医药数理与概率统计学

医药数理与概率统计学医药数理与概率统计学第1页《医药数理统计方法》§6.1一、假设检验概念

在实际问题中，经常会碰到依据样本所提供信息，判断总体是否含有某种指定特征。如

1)总体分布是否服从某一类型？

2)总体某个参数与某个定值是否有实质性差异？

3)同类型两个总体某个参数是否相同？

……

这些都是假设检验问题。医药数理与概率统计学第2页《医药数理统计方法》§6.11、假设检验

依据某种实际需要，预先对未知总体作出一些假设，然后再依据实测样本信息去检验假设合理性，以最终决定对该假设取舍。这种关于总体种种假设称为统计假设，处理假设统计方法称为统计假设检验，简称假设检验(hypothesistesting)，也称显著性检验(significancetest)。医药数理与概率统计学第3页《医药数理统计方法》§6.1注：分类

1)参数检验(parametrictest)

已知总体分布类型,对其未知参数假设作假设检验，称为参数检验。2)非参数检验(nonparametrictest)

对未知总体分布类型总体假设作假设检验，称为非参数检验。医药数理与概率统计学第4页《医药数理统计方法》§6.12、小概率原理一个概率很小事件（即小概率事件），在一次试验中普通是不应该发生。

那么，若在所作假设成立条件下，某事件为小概率事件。然而，它在一次试验中竟然发生了，便有理由认为它不是小概率事件，而推理过程并无差错，所以只能认为假设不正确，从而拒绝该假设。这就是小概率原理。小概率事件概率常见α表示，普通α≤0.05，尤其多取α=0.05和α=0.01。医药数理与概率统计学第5页《医药数理统计方法》§6.1例6.1有作用强烈某种药品，按要求每片有效成份含量为0.5mg。今随机抽取某厂生产这种药品12片，测得药片平都有效成份含量为0.4938mg。假定药片有效成份含量服从标准差为0.01mg正态分布。问这个厂家产品是否符合要求？医药数理与概率统计学第6页《医药数理统计方法》§6.1解：设药片有效成份含量为X(mg),则X～N(μ,σ2),μ未知，σ2已知。建立H0:μ=0.5,H1:μ≠0.5

若H0成立，则样本值∴拒绝H0，即认为这个厂家产品不符合要求。医药数理与概率统计学第7页《医药数理统计方法》§6.1注：1)拒绝“μ=0.5”，正确说法是“μ与0.5有显著性差异”，或者说“μ与0.5有统计学意义。”

2)“拒绝”一个假设，咱们有100(1-α)%把握，作出结论是相当有力。而“不拒绝”，则是软弱无力。

3)例6.1若给出咱们结论是不拒绝H0，即认为这个厂家产品符合要求。

α大小还直接决定着检验结论性质，故把α称为检验信度或检验显著性水平。医药数理与概率统计学第8页《医药数理统计方法》§6.1二、两类错误

1、分类：

1)第一类错误：H0正确，被检验拒绝；

2)第二类错误：H0不正确，没有被拒绝。注：一个假设检验犯第一类错误概率就是显著性水平α。

2、奈曼和皮尔逊提出：从理论上讲，一个好检验总是在确保犯第一类错误概率α不超出给定数值前提下，使犯第二类错误概率降低到最小。医药数理与概率统计学第9页《医药数理统计方法》§6.1三、假设检验普通步骤

1、建立原假设和备择假设；

2、在原假设成立条件下，结构一个与本问题亲密相关且分布已知统计量；

3、做出检验结论，并给以专业解释。医药数理与概率统计学第10页《医药数理统计方法》§6.2§6.2假设检验常见方法一、置信区间法二、临界值法三、P值法医药数理与概率统计学第11页《医药数理统计方法》§6.2例6.1有作用强烈某种药品，按要求每片有效成份含量为0.5mg。今随机抽取某厂生产这种药品12片，测得药片平都有效成份含量为0.4938mg。假定药片有效成份含量服从标准差为0.01mg正态分布。问这个厂家产品是否符合要求？医药数理与概率统计学第12页《医药数理统计方法》§6.1解(一)：设药片有效成份含量为X(mg),

