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文档简介

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若在和处切线平行,则()A.B.C.D.2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A.53 B.73 C.33.函数的图象大致为()A. B.C. D.4.下列命题中正确的个数()①“∀x>0,2x>sinx”的否定是“∃x0≤0,2x0≤sinx0”;②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果,A.0 B.1 C.2 D.35.若为纯虚数,则实数的值为A. B. C. D.6.有位男生,位女生和位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是()A. B. C. D.7.若,则()A.2 B.4 C. D.88.如图,在△中,,是上的一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.9.若函数的图像如下图所示,则函数的图像有可能是()A. B. C. D.10.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为(

)A. B. C. D.11.已知某次数学考试的成绩服从正态分布,则114分以上的成绩所占的百分比为()(附,,)A. B. C. D.12.若函数为奇函数,且在上为减函数,则的一个值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知直线与双曲线的一条渐近线平行,则这两条平行直线之间的距离是.14.已知,,则___________.15.已知甲盒中仅有一个球且为红球,乙盒中有3个红球和4个蓝球,从乙盒中随机抽取个球放在甲盒中,放入个球后,甲盒中含有红球的个数为,则的值为________16.已知函数在R上为增函数,则a的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线:,点为直线上任一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,(1)证明,,三点的纵坐标成等差数列;(2)已知当点坐标为时,,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上,其中点满足,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.18.(12分)已知椭圆的离心率为,点为椭圆上一点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知两条互相垂直的直线,经过椭圆的右焦点,与椭圆交于四点,求四边形面积的的取值范围.19.(12分)已知椭圆(a>b>0)经过点,且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知A(0,b),B(a,0),点P是椭圆C上位于第三象限的动点,直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N,求证:|AN|•|BM|为定值.20.(12分)学校某社团参加某项比赛,需用木料制作如图所示框架,框架下部是边长分别为的矩形,上部是一个半圆,要求框架围成总面积为.(1)试写出用料(即周长)关于宽的函数解析式,并求出的取值范围;(2)求用料(即周长)的最小值,并求出相应的的值.21.(12分)已知函数(,)的最大值为正实数,集合,集合.(1)求和;(2)定义与的差集:,设、、设均为整数,且,为取自的概率,为取自的概率,写出与的二组值,使,.22.(10分)已知复数.(I)若,求复数;(II)若复数在复平面内对应的点位于第一象限,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出原函数的导函数,可得,得到,则,由x1≠x2,利用基本不等式求得x12+x22>1.【详解】由f(x)lnx,得f′(x)(x>0),∴,整理得:,则,∴,则,∴x1x2≥2,∵x1≠x2,∴x1x2>2.∴2x1x2=1.故选:A.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.2、C【解析】

本题考查期望与方差的公式,利用期望及方差的公式,建立方程,即可求得结论.【详解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故选C.考点:离散型随机变量的期望方差.3、A【解析】

根据题意,分析函数f(x)的奇偶性以及在区间(0,)上,有f(x)>0,据此分析选项,即可得答案.【详解】根据题意,f(x)=ln|x|(ln|x|+1),有f(﹣x)=ln|﹣x|(ln|﹣x|+1)=ln|x|(ln|x|+1)=f(x),则f(x)为偶函数,排除C、D,当x>0时,f(x)=lnx(lnx+1),在区间(0,)上,lnx<﹣1,则有lnx+1<0,则f(x)=lnx(lnx+1)>0,排除B;故选:A.【点睛】本题考查函数的图象分析,一般用排除法分析,属于基础题.4、C【解析】

根据含量词命题的否定可知①错误;根据相关指数的特点可知R2越接近0,模型拟合度越低,可知②错误;根据四种命题的关系首先得到逆命题,利用不等式性质可知③正确;分别在m=0和m≠0的情况下,根据解集为R确定不等关系,从而解得m【详解】①根据全称量词的否定可知“∀x>0,2x>sinx”的否定是“∃x②相关指数R2越接近1,模型拟合度越高,即拟合效果越好;R2越接近③若“a>b>0,则3a>3b>0④当m=0时,mx2-2当m≠0时,若mx2-2m+1解得:m≥1,则④正确.∴正确的命题为:③④本题正确选项:C【点睛】本题考查命题真假性的判断,涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为R求解参数范围的知识.5、D【解析】

由复数为纯虚数,得出实部为零,虚部不为零,可求出实数的值.【详解】为纯虚数,所以,解得,故选D.【点睛】本题考查复数的概念,考查学生对纯虚数概念的理解,属于基础题.6、D【解析】先排与老师相邻的:,再排剩下的:,所以共有种排法种数,选D.点睛:求解排列、组合问题常用的解题方法:(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;(2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.7、D【解析】

通过导数的定义,即得答案.【详解】根据题意得,,故答案为D.【点睛】本题主要考查导数的定义,难度不大.8、C【解析】

先根据共线关系用基底表示,再根据平面向量基本定理得方程组解得实数的值.【详解】如下图,∵三点共线,∴,∴,即,∴①,又∵,∴,∴②,对比①,②,由平面向量基本定理可得:.【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理,考查基本分析求解能力.9、A【解析】

