2017年高考数学真题三角函数理科

第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42终边相同的角的集合的表示与识别——暂无题型43倍角、等分角的象限问题——暂无题型44弧长与扇形面积公式的计算——暂无题型45三角函数定义题——暂无题型46三角函数线及其应用一一暂无题型47象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无题型48诱导求值与变形——暂无题型49同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节三角函数的图像与性质题型50已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数f1.（2017全国3理6）设函数f（%）（兀）=cos%+-，则下列结论错误的是（）.f（%）的一个周期为-2兀y=f（%）的图像关于直线%=9对称f（%+兀）的一个零点为%=-6D.f（%）（兀\在上行,-单调递减V2 7解析函数f解析函数f（%） n 的图像可由y=cos%向左平移3个单位长度得到，由图可知，上先递减后递增，所以D选项错误.故选D.

题型51根据条件确定解析式1.(2017天津理7)设函数/(x)=2sin(co%+cp),xgR,其中①>0，=0,且/(%)的最小正周期大于2兀，贝题型51根据条件确定解析式1.(2017天津理7)设函数/(x)=2sin(co%+cp),xgR,其中①>0，=0,且/(%)的最小正周期大于2兀，贝IJ()A 2A.co=一3兀，(0=一12B.co=-,(p=--C.co=i,3 12 311兀①= 24D.①，"3 24解析解法一：由题意5cdti丁“兀十(P=2k7i+一211071、丁+(P=k712，其中女状eZ,所以

1 2又T=—>2兀,所以0<①<1,①从而①71由甲<71,从而①71由甲<71,得少=春.TOC\o"1-5"\h\z解法二：由/{21=2,ff—^=0,易知工=黑为/(x)=2sin(3x+cp)的一条对称轴,I8)I8J 8(11兀1(\ 11k5i T _2ti点—,0为的一个零点，贝Ijp一年=(2左+1)><7,又因为T二一，即I8J 8 8 4 ①2(%+。八/、 c 2①二一-一.又①>。，且的最小正周期大于2兀，所以①二彳，从而J J5兀2ci兀[1 兀x-+(p=2^71+-,又—<兀，所以①.故选A.o5 2 122.(2017浙江理18)已知函数/(x)=sirux—cos2x—2jJsinxcosx(xeR).(2兀、(1)求了—的值；\J(2)求/G)的最小正周期及单调递增区间.解析⑴由."c°s”=-L得/"]=[乌」」丫_264><「]=2.3 2 3 2 ，13J]2J(2) 2 2；( 2 )由cos2x=cos2x-sin2x,sin2x=2sinxcosx,得f(x)=-cos2x一百sin2x=-2sin2x+—所以f（x）的最小正周期是T=2n=—.由正弦函数的性质得—+2k—剟2x+—3—+2k—,keZ，解得—+k—釉如+k—,keZ.2 6 2 6 3所以f（x）的单调递增区间是6+k—g+k―]keZ.题型52三角函数的值域（最值）一一暂无题型53三角函数图像变换L（2。17全国1理9）已知曲线Ci：尸L（2。17全国1理9）已知曲线Ci：尸c0sx，C2：y=sin则下面结论正确的是（）.儿把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 _ ，兀.、，再把得到的曲线向右平移7个单6位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， ，兀…再把得到的曲线向左平移3个单JL乙位长度,得到曲线C21。.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的2倍纵坐标不变 _ ，兀.、，再把得到的曲线向右平移-个单6位长度,得到曲线C2一 一1位长度,得到曲线C2一 一1口把Ci上各点的横坐标缩短到原来的2倍纵坐标不变， ，兀…再把得到的曲线向左平移行个单JL乙位长度,得到曲线C2解析c1解析c1:y=cosx,2nC2:y=sin2x+—首先曲线C，C统一为一三角函数名，可将C:y=cosx用诱导公式处理.=cos=cosx+ .横坐标变换需将①二1变成«=2,71y=sin%+一k2)71y=sin%+一k2)y=sin2x+—I3cj±各点横坐标缩短到原来的;倍=sin2(%+三'I3广712)=sin22]fI4jTOC\o"1-5"\h\z71 71注意3的系数，左右平移需将①=2提到括号外面，这时X+1平移至％+§,7T 7T 7T 7T根据“左加右减”原则，…丁’到…不,需加上正即再向左平移谈故选D..( 兀)+smcox--.( 兀)+smcox--I 2J，其中。<①<3.已知(2017山东理1)设函数/(x)=sinCDx--l 6=0.(1)求①；(2)将函数y=/G)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到71的图像向左平移71的图像向左平移1个单位，得到函数y=g(Q的图像，求g⑴在3片上的最小直解析(1)因为解析(1)因为/G)=smcox--I6J.( 兀)+smcox--I 2JfG)= sincox--coscox-coscox2 2fG)= sincox--coscox-coscox2 2=2^sincox-3—COSCDA：2fl.百)—smco%-——coscox(2由题设知/二二°，所以①兀由题设知/二二°，所以①兀故①=6k+2,eZ,又0<(o<3,所以①=2.，所以g(x)=j3sinx+-—4，所以g(x)=j3sinx+-—43J\/3sinx-一127兀3兀 兀兀2兀 兀兀 兀 (\因为xe［一了彳］，所以x—12e［—3，y］，当x—12'—“即x"—4 时,g(x,取3得最小值一5.第三节三角恒等变换题型54化简求值 ( n)1一1.(17江办05)右tana一丁——，则tana= tanfa-—^+1ltanfa-—^+1l4)1-tan(a-―、l4)76―7556 ( 兀兀、解析解法一(角的关系)：tana—tana--+-l44)TOC\o"1-5"\h\z&, —小(n)tana_1 1 “， 7 ，…7解法二(直接化简…an［a-%)二币菽二6,所以tana—5.故填夕2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy中，角a与角P均以Ox为始边，它们的终边关于丁轴对称.若sina—3,cos(a-P);.1 . 2v;2解析由题作出图形，如图所示，sina=1,则cosa———，由于a与P关于J轴对称，3 3则sinP—sin则sinP—sin(—-a)—3,cospcos(a-P)=-逑］+1/二-73)33 9'事:乙」)事:乙」)的最大值(2017全国2理14)函数f(x)=sii2x+J3cx-3xe41解析 f(x)=sin2x+%3cosx-4=1-cos2x+-。3cosx一+1，当t=—，即x="时，f(x)取最大值为1.2 6te+1，当t=—，即x="时，f(x)取最大值为1.2 644.(2017浙江理18)已知函数f(x)=sin2x—cos2x—2c3sinxcosx(xeR).(1)(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析(1)由sin2-=近，cos2-=-L3 2 3 22)由cos2x=cos2x-sin2x〔一2一2\：Wx岸*sin2x=2sinxcosx所以f(x)的最小正周期是T=2所以f(x)的最小正周期是T=2n=—.—)V3x+J2s由正弦函数的性质得-+2k冗融x+-红+2k%keZ

