浅谈数学思想在解初中统计题中的应用 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选浅谈数学思想在解初中统计题中的应用摘要：“双减”政策下要减负提质，关键要提高课堂教学质量。将数学思想运用到课堂教学中，有利于减负提质，达成课程目标。本文以统计题教学为例，浅谈一下数学思想在解初中数学教学中的应用。 关键词：数学思想，初中数学，统计题

引言：2021年7月24日，中共中央办公厅国务院办公厅在“双减”文件中指出：“大力提升教育教学质量，确保学生在校内学足学好”，减负提质的时代要求摆在我们面前。2022年版义务教育数学课程标准指出：实施促进学生发展的教学活动，促进学生了解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验[1]。初中数学蕴含的数学思想很多，如方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想等，把这些思想运用到课堂教学中，有利于减负提质，达成课程目标。中考是检验教学质量的重要手段，统计题是中考必考题型之一，在初中统计教学中，有效运用数学思想解题，有利于减负提质，达成课程目标。本文以统计题教学为例，浅谈一下数学思想在解初中教学中的应用。一、方程思想2022年版义务教育数学课程标准指出：课程目标的确立，立足学生核心素养发展。模型观念是核心素养主要表现之一，模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等数学模型，表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义[2]。方程思想是指通过适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组从而解决问题的思维方法。例1.（2022年浙江湖州中考第20题，8分）为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组，为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）。12022年安徽省中小学教育教学论文评选 根据统计图中的信息，解答下列问题:

（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数;

（2）将条形统计图补充完整;（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数[3]。 【解析】

解题思路：先阅读题目，从统计图中找出数量关系，适当设未知数建立方程解决问题。 （1）由扇形统计图中可知：被抽查学生中选择体育运动兴趣小组的人数占被抽查总人数的30％；由条线统计图中可知：选择体育运动兴趣小组的人数为60人，所以可设本次被抽查学生的总人数x人，根据题意得：30％x=60，解得x=200.从条线统计图中可知：被抽查学生中选择“美工制作”的人数为20人，由上可得本次被抽查学生的总人数为200人，所以可设选择“美工制作”的人数占被抽查总人数的y％,由题意得：200·y％=20，解得y=10，因此，“美工制作”的扇形的圆心角度数为：360°×10％=36°；（2）设被抽查学生中选择音乐舞蹈兴趣小组的人数为z人，根据题意得：50+z+60+20+40=200，解得z=30；（3）设全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为a人,由条线统计图中可22022年安徽省中小学教育教学论文评选知，被抽查学生中选择“爱心传递”兴趣小组的人数为50人，由题意得：a=50×1600=400（人）。200可见，方程是解决实际问题的有效手段，方程思想的应用有利于减负提质，有利于达成“会用方程等描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题”[4]的课程目标。二、整体思想 整体思想就是考虑数学问题时，着眼于问题的整体结构，把一些彼此独立而又相互紧密联系的量进行整体处理的思想方法[5]。例2（2022年湖北武汉中考第19题，8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动:A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作,要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动。该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图。（1）本次调查的样本容量是_______，B项活动所在扇形的圆心角的大小是_______，条形统计图中C项活动的人数是_______;（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数.【解析】

解题思路：先阅读题目，从统计图中找出数量关系，整体把握题意解决问题。（1）由条形统计图可知，被抽取的学生中各项活动意向参加人为：A项32人，B32022年安徽省中小学教育教学论文评选项12人，D项16人；由扇形统计图可知，被抽取的学生中D项活动意向参加人的百分比为：20％；

从整体上把两幅统计图从整体上可知，本次调查的样本容量是：16÷20％=80（人）；B项活动所在扇形的圆心角的大小是：360°×12=54°；条形80统计图中C项活动的人数是：80-32-12-16=20；（2）意向参加“参观学习”活动的人数为：2000×32=800（人）。80 可见，整体思想要求能从整体上把握，将相关的知识点综合运用，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，提升较高层次的分析能力和创新意识。 三、分类讨论思想

当问题所给的对象不能够进行统一研究时，就需要对研究对象按照某个标准分类，然后对每一例分别剖析，得出每一类的结论，最后综合各类所得的结果得到整个问题的解答，所以分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的过程[6]。例3张老师想对培训学员的打字能力进行测试，她将全部学员分成4个小组，经统计知，这4个小组学员平均每分钟打字的个数为：100、80、X、100。已知这组数据的中位数与平均数相等，那么X的值为_____。 【解析】