根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。【详解】由的图象可知:在,单调递减,所以当时,在,单调递增,所以当时,故选A.【点睛】本题考查函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系,属于基础题.10、C【解析】

由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解概率值即可.【详解】由乘法原理可知,有放回摸球可能的方法有种,若第一次摸出白球,第二次摸出黑球,有种,若第一次摸出黑球,第二次摸出白球,有种,结合古典概型计算公式可得,两次摸出的球恰好颜色不同的概率为.本题选择C选项.【点睛】有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.11、C【解析】分析:先求出u,,再根据和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解:由题得u=102,因为,所以.故答案为:C.点睛:(1)本题主要考查正态分布曲线和概率的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时,要画图数形结合分析,不要死记硬背公式.12、D【解析】由题意得,∵函数为奇函数,∴,故.当时,,在上为增函数,不合题意.当时,,在上为减函数,符合题意.选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】因为直线ax+y+2=0与双曲线的一条渐近线y=x平行,所以-a=2,(或者-a=-2),则a=-2,(a=2,)假设a=2,则利用平行线间距离公式解得为14、【解析】

利用求的值.【详解】.故答案为:5【点睛】本题主要考查差角的正切公式的应用,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解析】

当抽取个球时,的取值为,根据古典概型概率计算公式,计算出概率,并求得期望值.当抽取个球时,的取值为,根据古典概型概率计算公式,计算出概率,并求得期望值.【详解】解:甲盒中含有红球的个数的取值为1,2,则,.则;甲盒中含有红球的个数的值为1,2,3,则,,.则.∴.故答案为:.【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法,考查古典概型概率计算公式,考查组合数的计算,属于中档题.16、【解析】

由分段函数在R上为增函数,则,进而求解即可.【详解】因为在上为增函数,所以,解得,故答案为:【点睛】本题考查已知分段函数单调性求参数范围,考查指数函数的单调性的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2);(3)存在一点满足题意.【解析】

(1)设,对求导,则可求出在,处的切线方程,再联立切线方程分析即可.

(2)根据(1)中的切线方程,代入则可得到直线的方程,再联立抛物线求弦长列式求解即可.(3)分情况,当的纵坐标与两种情况,求出点的坐标表达式,再利用与垂直进行求解分析是否存在即可.【详解】(1)设,对求导有,故在处的切线方程为,即,又,故同理在处的切线方程为,联立切线方程有,化简得,即的纵坐标为,因为,故,,三点的纵坐标成等差数列.

(2)同(1)有在处的切线方程为,因为,所以,即,又切线过,则,同理,故均满足直线方程,即故直线,联立,则,即,解得,故抛物线:.(3)设,由题意得,则中点,又直线斜率,故设.又的中点在直线上,且中点也在直线上,代入得.又在抛物线上,则.所以或.即点或(1)当时,则,此时点满足(2)当时,对,此时,则.又.,所以,不成立,对,因为,此时直线平行于轴,又因为,故直线与直线不垂直,与题设矛盾,故时,不存在符合题意的点.综上所述,仅存在一点满足题意.【点睛】本题考查了抛物线的双切线问题,需要求出在抛物线上的点的切线方程,再根据抛物线双切线的性质进行计算,同时要灵活运用抛物线的方程,属于难题.18、(1);(2)【解析】

(1)由题意可得,解得进而得到椭圆的方程;(2)设出直线l1,l2的方程,直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,分别求得|AB|,|MN|,再由四边形的面积公式,化简整理计算即可得到取值范围.【详解】(1)由题意可得,解得a2=4,b2=3,c2=1故椭圆C的方程为;(2)当直线l1的方程为x=1时,此时直线l2与x轴重合,此时|AB|=3,|MN|=4,∴四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|=1.设过点F(1,0)作两条互相垂直的直线l1:x=ky+1,直线l2:xy+1,由x=ky+1和椭圆1,可得(3k2+4)y2+1ky﹣9=0,判别式显然大于0,y1+y2,y1y2,则|AB|••,把上式中的k换为,可得|MN|则有四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|••,令1+k2=t,则3+4k2=4t﹣1,3k2+4=3t+1,则S,∴t>1,∴01,∴y=﹣()2,在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,∴y∈(12,],∴S∈[,1)故四边形PMQN面积的取值范围是【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,同时考查直线椭圆截得弦长的问题,以及韦达定理是解题的关键,属于难题.19、(1)+y2=1.(2)见解析.【解析】

(1)由题意可得:,,a2=b2+c2,联立解得:a,b.即可得出椭圆C的方程.(2)设P(x0,y0),(x0<0,y0<0)A(2,0),B(0,1)..可得直线BP,AP的方程分别为:y=x+1,y=(x-2),可得:M(,0),N(0,).可得|AM|•|BN|为定值.【详解】解:(1)由题意可得:+=1,=,a2=b2+c2,联立解得:a=2,b=1.∴椭圆C的方程为:+y2=1.(2)证明:设P(x0,y0),(x0<0,y0<0)A(2,0),B(0,1).+2=2.可得直线BP,AP的方程分别为:y=x+1,y=(x-2),可得:M(,0),N(0,).∴|AM|•|BN|=(2-)(1-)=2--+==2为定值.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20、(1),;(2),此时【解析】

(1)根据面积可得到与的关系,

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