力学专第十章 波动和声

力学专第十章波动和声第1页，共78页，2023年，2月20日，星期一22波的基本概念平面简谐波方程、波速平均能流密度、声强与声压波的叠加和干涉、驻波多谱勒效应本章主要学习内容第2页，共78页，2023年，2月20日，星期一3310.2.210.2.410.2.710.2.1010.4.210.5.210.5.9

10.6.2第3页，共78页，2023年，2月20日，星期一44§10.1波的基本概念

1.波：振动在媒质（介质）中的传播就是波，分为横波和纵波。

2.横波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向垂直。例如：一根均匀柔软的细绳的振动，形成的波就是横波。

3.纵波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向平行。例如：空气中的声波，空气中体元时而靠近，时而疏远。波的产生4.表面波：在两种媒质的界面上传播的波。例如：水面波。5.波面：波传播时，同相位各点所组成的面。第4页，共78页，2023年，2月20日，星期一556.波前：离波源最远，即“最前方”的波面。7.波射线：与波面垂直且表明波的传播方向的线叫波射线。8.平面波：波前为平面的波。波线是互相平行的。

9.球面波：波前为球面。点波源在均匀的和各向同性媒质中发生的波是球面波。波线是相交于波源的直线。§10.1波的基本概念第5页，共78页，2023年，2月20日，星期一66§10.1波的基本概念第6页，共78页，2023年，2月20日，星期一77§10.2平面简谐波一、平面简谐波平面波传播时，媒质中体元均按正弦（或余弦）规律运动。二、平面简谐波方程（从运动学角度考虑）描述不同时刻不同体元的运动状态。设：一列平面简谐波沿x

轴正向传播，选择原点x=0处体元相位为0的时刻为计时起点，即该体元的相位为零，则

x=0处体元的运动学方程：第7页，共78页，2023年，2月20日，星期一88其中：y

为体元距平衡位置的位移，A

、ω为波源的振幅和圆频率。经的时间，x=0处体元的振动状态传到位于x

处的体元，即：t

时刻，位于x

处的体元的振动状态应与时刻处体元的振动状态一样，则x

处体元的运动学方程为：（1）§10.2平面简谐波第8页，共78页，2023年，2月20日，星期一99

其中，v

为振动状态传播的速度，叫波速，也叫相速。⑴式就是平面简谐波方程。从⑴式看出：x

处质元的振动比原点处的质元落后。若：波动沿x

轴负方向传播，则波动方程为：§10.2平面简谐波（1）第9页，共78页，2023年，2月20日，星期一1010（2）⑵式可以看出：x

处质元的振动超前于原点处的质元§10.2平面简谐波第10页，共78页，2023年，2月20日，星期一1111三、平面简谐波方程的物理意义

1.

当x一定时，表示x处质元的振动方程，初位相是。

2.

当t一定时，表示t时刻各个质元偏离平衡位置的位移，即t时刻的波形。§10.2平面简谐波第11页，共78页，2023年，2月20日，星期一1212由⑴可知：x

处体元振动的周期、频率和圆频率：不一定是振动系统的固有频率而取决于波源频率，所以⑴中的形式不意味着各体元作简谐振动。注意§10.2平面简谐波第12页，共78页，2023年，2月20日，星期一1313（2）由⑵知：t一定时，y

是x

的周期函数，也存在空间位置上的周期，波长（3）即：波长是波在一个周期内传播的距离；或，沿波传播方向相邻同相位两点间的距离。§10.2平面简谐波第13页，共78页，2023年，2月20日，星期一1414另外，由空间位置的周期性可知：§10.2平面简谐波第14页，共78页，2023年，2月20日，星期一1515定义：，称为波数：（4）表示单位长度上的波数，而表示长度上波的数目。都描述平面简谐波的空间周期性。§10.2平面简谐波第15页，共78页，2023年，2月20日，星期一16163.

