意图】本题考查了分式不等式怛成立问题以及参数问题的求解，考查了同学们的转化能力.属中档

题.

13.（2010理）

11,命题对任何xeR.|x-2|+|x-4|>3"的否定是.

H存在xeR,使得k-2|+卜-4区3

【解析】全称命题的否定式特称命题.全称量词“任何”改为存在■词“存在”，并把结论否定.

【误区警示】这窕可题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于«>”的否定用了这里

就有注意黛词的否定形式如“都是”的否定是“不邰是”.而不是“邰不是”

'2x-y+2>0

14.（2010理）13、设x,y满足约束条件<8x-y-4<0,若目标函数

x>0,y>0

z=abx+y（<a>0/>0）的最大值为8,则。+匕的最小值为。

【答案】4

【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是

（0,0）,（0,2）,（^,0）,（1,4）,易见目标函数在（1,4）取最大值8,

所以8="+4=次?=4,所以。+=4,在。=。=2时是等号成立。所以。+人

的最小值为4.

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区

域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得。匕=4,要想求a+b

的最小值，显然要利用基本不等式.

'y4光，

15.（2010理）12.已知z=2x-y,式中变量x,y满足约束条件<x+y21,,则z的最大

x<2,

值为.

【答案】5

【解析】依题意，画出可行域（如图示）,

则对于目标函数y=2x-z,

当直线经过A（2,-1）时，

z取到最大值，Znm=5.

16.（2010理）15.设a>0,b>0,称上竺•为a,b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，

a+b

且AC=a,CB=b,0为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结

0D,AD,BDo过点C作0D的垂线，垂足为E。则图中线段0D的长度是a,b的算术平均数,

线段的长度是a,b的几何平均数，线段的长度是a,b的调和平均数。

【答案】CDDE

【解析】在RtZ\ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=ACC3,故C£>=疯，即CD

长度为a,b的几何平均数，将0C=。-"2=@必，8=疝，=巴吆代入

222

ODCE=OC，可得CE=^-y[ab故OE=yJoC2-CE2=,所以

a+b2（a+b）

ED=0D-0E=^-,故DE的长度为a,6的调和平均数.

a+b

23

17.（2010卷）12、设实数x,y满足3Wxy2W8,4W±-W9,则占的最大值是»

yy

【答案】27

【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。

2111r3X21Y3

（—r）2e[16,81],—et-4],^=（—）2•—e[2,27],2的最大值是27。

yxyS3yyxyy

三、解答题

1.（2010理）19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物

6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单

位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的

碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求,

并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订X,〉个

单位的午餐和晚餐，共花费z

元，则z=2.5x+4y。

可行域为

12x+8y264

6x+6y242

6x+10y254

x20,xGN

y20,yGN

即

3x+2yN16

x+y27

3x+5y>27

x20,xGN

y20,ySN

作出可行域如图所示:

经试验发现，当x=4,y=3时，花费最少，为z=2.5x+4y=2.5X4+4X3=22元.

2.（2010文）19.（本题满分12分）

某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，

6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单

位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的

碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求,

并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

解：设为该儿童分别预订无个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F,则F=2.5x+4y,

由题意知：

r12x+8y>64

6x+6j>42

6x+10y>54

Ix〉0,y>0

画出可行域：

5F

变换目标函数：y=一一x+—

-84

当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+】0y=54的交点（4,3）,

F取得最小.

印要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订』个单位

的午餐和3个单位的晚餐。

3.（2010理）15.设a>0,b>0,称2"为a,b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，

a+b

且AC=a,CB=b,0为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结

OD,AD,BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段0D的长度是a,b的算术平均数，

线段的长度是a,b的几何平均数，线段—的长度是a,b的调和平均数。

【答案】CDDE

【解析】在RtaADB中DC为高，则由射影定理可得CD，=AC-CB,故C£>=痴，即CD

长度为a,b的几何平均数，将0C="—上吆=@必，CD=4ab,OO=巴吆代入

222

ODCE=OC<可得CE=@必而故J。。2-CE?=（”"）,所以

a+b2（a+b）

ED=0D-0E=22,故DE的长度为a,6的调和平均数.

a+b

2009年高考题

第一节简单不等式及其解法

一、选择题

L（2009卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是

A.p：a+c>b+d,0：a>b且c>d

B.p：a>l,b>l<?：f（x）=ax-b（a>0,且aH1）的图像不过第二象限

C.p：x=l,q：X=X

D.p：a>l,<7：f(x)=logax{a>0,且。工1)在(0,+oo)上为增函数

答案A

解析由a>b且c>d=a+c>b+d,而由a+c>b+da>b且c>d,可举反例。选

Ao

2.（2009卷文）是“且”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析易得a>b且c>d时必有a+c>Z>+d.若a+c>b+d时，则可能有。></且05，选

A„

3.（2009卷文）已知a,b,c,d为实数，且c>d.则“a>。"是"a-c-d"

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析显然，充分性不成立.又，若a-—d和c>d都成立，则同向不等式相加

得a>力

即由“a-c>b—d"=“a>b”