2 6 2解得—+k-剟!X—+k-keZ.6 3所以f(x)的单调递增区间是题型55正弦定理的应用第四节解三角形1.(2017天津理15)在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,(1(1)求b和sinA的值;(2(2)解析.(一,兀\求sin2A+-的值.V 473 一4 ..(1)在△ABC中，因为a>b,故由sinB=5,可得cosB=5.由已知及余弦定理，得b2=a2+c2—2accosB=13，所以b=113.由正弦定理sinAsinB'由正弦定理sinAsinB'得sinA=asinB3<13

= 13,2J1(,2J1(2)由(I)及a<c，得cosA= ,・…c. ， ，12所以sin2A=2sinAcosA=-，13cos2A=1-cos2A=1-2sin2A=-—,13故sin[2A+41 n兀.C3.兀7^/2=sin2Acos—+cos2Asin—= 4 26c.若△ABC为2.(2017山东理9)在^ABC中，角A,B,Cc.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是a=2ba=2bb=2aA=2BB=2A因为siAnh(C+2sinBcosC=sinAcosC因为siAnh(C+2sinBcosC=sinAcosC，又0<C兀<-，得2sinB=sinA，即2b=a,故选a.2题型56余弦定理的应用题型57判断三角形的形状一一暂无题型58解三角形的综合应用1.(2017江苏18)如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器II的高均为32cm，容器I的底面对角线AC的长为10<7cm，容器II的两底面对角线EG,EG的长分别为14cm和62cm.分别在容器I和容器II中注入水，水深均为12cm.现11有一根玻璃棒/，其长度为40cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计).(1)将l放在容器I中，/的一端置于点A处，另一端置于侧棱Cq上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器II中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．