联系平面简谐波的空间周期性与时间周期性的公式：（5）§10.2平面简谐波第16页，共78页，2023年，2月20日，星期一1717四、平面简谐波方程的多种形式§10.2平面简谐波平面简谐波的一般形式（原点初位相不为零）第17页，共78页，2023年，2月20日，星期一1818[例]（10.2.10）图（1）、图（2）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图，试写出此平面简谐波方程。§10.2平面简谐波第18页，共78页，2023年，2月20日，星期一1919§10.2平面简谐波第19页，共78页，2023年，2月20日，星期一20[例]

有一列向x轴正方向传播的平面简谐波，它在t=0时刻的波形如图所示,其波速为u=600m/s。试写出波动方程。x/my/m512.O§10.2平面简谐波第20页，共78页，2023年，2月20日，星期一21=5mA24m=原点处质点的振动方程为波动方程为[解]§10.2平面简谐波第21页，共78页，2023年，2月20日，星期一2222§10.3波动方程与波速一、波动方程（平面简谐波的动力学方程）（不是依据课本上的推导，而是从“平面简谐波方程”出发来寻找动力学方程。）已知：(代表t

时刻x

处质元的速度)（波的动力学方程）

第22页，共78页，2023年，2月20日，星期一2323(代表t

时刻x

处质元的加速度)(代表t

时刻x

处的应变)§10.3波动方程与波速第23页，共78页，2023年，2月20日，星期一2424（1）⑴式就是波的动力学方程，而就是波的运动学方程。类比于：（简谐振动的动力学方程）（简谐振动的运动学方程）§10.3波动方程与波速第24页，共78页，2023年，2月20日，星期一2525二、波速⒈横波（多为固体剪切形变，详见第八章）由§10.3波动方程与波速第25页，共78页，2023年，2月20日，星期一2626质元所受的和外力（忽略掉质元的重力）：因此，§10.3波动方程与波速第26页，共78页，2023年，2月20日，星期一2727或（2）此式也是波的动力学方程。其中：

N

是剪切模量，是物块的密度。⑴、⑵比较可知：（3）§10.3波动方程与波速第27页，共78页，2023年，2月20日，星期一2828⒉纵波同理：其中：

Y是杨氏模量，是物块的密度（固体中）。由此可知：固体中的纵波和横波的波速与媒质弹性密切相关。§10.3波动方程与波速第28页，共78页，2023年，2月20日，星期一2929另外，张紧的柔软细绳中横波波速为：（其中，T

是绳中的张力）流体中纵波的波速为（其中K为流体的体积模量）声速（拉普拉斯）：§10.3波动方程与波速第29页，共78页，2023年，2月20日，星期一3030三、色散现象在重力和表面张力作用下的表面波，若其波长为λ，则其波速为此式也适用于深水情况，即水深比波长大很多。此时：波速不仅与介质性质和状态有关、还和波长从而和频率有关。

色散：几列波在介质中传播，因其频率不同而传播速度不同的现象。色散介质§10.3波动方程与波速第30页，共78页，2023年，2月20日，星期一3131§10.4平均能流密度·声强与声压一、媒质中波的能量分布主要研究某体元动能、形变势能以及总能的变化规律。1.动能由（体元的振动速度）第31页，共78页，2023年，2月20日，星期一3232设：媒质密度为ρ，dv表示体元的体积。则该体积的动能为：（1）§10.4平均能流密度·声强与声压第32页，共78页，2023年，2月20日，星期一33332.势能由体元的剪切应变为：，所以：体元剪切应变势能为：（2）§10.4平均能流密度·声强与声压第33页，共78页，2023年，2月20日，星期一3434又因为横波：，所以有：（2’）(1)和(2’)式比较，得：。

即：体元的动能和势能具有相同的数值，同时达最大或最小。§10.4平均能流密度·声强与声压第34页，共78页，2023年，2月20日，星期一35353.总能由前面讨论，某体元的总能等于两者之和，即：（3）由（3）式可知：某体元的总能为空间和时间的函数。注意：波动过程中体元势能是由于体元的形变而为体元所有。§10.4平均能流密度·声强与声压第35页，共78页，2023年，2月20日，星期一36364.能量密度单位体积媒质所有的能量,用ε

表示，由（3）式知：§10.4平均能流密度·声强与声压第36页，共78页，2023年，2月20日，星期一3737平均能量密度：能量密度在一周期内的平均值：（4）§10.4平均能流密度·声强与声压第37页，共78页，2023年，2月20日，星期一3838二、平均能流密度媒质中体元的能量由振动状态决定，而振动状态又以波动传播，所以能量也以波速传播。现取波面上一面元ds

，则在一周期内体积为vTds的柱体内的能量均得流过该面元，流过的能量为：，则：单位时间通过单位面积的能量：§10.4平均能流密度·声强与声压第38页，共78页，2023年，2月20日，星期一3939

