函数方程不等式以及它们的图像

函数方程不等式以及它们的图像第1页，共88页，2023年，2月20日，星期日函数是中学数学的一个重要概念。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。2023/4/262第2页，共88页，2023年，2月20日，星期日和函数有必然联系的是方程，方程的图像与x轴的交点的横坐标，函数的解就是函数也可以看作二元方程，通过方程进行研究。2023/4/263第3页，共88页，2023年，2月20日，星期日，在x轴下方则是的作用还可以使动态的y=f(x)的图像上、下、左、右的移动。不等式是函数与方程关系的一个更为广泛的补充。函数y=f(x)图像在x轴上方是。不等式2023/4/264第4页，共88页，2023年，2月20日，星期日函数思想在解题中的应用主要体现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。2023/4/265第5页，共88页，2023年，2月20日，星期日方程思想在解题中的应用主要表现在：从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式，或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。2023/4/266第6页，共88页，2023年，2月20日，星期日图像将使上述的思想具体化、形象化。它从几何的角度描述问题的本质、变化的规律，使数学问题更具有生命力。2023/4/267第7页，共88页，2023年，2月20日，星期日许多数学问题，不能简单地归结于函数、方程或是不等式，而是它们的综合。通过解决这些数学问题，不仅是对我们数学知识掌握的考查，是对我们逻辑思维能力、形象思维能力、综合解题能力、探索创新能力的考查，更重要的是让我们体会到数学知识之间是如何相互联系、相互渗透的，又是联系渗透得那么惊人的深刻，那么意想不到的精彩。2023/4/268第8页，共88页，2023年，2月20日，星期日二、典型习题例题1、已知实数，，，求与的范围。2023/4/269第9页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：，且2023/4/2610第10页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：即a,b是一元二次方程的根，且两根都大于c，令x轴有两个交点且都在又图像开口向上的两个不相等，则图像与内，2023/4/2611第11页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：xyoc2023/4/2612第12页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：2023/4/2613第13页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：,,2023/4/2614第14页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题2、已知，求函数的最大值和最小值。2023/4/2615第15页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：建立方程组（两式相乘并相减）由题意x，y不能同时为零，不妨设2023/4/2616第16页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：即为关于的一元二次方程，有实根2023/4/2617第17页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题3、设f(x)是定义在R上的偶函数，都有，且（1）求及；（2）证明f(x)是求。其图像关于x=1对称，对任意的周期函数；（3）已知2023/4/2618第18页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：（1）对任意的，都有类似地，

2023/4/2619第19页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：（2）已知f(x)图像关于x=1对称（，都有）有

2023/4/2620第20页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：又f(x)是R上的偶函数即f(x)是以2为周期的周期函数2023/4/2621第21页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：（3）由（2）知2n也是f(x)的周期（把1分为2n个的和）2023/4/2622第22页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：2023/4/2623第23页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题4、已知集合M是满足下列性质的的全体：存在非零常数T，对任意，有成立。（2）设函数的图像与的图像有公共点，证明：；（3）若函数，求实数k的取值范围。（1）函数是否属于集合M？说明理由；2023/4/2624第24页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：（1）对于非零常数T，，由于对于任意的，不能恒成立，所以不属于集合M。2023/4/2625第25页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：（2）由题意可知方程组有解显然不是方程的解，所以存在非零常数T，使得2023/4/2626第26页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：对于，有2023/4/2627第27页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：（3）当时，，显然当时，已知对于任意恒成立存在非零常数T，对于任意有成立，即2023/4/2628第28页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：①当时，恒成立，②当时，恒成立由于x的任意性，则只有当的时候可能恒成立2023/4/2629第29页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：由①②可知，实数k的取值范围是2023/4/2630第30页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题5、函数在上有定义，且满足时，有。（1）证明：在上是奇函数；2023/4/2631第31页，共88页，2023年，2月20日，星期日（2）对于数列，若，，试求：（3）求证：。；2023/4/2632第32页，共88页，2023年，2月20日，星期日证明（1）：令令2023/4/2633第33页，共88页，2023年，2月20日，星期日证明（1）：在上是奇函数；2023/4/2634第34页，共88页，2023年，2月20日，星期日证明（2）：2023/4/2635第35页，共88页，2023年，2月20日，星期日证明（2）：是以公比的等比数列为首项，2为2023/4/2636第36页，共88页，2023年，2月20日，星期日证明（3）：由（2）2023/4/2637第37页，共88页，2023年，2月20日，星期日证明（3）：证毕。2023/4/2638第38页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题6、已知，设P：函数单调递减，Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，在R上求c的取值范围。2023/4/2639第39页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：P：函数在R上单调递减Q：不等式的解集为R函数在R上恒大于12023/4/2640第40页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：又当函数在R上的最小值是2c，，即Q令2023/4/2641第41页，共88页，2023年，2月20日，星期日解：若P正确且Q不正确若P不正确且Q正确的取值范围是。2023/4/2642第42页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题7、已知函数（1）若的定义域为判断在定义域上的增减性，并用定时，使的值域为的定义区间请说明理由。。，义证明；（2）当是否存在？2023/4/2643第43页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（1）：或，又