则X～N(μ,σ2),μ未知，σ2已知。建立H0:μ=0.5,H1:μ≠0.5

若H0成立，则样本值∴拒绝H0，即认为这个厂家产品不符合要求。医药数理与概率统计学第13页《医药数理统计方法》§6.1解(二)：设药片有效成份含量为X(mg),

则X～N(μ,σ2),μ未知，σ2已知。建立H0:μ=0.5,H1:μ≠0.5

若H0成立，则样本值医药数理与概率统计学第14页《医药数理统计方法》§6.2∴拒绝H0，即认为这个厂家产品不符合要求。医药数理与概率统计学第15页《医药数理统计方法》§6.2注：1)解(一)为临界值法---事先给定α，用临界值去表示拒绝域。

2)解(二)为P值法---依据统计量样本值去反查临界值表求出对应小概率事件概率值，记作P。只要P≤0.05，就拒绝原假设H0。因为受到临界值表限制，求准确值不方便时，要注明P值尽可能准确范围。多年来报刊杂志等文件资料上多采取P值法。医药数理与概率统计学第16页《医药数理统计方法》§6.3§6.3正态总体均值检验一、方差已知条件下u检验二、方差未知条件下t检验医药数理与概率统计学第17页《医药数理统计方法》§6.3一、方差已知条件下u检验(一)单个正态总体例6.1(略)(二)两个正态总体例6.3从两个正态总体X～N(1,32)，Y～N(2,42)中分别抽取容量为25和30样本，算得，而且两样本相互独立。问这两个正态总体均值是否有显著差异？医药数理与概率统计学第18页《医药数理统计方法》§6.3解：由题意得，且二者相互独立，则建立H0:μ1=μ2,H1:μ1=μ2若H0成立，则医药数理与概率统计学第19页《医药数理统计方法》§6.3样本值∴拒绝H0，即认为这两个正态总体均值有显著差异。医药数理与概率统计学第20页《医药数理统计方法》§6.3二、方差未知条件下t检验(一)单个正态总体例6.1正常人脉搏平均为每分钟72次。某职业病院测得10例慢性四乙基铅中毒患者脉搏（单位：次/min）以下：54676870667867706569假定患者脉搏次数近似服从正态分布，试问四乙基铅中毒患者和正常人脉搏次数是否有显著差异？医药数理与概率统计学第21页《医药数理统计方法》§6.1解：设四乙基铅中毒患者脉搏次数为X(次/min),则X～N(μ,σ2),μ、σ2未知。计算出建立H0:μ=72,H1:μ≠72

若H0成立，则样本值医药数理与概率统计学第22页《医药数理统计方法》§6.2∴拒绝H0，即认为四乙基铅中毒患者和正常人脉搏次数有显著差异。医药数理与概率统计学第23页《医药数理统计方法》§6.3(二)两个正态总体