DCB容器IE1HDCB容器IE1H1EF容器II解析(1)由正棱柱的定义，CC11平面ABCD，所以平面A1ACC11平面ABCD,解析CC1AC.1记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处，如图所示为截面A1ACCx的平面图形.因为AC=10<7,AM=40,所以MC=、；402—（10：7）=30AC=10<7,AM=40,AM与水面的交点为P1,AM与水面的交点为P1,过点P1作PQ11ACQ1为垂足，则PQ11平面ABCD,故PQ1=12，从而Aq=一1 二16sin/MAC答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.问(1)(2)如图所示为截面E1EGG1的平面图形，O,。1是正棱台两底面的中心.由正棱台的定义，OO11平面EFGH,所以平面E1EGG11平面EFGH,OO1EG.同理，平面E1EGG11平面E1F1G1H1,OO1E1Gl.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.

过G作GK1E1Gl,k为垂足，则GK=OOi=32.一一一62-14一.因为EG44,EG=62，所以KG=——=24,11 1 2从而GGi=KgG^+GK2=J242+322=40.设/EGG=设/EGG=a,/ENG=P,则sina=sin(兀.—+NKGG124=cosNKGG=-i5.— 3因为万<a<—，所以cosa=--.乙 J40在^40在^eng中,由正弦定理可得嬴a14

sinP，解得sinP八— 24因为0<p<3，所以cosp=—,于是sin/NEG=sin(兀-a—P)=sin(a+P)=sinasinacosP+cosasinP(3J5424二—义——+5257 3义——=一255.记记en与水面的交点为P2过P2作P2Q21EG,Q2为垂足，则P2Q21平面EFGH,故P2q二12，从而叱二PQ2 =20sin/NEG答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.问⑵问⑵评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强•也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下:

AC=10<7,AM=40，所以CM=PQAP12AP 一所以由△APQs'aCM?ti=去，即——二一i,解得AP=16.ii ，CMAM'130 40'i答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.32.(2017北京理15)在'ABC中，/A=60,c=-a.7(1)求sinC的值；(2)若a=7，求△ABC的面积.3解析 (1)在'ABC中，因为/A=60,c=-a,7.「csinA3<3 3v13所以由正弦定理得sinC= =-x—=——.(2)(2)因为a=7c=-87=3,由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,得772=b2+32-2义解得b=8或b=-5(舍)所以△ABC的面积S=2bcsinA=2解得b=8或b=-5(2017全国1理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知'ABC的面积为a的面积为a23sinA(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.分析本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.a2 1 a2 1解析(1)因为△ABC的面积S= 且S=-besinA，所以 =-bcsinA，即3sinA 2 3sinA23,•,a2=—bcsin2A.2, 、、一 ，3 2由正弦定理得sin2A=一sinBsinCsin2A，由sinA丰0，得sinBsinC=一.23, ，.一〃2一一一1一，，(2)由(1)得sinBsinC=-，又cosBcosC=一，因为A+B+C=n,3 6所以cosA=cos(n-B一C)=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=—2又因为Ag(0,n)，所以A=60,sinA=—,cosA=1.TOC\o"1-5"\h\z。 2 2由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9 ①\o"CurrentDocument"a a a2 一由正弦定理得b sinB,c sinC，所以bc= sinBsinC=8 ②sinA sinA sin2A由①，②，得b+c=、-'33，所以a+b+c=3+t：33，即△ABC周长为3+<33.(2017全国2理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2—.2⑴求cosB；(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析(1)依题得sinB=8sin2B=8'-_C0sB=4(1-cosB).22因为sin2B+cos2B=1,所以16(1-cosB)2+cos2B=1，所以(17cosB-15)(cosB-1)=0，得cosB=1(舍去)或cosB=15.178 1 1 8.一17(2)由⑴可知sinB=一,因为S=2,所以—ac-sinB=2,即—ac——=2,得ac=一.17 △ABC 2 2 17 2因为cosB=—,所以a+c -=—,即a2+c2-b2=15，从而(a+c)2-2ac—b2=15,17 2ac 17即36-17-b2=15,解得b=2.5.(2017全国3理17)△ABC的内角