的定义域为则，2023/4/2644第44页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（1）：2023/4/2645第45页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（1）：当时，函数在上是减函数，时，，上是增函数当函数在2023/4/2646第46页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（2）：由(1)可知，当时，为减函数，则由其值域为2023/4/2647第47页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（2）：2023/4/2648第48页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（2）：则为方程的两个根2023/4/2649第49页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（2）：方程有两个大于3的不等实根，令2023/4/2650第50页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（2）：xyo32023/4/2651第51页，共88页，2023年，2月20日，星期日解（2）：当时，存在这样的区间；时，不存在这样的区间。当2023/4/2652第52页，共88页，2023年，2月20日，星期日

例题8、设函数和，已知时，，求实数a的取值范围。恒有2023/4/2653第53页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：，对于恒成立，，令2023/4/2654第54页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：表示以圆为的上半部分；，表示斜率为，截距为的平行直线系（a为参变量）；圆心，2为半径的2023/4/2655第55页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：xyo-2时，恒有的几何意义为半圆恒在直线下方（如图）2023/4/2656第56页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：直线与半圆相切时，有（截距）2023/4/2657第57页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：由图可知，当截距，即时，恒有，即恒有。2023/4/2658第58页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题9、已知抛物线和两点直线交曲线C于第一象限内的M、N两点，设点P是弦MN的中点，若直线BP与x轴交于点Q，且点Q在A的左侧，求直线MN的斜率k的取值范围。，过点A作斜率为k的2023/4/2659第59页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：（设直线MN的方程为由）2023/4/2660第60页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：设由（1）式直线方程为，令2023/4/2661第61页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：已知点Q在点左侧即直线MN的斜率k的取值范围是2023/4/2662第62页，共88页，2023年，2月20日，星期日

例题10、已知对于任意的总过定点，求抛物线与x轴的交点的横坐标的取值范围。，抛物线2023/4/2663第63页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：已知抛物线总过定点该方程对于任意的均成立2023/4/2664第64页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：抛物线方程为2023/4/2665第65页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：设抛物线与x轴的另一交点令y=02023/4/2666第66页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：当时，由2023/4/2667第67页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：当时，由当时，2023/4/2668第68页，共88页，2023年，2月20日，星期日

解：。综上所述，对于任意的，而点P的横坐标x轴的交点的横坐标的取值范围是,所以抛物线与2023/4/2669第69页，共88页，2023年，2月20日，星期日是定义在R上的奇函数，当时，。(1)求在上的解析式；(2)证明在上是减函数；(3)当时，求关于x的不等式在内的解集。例题11、2023/4/2670第70页，共88页，2023年，2月20日，星期日（1）解：，有则已知当时，，2023/4/2671第71页，共88页，2023年，2月20日，星期日（1）解：2023/4/2672第72页，共88页，2023年，2月20日，星期日（2）证：2023/4/2673第73页，共88页，2023年，2月20日，星期日（2）证：即，在上是减函数。2023/4/2674第74页，共88页，2023年，2月20日，星期日（3）解：由(2)可知时，当时，由于在上是减函数只有一个实数根2023/4/2675第75页，共88页，2023年，2月20日，星期日（3）解：(不合题意，舍去）2023/4/2676第76页，共88页，2023年，2月20日，星期日（3）解：2023/4/2677第77页，共88页，2023年，2月20日，星期日例题12、已知函数的图像上有两点、，且满足，。2023/4/2678第78页，共88页，2023年，2月20日，星期日（1）求证