2022-2023学年九年级数学专家点拨-二次函数的图象和性质

一、考点突破二次函数的图象和性质历来是中考的热点之一。题型既有选择题、填空题，又有中档难度的解答题，更有与其他学科知识相结合的难度较大的综合题。近几年的中考试卷中，还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题以及开放性探索题，主要考查学生分析问题和解决问题的能力以及计算能力和空间想象能力。常见的题目有以下几种：（1）求函数的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）利用函数的解析式求某些字母或代数式的值。二、重难点提示重点：能确定二次函数的表达式，会用描点法画出二次函数的图象，并掌握其性质，会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴.难点：利用二次函数的图象和性质解决问题。一、知识脉络图二、知识点拨1.二次函数的定义：形如（是常数，≠0）的函数，叫做二次函数，其中是自变量，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。2.二次函数的三种表达形式：（1）一般式：（≠0）；（2）顶点式：（≠0），其中是抛物线的顶点坐标；（3）交点式：（≠0），其中，是抛物线与轴的交点的横坐标。3.二次函数的图象是一条抛物线。对称轴是，顶点坐标是（），其图象与的图象形状一样，位置不同；开口方向由的符号确定；当时，开口向上；当时，开口向下。4.二次函数的性质： （1）当时， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。（2）当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。能力提升类例1函数的图象的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个一点通：由图象开口向下得，由轴的交点得，对称轴＞0，当＝1时，＞0，当＝－1时，＜0，由以上信息即可解答此题。解：观察图形，显然，，，，∴＜0，＜0，由－，得＜－2，所以2＋＜0；由－＋c＜0得＋－＝（＋＋）（－＋）＜0；由＋＋＞0得＋＞－＞0，所以＋－＞0，||＞||，－＞0。综上所述，仅有＋－，－的值为正数。故选A。点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，难度不大，解题关键是认真观察图形、题图结合，正确地分析出的正负。例2作抛物线关于x轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线A所对应的函数表达式是（）A.B.C.D.一点通：易得抛物线的顶点，进而可得的顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的表达式，而根据关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线所对应的函数表达式。解：易得抛物线的顶点为（－1，－1），∵抛物线是由抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的，∴抛物线的坐标为（1，－2），可设抛物线的表达式为，代入得：，易得抛物线的二次项系数为－2，顶点坐标为（1，2），∴抛物线的解析式为。故选D。点评：讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可；关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数。综合运用类例3已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点坐标为，求的顶点坐标。一点通：∵、两点关于轴对称，∴点坐标为，可代入函数关系式列方程求解。解：∵、两点关于轴对称，点坐标为∴点坐标为，∵、分别在双曲线和直线上，∴∴∴，∴的顶点坐标为。点评：主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法。解题关键是先求出，的值，再整体代入求出函数的解析式。例4已知：抛物线的顶点在坐标轴上。（1）求的值；（2）若该抛物线的顶点C在轴的正半轴上，而此抛物线与直线＝＋9交于A，B两点，且A点在B点左侧，P为线段AB上的点（A，B两端点除外）。过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q（可在图中画示意图）。问：①线段AB上是否存在这样的点P，使得PQ的长等于6？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②线段AB上是否存在这样的点P，使得△ABQ∽△OAC？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由。一点通：（1）此题应分两种情况考虑：①抛物线的顶点在轴上，那么抛物线的一次项系数为0，可据此求出的值；②抛物线的顶点在轴上，抛物线解析式中，若＝0，则所得方程的判别式等于0，可据此求得的值。（2）抛物线的顶点在轴的正半轴上，那么抛物线的对称轴在轴右侧，根据上述条件结合（1）题的解，可求得的值，进而确定该抛物线的解析式，再联立直线方程＝＋9即可求得点A、B的坐标；①设出点P的横坐标，根据抛物线和直线AB的解析式，即可表示出点P、Q的纵坐标，进而可得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PQ的最大值及对应的P点坐标；②假设存在符合条件的Q点，由于△ABQ∽△OAC，则∠COA＝∠QAB＝90°，即QA⊥AB，由于直线AB的斜率为1，即它与轴的夹角为45°，那么∠QAO＝45°，若过Q作QH⊥轴于H，则△QAH是等腰直角三角形，可设出点Q，进而可表示出QH、AH、OH的长，根据OA＝OH＋AH＝9，即可求得点Q的坐标，此时Q（5，4），显然两个直角三角形的对应直角边是不成比例的，故不存在符合条件的Q点。解：（1）若抛物线的顶点在轴上，得＝－2；若抛物线的顶点在轴上，由＝0，得＝4或＝－8。（2）根据题意得＝4，此时抛物线解析式为。解，得，；所以A（0，9），B（7，16）。①由于点P在直线上，因此设符合题意的点P的坐标为（，＋9），此时对应的点Q的坐标为（，－6＋9），由题意得PQ＝（＋9）－（－6＋9）＝6，解得＝1或6。