平均能流密度：大小等于单位时间内通过与波传播方向面积的能量，方向沿波传播方向，是一矢量，符号“”：即：平均能流密度的大小等于平均能量密度与波速的乘积。单位：

§10.4平均能流密度·声强与声压第39页，共78页，2023年，2月20日，星期一4040三、声强与声强级声强：声波平均能流密度的大小。声功率：单位时间内通过一定面积的声波能量。

人刚好能听见的1000Hz声音的声强约10×10－12

W/m2，能引起耳膜压迫痛感的声强则高达10W/m2。§10.4平均能流密度·声强与声压声波：次声波：超声波：第40页，共78页，2023年，2月20日，星期一4141

声强级：取10－12W/m2的声强为标准声强I0，声强I与标准声强I0之比的对数则为声强I的声强级：国际符号：B国际符号：dB§10.4平均能流密度·声强与声压

声波传播的速度几乎与频率无关，而速度与介质的密度有关，所以声波传播的速度对于温度和压强的变化很敏感。第41页，共78页，2023年，2月20日，星期一42（红线为等响度线）语言区域痛阈闻阈/HZ20100050010050001000002040608010012010-210-410-610010-810-1010-12L/dbI/Wm-2第42页，共78页，2023年，2月20日，星期一43引起痛觉的声音炮声铆钉机交通繁忙的亍道通常谈话耳语引起听觉的最低声音树叶沙沙声声源声强/Wm-21110-210-510-610-1010-1110-12声强级/dB

震耳响正常轻极轻120100706020100120第43页，共78页，2023年，2月20日，星期一44

声压：在有声波传播的空间，某一点在某一瞬时的压强p与没有声波时压强p0的差。第44页，共78页，2023年，2月20日，星期一4545§10.5波的叠加和干涉驻波一、波的叠加

波的叠加原理：两列波相独立的传播，在两列波相遇处体元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。波的叠加第45页，共78页，2023年，2月20日，星期一4646(b)两者叠加，产生拍的现象(a)两组波动的频率不同，但相差很小§10.5波的叠加和干涉驻波第46页，共78页，2023年，2月20日，星期一4747理论上解释：因波动方程对于t

和x都是线性的，若：y1

和y2是该方程的解，则y1+y2也是方程的解。因此，波的叠加原理与方程的线性密切相关。§10.5波的叠加和干涉驻波注：此原理只适用于线性行波，对非线性行波(如爆炸)不适用。重要性：可将任一复杂的线性行波分解为简谐波的叠加。第47页，共78页，2023年，2月20日，星期一4848二、波的干涉１.波的干涉

两列波满足一定条件，则两列波相遇各空间点的合振动能各保持恒定振幅而不同位置各点以不同动能振动，这种现象称为波的干涉。§10.5波的叠加和干涉驻波第48页，共78页，2023年，2月20日，星期一4949２.波的干涉条件（１）两列波具有相同的振动方向；（２）两列波具有相同的频率；（３）两列波在空间每一点引起的振动都有固定的相位差。

简言之，即：振动方向相同、频率相同且在各空间点保持固定的相位差。如：同频率同方向的正弦或余弦振动的合运动仍为正弦或余弦振动，合振动的振幅由分振动振幅以及相位差决定。§10.5波的叠加和干涉驻波第49页，共78页，2023年，2月20日，星期一5050光学里，常用“光程差”：如果光程差是波长的整数倍，则该处振动加强；如果光程差是半波长的奇数倍，则该处振动减弱。满足干涉条件的两列波，才能实现干涉现象所要求的空间各点振动强弱所具有的确定的分布。§10.5波的叠加和干涉驻波第50页，共78页，2023年，2月20日，星期一5151三、驻波１.驻波的概念

振幅、频率相同而传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动，称为驻波。“驻波”可造成高速行车爆胎驻波演示§10.5波的叠加和干涉驻波第51页，共78页，2023年，2月20日，星期一52第52页，共78页，2023年，2月20日，星期一5353２.驻波方程相遇处各体元的合位移为：设两列波：§10.5波的叠加和干涉驻波第53页，共78页，2023年，2月20日，星期一5454将代入上式得：（1）(1)式振幅介于0~2A之间，(1)式就是驻波方程。§10.5波的叠加和干涉驻波第54页，共78页，2023年，2月20日，星期一55