要确定中位数，就要先把这4个数进行排序，而我们不知道x处于什么位置，因此要利用分类讨论思想予以解决。 （1）当x≥100时，这组数据为80，100，100，x，中位数是100，根据众数与平均数相等，得80+100+100+x=100，解得x=120。4 （2）当80≤x<100时，这组数据为80，x，100，100，根据众数与平均数相等，得42022年安徽省中小学教育教学论文评选80+x+100+100=x+100，解得x=80。42（3）当x<80时，这组数据为x，80，100，100，根据众数与平均数相等，得x+80+100+100=80+10042，解得x=80，不合题意。综上所述，x的值为120或80. 四、数形结合思想

数学知识的形成依赖于直观，知识的确立依赖于推理。抽象的道理是重要的，但要用一切办法使他们看得见，摸得着[7]。 数形结合思想就是数量关系和几何直观相结合，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。 例4（2020年安徽中考第21题）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐括(必选且只选一种)”问卷调查，根据调查结果，绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为＿＿＿，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为＿＿＿0；（2）依据本次调查的结果，估计960名职工中最喜欢B套餐的人数[8]。【解析】

解题思路：先阅读题目，把题目叙述和统计图形结合起来，找出数量关系解决问题。52022年安徽省中小学教育教学论文评选（1）从语言叙述中可知：单位随机抽取240名职工进行问卷调查；从扇形统计图中可知：最喜欢A套餐的人数占被抽取总人数的25％，所以最喜欢A套餐的人数为：25%×240=60（人）；由条形统计图可知：最喜欢B套餐的人数为84人，最喜欢D套餐的人数为24人，因此，最喜欢C套餐的人数为:240-60-84-24=72（人）,扇形统计图“C”对应扇形的圆心角为：3600×72=1080240（2）从语言叙述中可知：单位随机抽取240名职工进行问卷调查；从条形统计图中可知：最喜欢B套餐的人数为84人，所以估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为：960×84=336（人）。240五、综合应用坚持素养立意，凸显育人导向。以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养。适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例，题目设置要注重创设真实情境，提出有意义的问题，实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[10]。 对于以核心素养为导向的考试命题，数学思想的运用不是孤立的，而是相互联系相互渗透的，对于一个题目的解答可能不只运用到一种数学思想。例5（2022年安徽中考第21题，12分）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕。某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试,将测试成绩按以下六组进行整理（得分x用来表示）：

A:70≤x＜75B:75≤x＜80C:80≤x＜85

D:85≤x＜90E:90≤x＜95F:95≤x＜10062022年安徽省中小学教育教学论文评选已知八年级测试成绩D组的全部数据如下:

86，85，87，86，85，89，88. 请根据以上信息，完成下列问题:

（1）n=_______,a=________;

（2）八年级测试成绩的中位数是_______;

（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高。请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由[11]. 【解析】

解题思路：先阅读题目，把题目语言叙述和统计图形结合起来，找出数量关系解决问题。（1）由语言叙述可知，八年级抽取n名学生，测试成绩D组有7人，由八年级测试成绩扇形统计图可知，D组占被抽查总数的35％，所以有：35％n=7，解得n=20。----这里同时运用了方程思想和数形结合思想。由两个年级各随机抽取n名学生可知，七年级也抽取20人，结合七年级测试成绩直方图可知：2+a+6+a+3+1=20，解得a=4。----这里同时运用了方程思想、数形结合思想和整体思想。（2）由（1）知八年级抽取20名学生，由八年级测试成绩扇形统计图可知，A、B、C组分别占八年级被抽取总人数的5％、5％、20％，所以A、B、C各组的人数分别为:A组:5％×20=1(人）,B组:5％×20=1(人）,C组:20％×20=4(人），所以A、B、C组共6人，由题意可知A、B、C、D、E、F是由小到大的顺序排列的，已知八年级测试成绩D组的全部数据如下:86，85，87，86，85，89，88，由小到大排列为85,85，86,86,87,88,89，所以把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为8687=86.5----这里同时运用了数形结合思想和整体思想。272022年安徽省中小学教育教学论文评选（3）由七年级测试成绩频数直方图可知，被抽查的20名学生中有4人不低于90分，七年级对冬奥会关注程度高的学生有：4×500=100（人）；由八年级测试成绩扇形统20计图可知，被抽查的20名学生中不低于90分百分比为：1-5%-5%-20%-35%=35%，所以八年级对冬奥会关注程度高的学生有：35%×500=175（人），因此，该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有：100+175=275（人）----这同时体现了数形结合思想和整体思想。叶圣陶说，教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。在“双减”背景下要减负提质，教师要集中更多的精力去设计课堂教学，促进学生在课堂内完成知识的建构和内化，逐步提升学生自主学习的能力和合作探究的精神，提高学生分析问题和解决问题的能力。课堂上的知识内化过程，其精华在于课堂上教师用信息激发学生思想，促进教师与学生之间、学