4.（2009天津卷理）0<分<1+。，若关于x的不等式（无一b）2>（ax）2的解集中的整数恰

有3个，则

A.—1<a<0B.0<a<1C,l<a<3D.3<a<6

答案C

5.(2009卷理)已知a,b,c,d为实数，且c〉d。则"a〉6"是"a-c>匕一d"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件1).既不充分也不必要条件

【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。(同文7)

答案B

解析a>力推不出—d；但a—c>8—d=a>h+c-d>8,故选择B。

解析2：令a=2,/?=lc=3d=,则a—c=4<h—d3=(—5>；由

a-c>b-可得，a>/?+(c-d)因为c〉d,则c-d>0,所以a>b。故"a>b"

是“a-c>b—d”的必要而不充分条件。

6.(2009卷理)不等式卜+3|—上一1|4/一3。对任意实数次恒成立，则实数〃的取值围为

()

A.(—oo,—l][4,+oo)B.(―<x>,—2][5,+<x>)

C.[1,2]D.(—co,1][2,+8)

答案A

解析因为一4Kx+3T-iq寸X43式4玄三对任意x恒成立，所以

a2-3a>4即4-3a>0,解得a>4或a<-1

二、填空题

45x

7.(2009年卷理)若行列式1x3中，元素4的代数余子式大于0,

789

则x满足的条件是.

Q

答案x>-

3

Q

解析依题意，得：(-1)2X(9X-24)>0,解得：

3

三、解答题

8.(2009卷)(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单

价为机元，则他的满意度为_^；如果他买进该产品的单价为〃元，则他的满意度

m+a

为」—.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为"和色，则他对这两种

n+a

交易的综合满意度为q硒.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的

单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为用4元和机8元，甲买进A与

卖出B的综合满意度为乙,，乙卖出A与买进B的综合满意度为色

3

(1)求4P和色关于加A、的表达式；当根A=一〃2B时，求证：愠=忆

3

设根A=-〃2B，当A、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最

(2)A5。mD

大的综合满意度为多少？

(3)记(2)中最大的综合满意度为%,试问能否适当选取〃豆、的值，使得为之为

和

〃乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

解析本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽

象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。

啊啊mA啊

%=%=,(Wjle[3,12],^e[5,20])

(1)mA+12m£+5'mA+3%+20'

二，%时，/=可二--------g=j———

B

513机“+12'"+5\(mB+2O)(mB+5)•

色二-----Img2—

+3mB+2。V(%+5)(%+20)

(2)当=二机"时，

A5B

%尸I.1

''(m+20)(m+5)~~20~TT

HH(1+——)(1+——)100(——)2+25——+1

mBmRmH

由MB€[5,20]得

mB205

故当」一=—即小8=20,桃4=12时,

mB20A

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为半

(3)(方法一)由(2)知：/i-———

°()5

巫得:m+12mB+5<5

由与二A

mAmB-2'

mA+12mB+55

351(l+4x)(l+y)«|。

令——=%——=%则％、yef-,1],即:

m

%B4

同理，由屹2%=芈得：(l+x)(l+4y)<|

另一方面，x、ye[-,l]l+4x>l+4ye[2,5],l+x、1+ye[-,2],

42

(l+4x)(l+y)Nm，(l+x)(l+4y)zg,当且仅当x=y=；,即〃2A=〃％时，取等号。

所以不能否适当选取"A、加8的值，使得匾和生同时成立，但等号不同时成

立。

方法二：由(2)知％因为％人一局^力.a.高

11220一4

所以,当A.N亨.红N寺时.

因此,不能取到小的值，使得妾4和心注A同时成立,但等号不同时成立.

第二节基本不等式

一、选择题

1.（2009天津卷理）设。>0,。〉0.若也是3"与3"的等比中项，则工+工的最小值为

ab

I

A.8B.4C.1D.-

4

考点定位本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了

变通能力。

答案C

解析因为3"=3,所以a+A=l,

l+l=(a+/>)(l+l)=2+-+->2+2J---=4,当且仅当-=-即

ababab\abab

a=5=,时“=”成立，故选择C

2

2.（2009卷文）已知a>0,b>0,则工+』+2向的最小值是（）

ab

A.2B.2A/2C.4D.5

答案C

解析因为,+，+2，正221一L+2/瓦=2（J—［当且仅当，=1，

abVcibvcibab

且，即。二人时，取“二”号。

二、填空题

2

3.（2009卷文）若x>0,则1+—的最小值为.

x

答案2收

解析x>O=>x+—>2V2,当且仅当x=2=>x=J5时取等号.

XX

三、解答题

4.（2009卷文）（本小题满分12分）

围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,

其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示,

已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单

位：元）。

（I）将y表示为x的函数：

(II)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

解：(1)如图，设矩形的另一边长为am

则J2-45X-180(X-2)+180・2a=225x+360a-360

由已知xa=360,得a二----，

x

3602

所以y=225x+上一一360(xA0)

x

(II)•••X>0,225x+理->2,225X3602=10800

X

22

：.y=225x+---------360>10440.当且仅当225x=;——时，等号成立.

xx

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

第三节不等式组与简单的线性规划

一、选择题

3x-y-6<0

1.(2009卷理)设x,y满足约束条件<x-y+220

x>0,y>0

若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的是最大值为12,

23

则一的最小值为(

ab

答案A

解析