（1）振幅：令，对于不同x处的质元，振幅不同，介于0~2A之间。55当A驻＝2A时，（2）即：处于(2)式中处的质元的振幅为2A，最大振幅，称为驻波的波腹，用（A）表示。驻波方程的特点：§10.5波的叠加和干涉驻波第55页，共78页，2023年，2月20日，星期一5656当A驻＝0

时，（3）即：处于(3)式中处的质元的振幅为0，是最小振幅，称为相邻两波节，用（Ｎ）表示。§10.5波的叠加和干涉驻波波节波腹/2/2第56页，共78页，2023年，2月20日，星期一57（2）由(2)式知，相邻两波腹间的距离为由(3)式知，相邻两波节间的距离为由(2)、(3)式知：相邻波节和波腹之间距离则为§10.5波的叠加和干涉驻波（2）（3）波节波腹/2/2第57页，共78页，2023年，2月20日，星期一5858（3）相位（驻波各点振动的相位关系）（a）相邻波节之间各点质元的相位关系

由：，取两相邻的波节处的质元：代入驻波方程中的振幅因子，得：§10.5波的叠加和干涉驻波第58页，共78页，2023年，2月20日，星期一5959由此可知，处于两波节之间的各点的值不是第2、3象限就是第1、4象限，即符号不变化。

由此可知：处于两波节间各点质元具有相同的相位。§10.5波的叠加和干涉驻波第59页，共78页，2023年，2月20日，星期一6060（b）相邻两波腹处质元的相位关系由相邻两波腹：由此可知：相邻两波腹的相位是相反的；又由：相邻波节之间的质元的相位相同，可以得知：波节两侧各体元的振动相位相反；波腹两侧各体元的振动相位相同。§10.5波的叠加和干涉驻波第60页，共78页，2023年，2月20日，星期一61613.驻波中的能量驻波中的能量以形变势能集中于波节附近，以动能形式集中于波腹附近，某些时刻，动能和势能并存；总之，驻波中不断进行着动能和势能之间的转换和在波腹与波节之间的转移，然而没有能量的定向传播。§10.5波的叠加和干涉驻波第61页，共78页，2023年，2月20日，星期一62624.行波与驻波的区别行波驻波波方程

振幅

所有质元处都为A

各质元处的振幅不同：

相位：各处的相位不同

：同相位或反相位能量由近向远传播（沿波传播方向）波节或波腹之间的能量交换和转移（没有定向的传播）

经常见到的驻波是：一列前进波与它在某一界面的反射波叠加而形成的。§10.5波的叠加和干涉驻波第62页，共78页，2023年，2月20日，星期一63635.举例

半波损失：波从波疏媒质传入波密媒质时，反射波在边界处引起的分震动比入射波在此引起的分振动在相位上落后π，即：波传播中此处相距半个波长，故这种现象称半波损失。如：一金属丝上传播波，金属丝两端固定，在固定端处将发生半波损失。§10.5波的叠加和干涉驻波第63页，共78页，2023年，2月20日，星期一64有半波损失Z大Z小无半波损失Z大Z小§10.5波的叠加和干涉驻波第64页，共78页，2023年，2月20日，星期一6565如：两端固定的弦振动，入射波与反射波在该处引起的分振动因半波损失而反相位，所以如形成驻波，两端点必是波节，设弦长为l,，则有如下关系：如，两端自由，反射波与入射波在该处引起的分振动无半波损失，则端点是同相位，即：端点处是波腹。§10.5波的叠加和干涉驻波第65页，共78页，2023年，2月20日，星期一66入射波反射波透射波介质1(Z1小)介质2(Z2大）界面入射波反射波透射波介质1(Z1大介质2(Z2小)界面

脉冲波在界面处的反射和透射§10.5波的叠加和干涉驻波第66页，共78页，2023年，2月20日，星期一6767§10.6多谱勒效应

多普勒效应：由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象。一、波源静止而观察者运动

讨论：静止点波源的振动在均匀各向同性媒质中传播的情况：O点为波源，相位差为，（纵向，横向多谱勒效应为零）第67页，共78页，2023年，2月20日，星期一68

设：观测者观测到的波速，波长，观测频率，即：

设：波相对于静止媒质以波速传播，为波源振动的频率，则：§10.6多谱勒效应第68页，共78页，2023年，2月20日，星期一69当波源和观察者都相对于媒质静止时，则：设：观测者以相对于媒质朝波源O运动，