由题意0＜＜7，点P的坐标为（1，10）或（6，15）；②设在线段AB上存在这样的点P，使得△ABQ∽△OAC，∵∠BAQ＝∠AOC＝90°，分别过B，Q两点向y轴作垂线，垂足为E，H，由∠BAQ＝90°，而直线与x轴所夹的锐角为45°，所以所以QH＝AH得点Q的坐标为（5，4），但显然AB：AQ≠OA：OC，∴△ABQ与△OAC不可能相似，∴线段AB上不存在符合条件的点P。点评：此题主要考查二次函数的性质、函数图象与系数的关系、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，难度较大。思维拓展类例5已知当时，二次函数的值恒大于1，求的取值范围。一点通：因为二次项系数大于0，要求二次函数值在范围内恒大于1时的取值范围，就是要求抛物线上的点的横坐标在这个范围内对应的纵坐标恒大于1时的取值范围。这由抛物线的对称轴并结合题设和二次函数的性质可以求得。解：因为函数的二次项系数为，所以二次函数的图象是一条开口向上的抛物线。（1）当对称轴时，即时，要使二次函数的函数值在时恒大于1，只要当时，其对应的纵坐标大于等于1，即，解得。（2）当对称轴，即时，要使二次函数的函数值在时恒大于1，只要当时，其对应的纵坐标大于等于1，即即可，此式恒成立，故。（3）当对称轴在时，即，解得。此时，要使二次函数的值在时恒大于1，只要使抛物线顶点的纵坐标大于1即可，即，解得。所以。综上可知的取值范围是。点评：准确分类讨论是关键。1.判断一个函数关系式是否为二次函数时，要看其是否满足以下三点：（1）函数关系式是整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于零。2.在列二次函数关系式表达实际问题时，一定要注意标明自变量的取值范围，且使自变量的取值范围符合实际情况和题意。3.确定抛物线顶点的方法（1）配方法：把配方成的形式，即顶点为；（2）公式法：直接运用顶点坐标公式。4.增减性的确定当函数图象从左到右呈“上升”状态时，函数值随的增大而增大；当函数图象从左到右呈“下降”状态时，函数值随的增大而减小。反之也成立。5.抛物线中的符号与值的确定方法由开口方向决定，开口向上，开口向下；由抛物线与轴的交点坐标决定，是抛物线与轴交点的纵坐标；由与对称轴决定。6.抛物线解析式的求法（1）一般式：设抛物线的解析式为，需知三个点或三组对应的值。（2）顶点式：已知抛物线的顶点及另一个点，设为问题把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）A.B.C.D.一点通：因为，将的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得，又，∴有，解得。答案：A错因分析：不能熟练掌握二次函数图象平移的规律，弄错符号，导致选错。还有的学生认为已知是常数为5，将图象向下平移两个单位即为5－２＝３，就认为，错选。（答题时间：50分钟）一、选择题1.是关于的二次函数，当的取值范围是时，在时取得最大值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2.抛物线（是常数）的顶点坐标是（）A.B.C.D.3.已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（）A.1B.2C.3D.45.已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：中，其值大于0的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个6.如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A.B.C.D.7.已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，且，下列结论：①；②；③。其中正确结论的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个8.下图是二次函数的图象，若，则的值等于（）A.B.C.D.19.二次函数的图象可能是（）10.已知一次函数的图象过点，则关于抛物线的三条叙述：①过定点，②对称轴可以是，③当时，其顶点的纵坐标的最小值为3。其中所有正确叙述的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题11.已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：______________（填“>”“<”或“=”）。12.已知二次函数的图象如图所示，则点在第_____________象限。13.函数的图象经过点，则的值为___________________。三、解答题14.（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较，的大小关系（直接写结果）；（4）把方程的根在函数的图象上表示出来。15.已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点，最后运动到点，求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长。

1.B解析：由题可知当对称轴大于等于2时，即满足时，取得最大值，故选B。2.B解析：的顶点坐标为。3.C解析：由图象开口向下，对称轴在轴左侧，得。抛物线与轴有两个交点，则。当时，。故①②③正确。4.B解析：抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，。5.A解析：由图象可知，即，；对称轴，即。当时，；当时，。6.B解析：由两抛物线的对称轴相同可知，且由图象易知。7.C解析：，。。由已知条件可大致画出二次函数的图象如图所示。由图象可知当时，，即，所以，即，故①③正确，②错误，选C。8.D解析：在前两个图象中，不符合要求；在第四个图象中，得不符合要求；在第三个图象中抛物线经过点，，，，，∴。9.C解析：对于的图象，对称轴是直线，当时，，则抛物线的对称轴在轴左侧，只有C选项符合；当时，开口向下，，抛物线的对称轴在轴右侧，B、D项图象均不符合。故选C。10.C解析：把代入得。把代入得，上述两个同解，所以①成立；由对称轴，得，得，与矛盾，所以②不成立；由于与轴交于点，所以抛物线的顶点最小值为3，③成立。故选C。11.>解析：结合图形易得。12.三解析：由图象可知，所以。所以点在第三象限。13.1解析：函数的图象经过点，。14.解：（1）。（2）对称轴为直线，顶点坐标为，列表如下：…01234……30－103…描