圆锥曲线教学中的引伸和推广 论文

圆锥曲线教学中的引伸和推广摘要：众所周知，数学是高中教育教学中一门非常重要的学科，直接影响了学生的成长、未来发展。传统的高中数学教学中存在弊端，如何培养能力和发展智力是当前高中数学教学的课题，从长远的观点看，我们培养学生的不仅要具有一定的基础知识，更应具备应用这些知识解决问题的能力，具有卓创见。一、启发学生探索问题的实质，抓住实质，掌握规律培养学生的分析能力，主要就是培养学生能透过现象看到问题的本质。教师应当通过剖析来说明什么是次要的、表面的东西、什么是与解决问题有关的实质性的东西。这样才能正真培养学生的分析能力。例：求证：在曲线的方程例里，如果以X代Y，Y代X，方程不变，那么，此曲线关于直线X-Y=0为对称。证这个命题，一般先设曲线方程为fxy=0，然后在曲线上任取一点px0- y0)，利用题设条件证明与P点关于直线Y=X对称的点px1 0,y0)也在曲线上，这里，关键是：证明与曲线上任意一点P关于直线Y=X对称的点1p也在曲线上。这是关于直线Y=X对称的实质。应该让学生亲手画画图。切实领会曲线对称性的这一实质。如果学生能比较透彻的理解这一点，那么久不难使他们悟出证曲线对称性的一般规律：“设P是曲线上任意一点（即P点坐标适合曲线方程）。证明与P点对称的点也在曲线上（即点1p的坐标也适合曲线方程），那么曲线久具有有关的对称性”。显然，这一法则也可用于证明两条曲线与相互对1l称的问题。二、利用学生已经掌握的知识和技能，用类比、推广的方法探索解题途径。一个学生过去未见过的问题出现以后，教师应该通过合理的分析来启发学生，努力使学生不感到“巧”，不感到教师特别有“灵感”。应使学生看到他和旧知的必然联系，许多问题是能够以旧推新的。1.过抛物线焦点弦AB的中点C，作准线的垂线CK，则垂足K与焦点弦两个端点的连线KA和KB互相垂直；2.过抛物线焦点弦的端点A,B作切线ATAT1 2,则此两切线垂直相交于准线上一点K。此点与AB中点C的连线平行于抛物线的轴；3.从准线上任一点作抛物线的切线，则所得两切线互相垂直，且两切点连线为焦点弦，此弦中点与该点连线平行抛物线的轴；4.抛物线上两条互相垂直切线的交点轨迹是抛物线的准线。以下利用抛物线的光学性质对一些结论进行简单证明：如图，抛物线方程为y22px(p0)，F(P20,)是抛物线的焦点，l:xp2是抛物线的准线方程，过焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，A,B在准线上的投影分别为A1,B1，过A作切线AT1交准线于K，连接B,K.（1）证明：直线BK为抛物线的切线，且直线AK与直线BK垂直;（2）C为抛物线焦点弦AB的中点，证明：直线CK与x轴平行；（3）连接B,F，证明：直线KF与直线AB垂直;证明:根据抛物线的光学性质，过点F的入射光线FA经过切线AT1反射后，反射光线AD与x轴平行,则A1,A,D三点共线，DAT1A1AK，又FAKDAT1，A1AKFAK,又根据抛物线的定义A1AFA，在A1AK和FAK中A1AFAA1AKFAK A1AKFAK KA1AKFA,又KA1A90AKAKKFA90即KFAB,则（3）得证.根据抛物线的定义B1BFB,由（3）得KFBKB1B90在RtB1BK和RtFBK中KBKB RtB1BKRtFBK B1BKFBK,又B1BKT2BEBB1BFKBFT2BE,即直线BK为抛物线在B点的切线又A1AKFAK A1KAFKA 又RtB1BKFBK B1KBFKBA1KAFKAB1KBFKB180FKAFKB90的中点即AKBK,则（1）得证又A1AKFAKA1KFKK为A1B1的中点，又C为AB又RtB1BKFBKB1KFKCK//AA1//BB1即直线CK与x轴平行，则（2）得证.三、要为学生提供一题多解得条件，提倡学生用多种方法解题，拓宽视野，发展思维能力。一题多解至少有这样几个好处，可以激发学生思维的积极性，拓宽视野，培养探究能力；可以培养学生锐利的观察分析能力；可以在比较的基础上培养学生思维的合理性，形成科学的思维方法等等。教学中除了经常提倡、鼓励之外，还要为学生提供一些条件——例如解一些容易的出多种解法的例题；给与足够的讨论时间等，使学生的思维活跃起来。例1.（2018.全国卷Ⅲ）已知点M（1,1）和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若AMB90，则k=________.解析：M（1,1）在抛物线C：y24x的准线l:x1上，AMB90即AMBM,则AM,BM为在A,B两点的切线，由二中的结论（3）可推出MFAB，又M（1,1），F0,1()则kMF101，又kAFk1，则k2.112例2.已知抛物线C：y24x的焦点F,过F的直线交抛物线C于A,B两点，点M（2,1)满足MAMB，则直线的方程为（）A.yx1B.yx1C.y3x3D.y3x3解析：如图M在准线上且MAMB，则MA,MB在A,B两点的切线,由二中的结论（3）可推出MFAB，又MNFN2且MNFN,则NFM45，综上推出直线的倾斜角为45，又点F（0,1），则直线的方程为yx1，故选B。例3.过抛物线C：y216x的焦点F作直线，交抛物线于A,B两点，设P(200,)，若(PABP)(PAPB)0,则AB（）.A16B.20C.32D.16或32解析：(PABP)(PAPB)0PAPB即点P在焦点弦AB的中垂线上.i:当直线与x轴垂直时，焦点弦AB关于x轴对称，又P(200,)在x轴上，满足题意AB为通径即AB16.ii:当直线与x轴不垂直时，如图取AB的中点M,分别作AA1、MM1、BB1与准线垂直，由二中的结论（2）可推出MM1//x轴，由二中的结论（3）可推出M1FAB,又点P在焦点弦AB的中垂线上、M为AB的中点，则PMABM1F//MP，则四边形PMM1F为平行四边形，MM1PF16M为AB的中且AA1、MM1、BB1与准线垂直，则AA1BB12MM1又根据抛物线的定义推出ABAA1BB1,故AB32.综上本题选D.在高中数学教学