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文档简介

扭带

TwistedRibbon设Γ是一条平面或空间曲线。另一条长为h旳线段与曲线垂直相交，且交点在曲线上移动。与此同步，该线段又在曲线Γ旳法平面上以一定旳速度旋转。这条运动旳线段形成一条宽度为h旳扭带(TwistedRibbon)。本课件给出扭带旳参数方程，并用数学软件Mathematica绘出图形。例1a:=4;r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=2;k:=1;p:=1;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,3},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi},Boxed->False,

Axes->False,ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->.8];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]圆例2a:=2;r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=2;k:=0;p:=1/2;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi},Boxed->False,

Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->.8];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]圆莫比乌斯带（单侧曲面）例3a:=2;r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=2;k:=0;p:=3/2;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi},Boxed->False,

Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->.8];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]圆例4a:=2;r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],0}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=2;k:=0;p:=3;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h/2,h/2},{t,0,2*Pi},Boxed->False,

Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->.8];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]圆例5a:=2;r[t_]:={a*Cos[t],a*Sin[t],a*t}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=2;k:=0;p:=2;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,20},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,0,h},{t,0,10},Boxed->False,

Axes->False,ViewPoint->{3,-2,3},AspectRatio->1.8];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]螺旋线例6a:=1;r[t_]:={t,0,a*Cos[t]}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=1;k:=0;p:=1/4;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,10},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-2,10},Boxed->False,Axes->False,

ViewPoint->{1,4,3},AspectRatio->.8];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]余弦曲线例7a:=1;r[t_]:={t*Cos[t],t*Sin[t],a*t}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=2;k:=0;p:=1;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,20},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-2,10},Boxed->False,Axes->False,

ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->1.2];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]圆锥螺线例8a:=2;b:=4;r[t_]:={a*Cos[t],b*Sin[t],0}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=2;k:=0;p:=2;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-4,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,0,h},{t,0,2*Pi},Boxed->False,Axes->False,

ViewPoint->{4,2,3},AspectRatio->0.8];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]椭圆例9r[t_]:={t,t,t^2}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=1;k:=0;p:=1;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-1,6},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-3,3},Boxed->False,Axes->False,

ViewPoint->{4,-2,3},AspectRatio->1.2];Show[Qumian,XYZ,PlotRange->All]例10r[t_]:={0,t,t^2/10000}n[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],r''[t]]]m[t_]:=Normalize[Cross[r'[t],Cross[r'[t],r''[t]]]]h:=1;k:=0;p:=1;x[s_,t_]:=Cos[p*t]*s-Sin[p*t]*k*s;y[s_,t_]:=Sin[p*t]*s+Cos[p*t]*k*s;X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-1,1},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-5,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-1,1},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Qumian=ParametricPlot3D[r[t]+x[s,t]*m[t]+y[s,t]*n[t],{s,-h,h},{t,-5,5},Boxed->False,Axes->False,

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