1、配对比较是指配对资料均值比较。将同质受试对象，即条件相同受试对象两两配成对子，（比如说，使同品系、同性别、同月龄、同体重二只健康小白鼠配成一对），让每个对子中两个个体随机地接收两种不一样处理，这叫配对试验。医药数理与概率统计学第24页《医药数理统计方法》§6.3例6.6为了比较新旧两种安眠药疗效，10名失眠患者先后（间隔数日以消除先期药品影响）服用了两种安眠药，测得延长睡眠时数以下表，假定睡眠延长时数服从正态分布，试问两种安眠药疗效是否有显著性差异？试验号12345新药延长时数x0.10.1旧药延长时数y00.1试验号678910新药延长时数x4.63.4旧药延长时数y2.02.4医药数理与概率统计学第25页《医药数理统计方法》§6.3试验号12345时数差d=x-y1.30.0试验号678910时数差d=x-y1.21.0解：设两种安眠药睡眠延长时数之差为D，则D～N(μ,σ2)计算出医药数理与概率统计学第26页《医药数理统计方法》§6.3建立H0:μ=0,H1:μ≠0若H0成立，则样本值∴拒绝H0，即认为两种安眠药疗效有显著性差异。医药数理与概率统计学第27页《医药数理统计方法》§6.32、成组比较试验时，将条件相同受试者完全随机地分成两组，给予不一样处理。或者从两个独立总体中随机地各取出个别个体，进行比较研究，就叫成组比较试验。与配对设计相比，成组设计条件宽松，简便易行，所以应用较多。在对成组资料均值进行比较时，普通应视两组资料是否满足方差齐性条件，分别使用t检验和t’检验。方差齐性是指两正态总体方差相等或无显著性差异。(判别方法见§6.4F检验)医药数理与概率统计学第28页《医药数理统计方法》§6.3例6.7为了比较两种安眠药疗效，将20名年纪、性别、病情等情况大致相同失眠病患者随机平分为两组，分别服用新旧两种安眠药，测得睡眠延长时数以下表，假定两组睡眠延长时数均服从正态分布，试检验两种安眠药疗效是否有显著性差异？新药组x0.10.1旧药组x0.1新药组x4.63.4旧药组x22.02.4医药数理与概率统计学第29页《医药数理统计方法》§6.3解：设新旧两种安眠药睡眠延长时数分别为X1,X2,则X1～N(μ1,σ12),X2～N(μ2,σ22),且二者独立。能够验证两总体方差齐性。(见§6.4例6.12)

计算出建立H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2若H0成立，则医药数理与概率统计学第30页《医药数理统计方法》§6.3样本值∴不能拒绝H0，即能够认为两种安眠药疗效没有显著性差异。医药数理与概率统计学第31页《医药数理统计方法》§6.3注：例6.7数据是从例6.6中原封不动拿来，但检验结果却是大相径庭，这反应出配对比较和成组比较两种设计深刻区分。配对资料中每组数据大小并不主要，主要是“对子数据”差，而成组比较中，咱们关注是整组数据大小，组中每个数据都是随机排列、毫无先后次序可言。正是因为成组比较数据完全随机化，才综合了全部可能结果，得出正确检验结论。医药数理与概率统计学第32页《医药数理统计方法》§6.3例6.8用两种方法测定药品中某元素含量（单位：%）。各测定4次，得到数据以下：方法一：3.283.283.293.29方法二：3.233.293.263.25经验得知测定数据服从正态分布，试检验这两种方法测定值是否有显著差异？医药数理与概率统计学第33页《医药数理统计方法》§6.3解：设两种方法测定值分别为X1,X2,则X1～N(μ1,σ12),X2～N(μ2,σ22),且二者独立。能够验证两总体方差非齐性。(见§6.4例6.13)

计算出建立H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2若H0成立，则统计量为样本值医药数理与概率统计学第34页《医药数理统计方法》§6.3自由度(若求得自由度数值比较小，就用它两个相邻整数去查表，再对查得临界值作插值处理；若求得数值比较大，就四舍五入取整后直接查表。因为t变量临界值表有一个大致改变规律，即在相同显著性水平下，自由度较小时对应临界值较大，而自由度较大时临界值较小。所以这种插值处理做法能够减小所求临界值误差。)医药数理与概率统计学第35页《医药数理统计方法》§6.3利用n次插值多项式这里两点插值医药数理与概率统计学第36页《医药数理统计方法》§6.3∴不能拒绝H0，即能够认为这两种方法测定值没有显著差异。医药数理与概率统计学第37页《医药数理统计方法》§6.4§6.4正态总体方差检验一、单个正态总体方差χ2检验二、两个正态总体方差齐性F检验医药数理与概率统计学第38页《医药数理统计方法》§6.4设样本X1,X2,…,Xn来自正态总体N(μ,σ2)(1)μ已知(2)μ未知一、单个正态总体方差χ2检验医药数理与概率统计学第39页《医药数理统计方法》§6.4例6.11溶解速度是药品制剂一个主要理化指标。今随机抽取某种药片7片，测定其溶解二分之一所需要时间（单位：min）分别为5.8假定溶解时间服从正态分布，试问可否定为这种药片溶解二分之一所需时间方差是2？医药数理与概率统计学第40页《医药数理统计方法》§6.4解：设药片溶解二分之一所需时间为X(min),则X～N(μ,σ2),μ、σ2未知。计算出建立H0:σ2=2,H1:σ2≠2

若H0成立，则样本值∴不能拒绝H0(P>0.1),即不能认为这种药片溶解二分之一所需时间方差是2。医药数理与概率统计学第41页《医药数理统计方法》§6.4二、两个正态总体方差齐性F检验注：1)方差齐性检验，显著性水平通常取α=0.10；

2)F检验没有左侧检验；(见下页)

3)检验时，取较大样本方差做分子，较小样本方差做分母，确保F变量样本值F≥1。医药数理与概率统计学第42页《医药数理统计方法》§6.42)X～2(n1)，Y～2(n2)，且X与Y相互独立，则F分布左侧小概率，能够转化为另一个分布右侧小概率医药数理与概率统计学第43页《医药数理统计方法》§6.4例6.12见例6.7，为了比较两种安眠药疗效，将20名年纪、性别、病情等情况大致相同失眠病患者随机平分为两组，分别服用新旧两种安眠药，测得睡眠延长时数以下表，假定两组睡眠延长时数均服从正态分布，试检验两种安眠药疗效是否满足方差齐性条件？新药组x0.10.1旧药组x0.1新药组x4.63.4旧药组x22.02.4医药数理与概率统计学第44页《医药数理统计方法》§6.4解：设新旧两种安眠药睡眠延长时数分别为X1,X2,则X1～N(μ1,σ12),X2～N(μ2,σ22),且二者独立。计算出建立H0:σ12=σ22,H1:σ12≠σ22若H0成立，则样本值∴不能拒绝H0(P>0.1),即能够认为两种安眠药疗效满足方差齐性。医药数理与概率统计学第45页《医药数理统计方法》§6.4例6.13见例6.8，用两种方法测定药品中某元素含量（单位：%）。各测定4次，得到数据以下：方法一：3.283.283.293.29方法二：3.233.293.263.25经验得知测定数据服从正态分布，试检验这两种方法测定值是否满足方差齐性条件？医药数理与概率统计学第46页《医药数理统计方法》§6.3解：设两种方法测定值分别为X1,X2,则X1～N(μ1,σ12),X2～N(μ2,σ22),且二者独立。计算出建立H0:σ12=σ22,H1:σ12≠σ22若H0成立，则样本值∴拒绝H0(P<0.1),即能够认为两种方法测定值不满足方差齐性条件。医药数理与概率统计学第47页《医药数理统计方法》§6.8§6.8分类资料χ2检验一、拟合优度检验二、列联表资料χ2检验医药数理与概率统计学第48页《医药数理统计方法》§6.8计量资料

用一定单位经过测量而得到反应事物属性特征数据，称为计量资料。计量资料通常都是连续型数据。计数资料将事物按不一样属性特征分组，清点得到含有相同属性个体数目，这类资料称为计数资料。计数资料通常都是离散型数据。医药数理与概率统计学第49页《医药数理统计方法》§6.8一、拟合优度检验判断一组样本观察值与某个已知分布是否吻合检验，称为拟合优度检验或适合性检验。

设x1，x2,…,xn是随机变量X一个简单随机样本，需检验“H0：X有分布F(x)”是否成立。医药数理与概率统计学第50页《医药数理统计方法》§6.8(一)检验总体是否服从某种已知分布K·Pearsonχ2定理不论X服从什么分布，当n→∞时，其中Oj为第j组实际频数(observed)，

Ej为第j组理论频数(expected)，而Ej=npj

，k为组数。医药数理与概率统计学第51页《医药数理统计方法》§6.8注：1）样本容量n需够大(普通要求n≥50)，不然难以决定一个分布；

2)要求各组理论频数Ej≥5，当碰到一组或几组理论频数Ej<5时，应经过相邻组使Ej≥5；

3)计算理论频数时常见样本预计总体一些参数，若预计参数有m个，则χ2分布自由度df=k1-m；

4)当自由度df=1时，要采取χ2连续性校正公式医药数理与概率统计学第52页《医药数理统计方法》§6.8例6.36做放射性观察试验，每隔一定时间，观察放射性物质抵达计数器粒子数目。共观察100次，数据以下表。试检验资料符合泊松分布。粒子数i01234567891011次数mi1516172611992121医药数理与概率统计学第53页《医药数理统计方法》§6.8(二)检验实际频数与理论频数是否吻合例6.37生物学家孟德尔(G·Mendel)用黄色圆形豌豆与绿色皱皮豌豆做杂交试验，得四种豌豆，它们数目以下表，按其古典遗传理论，这四种豆子百分比应为9:3:3:1，试判断试验结果是否符合孟德尔古典遗传理论。豆子分类圆形黄色圆形绿色皱皮黄色皱皮绿色累计频数31510810132556医药数理与概率统计学第54页《医药数理统计方法》§6.8二、列联表资料χ2检验

列联表是用于多重分类一个频数数据表，是分析计数资料常见表格形式。它将每个观察对象按行和列两方面属性分类，行和列方面属性又区分为r种和c种等级，这么清点频数得到r行(row)c列(column)数据分类表，常称为r×c列联表。

χ2检验多用于列联表行、列属性独立性检验和多组分布概率齐性检验等问题。医药数理与概率统计学第55页《医药数理统计方法》§6.8(一)r×c列联表χ2检验属性Y累计Oi.Y1Y2…Yc属性XX1O11O12…O1cO1.

X2O21O22…O2cO2.………………XrOr1Or2…OrcOr.累计O.jO.1O.2…O.cnr×c列联表医药数理与概率统计学第56页《医药数理统计方法》§6.8对应概率分布表属性Y累计pi.Y1Y2…Yc属性XX1p11p12…p1cp1.

X2p21p22…p2cp2.………………Xrpr1pr2…prcpr.累计p.jp.1p.2…p.c1(X,Y)联合概率分布表医药数理与概率统计学第57页《医药数理统计方法》§6.8由Th2.3知，二维离散型随机变量(X,Y)相互独立充要条件是即在假定行列属性X,Y独立条件下，(xi,yj)对应理论频数为即医药数理与概率统计学第58页《医药数理统计方法》§6.8这么，行列属性独立性检验就转化为拟合优度检验，将理论频数和实际频数代入皮尔逊χ2表示式得到r×c列联表检验χ2表示式其中自由度df=(r1)(c1)医药数理与概率统计学第59页《医药数理统计方法》§6.8例6.38某项研究观察鼻咽癌患者与健康人血型组成,情况以下表。试判断患鼻咽癌是否与血型相关。血型累计ABOAB鼻咽癌648613020300健康人12513821026499累计18922434046799医药数理与概率统计学第60页《医药数理统计方法》§6.8解：建立H0：患鼻咽癌与血型无关，

H1：二者相关。若H0成立，则df=(r1)(c1)=1×3=3计算得医药数理与概率统计学第61页《医药数理统计方法》§6.8样本值∴不能拒绝H0(P>0.1),即能够认为患鼻咽癌与血型无关。医药数理与概率统计学第62页《医药数理统计方法》§6.8(二)2×2列联表χ2检验

2×2列联表是最简单列联表，又称四格表，这是统计工作中用得最多一个列联表。四格表普通形式为：Y1Y2累计Oi.X1O11O12O1.X2O21O22O2.累计O.jO.1O.2n自由度df=1,使用χ2连续性校正公式医药数理与概率统计学第63页《医药数理统计方法》§6.8

为了得到便于四格表使用皮尔逊χ2表示式，咱们把上面四格表改换成下面形式。Y1Y2累计Oi.X1aba+bX2