2021年广东省阳江市第三中学高二数学理期末试题含解析

2021年广东省阳江市第三中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，，AD为角A的平分线，，，则的长是（

）A．

B．或2

C．1或2

D．参考答案：A如图，由已知条件可得，，，解得，故选A.

2.在圆内过点有条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项，最长弦长为，若公差，那么的最大取值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C3.若，则下列不等式恒成立的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=（） A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2参考答案：B【考点】导数的运算． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可． 【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1）， 令x=1，可得 f′（1）=2+2f′（1）， ∴f′（1）=﹣2， ∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4， 当x=0，f′（0）=﹣4． 故选B． 【点评】考查学生对于导数的运用，这里将f′（1）看成常数是很关键的一步． 5.（文科）已知某长方体的三个相邻面的表面积分别为2,3,6，且该长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为

().A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）参考答案：D【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的单调性的性质可得0≤2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（），∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，故选D．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．7.设若的最小值为（

）

A．

8

B．

4

C．1

D．参考答案：B略8.设,则（

）A． B．

C． D．参考答案：A9.已知直线y=kx+2与椭圆总有公共点，则m的取值范围是A．m≥4

B．0＜m＜9

C．4≤m＜9

D．m≥4且m≠9参考答案：D10.圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切参考答案：C【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【专题】计算题． 【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系． 【解答】解：把圆x2+y2﹣2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得： （x﹣1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4， 故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R=2和r=1， ∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R﹣r=1， ∴R﹣r＜d＜R+r， 则两圆的位置关系是相交． 故选C 【点评】圆与圆的位置关系有五种，分别是：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R，r分别表示两圆的半径）． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=x3+sinx，（﹣1＜x＜1），若f（x2）+f（﹣x）＞0，则实数x的取值范围是：．参考答案：（﹣1，0）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上增函数，由此可以将f（x2）+f（﹣x）＞0转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，则有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数f（x）为增函数，f（x2）+f（﹣x）＞0?f（x2）＞﹣f（﹣x）?f（x2）＞f（x）?，解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）12.已知随机变量X的分布列如下表：X123P

其中a是常数，则的值为_______.参考答案：【分析】根据分布列中概率和为1可构造方程求得，由求得结果.【详解】由分布列可知：，解得：则本题正确结果：【点睛】本题考查分布列性质的应用，属于基础题.13.已知等比数列满足，且，则当时

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C14.定积分等于______．参考答案：分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以．点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15.已知等差数列中，若，则．

参考答案：1116.数列满足,,且=2,则的最小值为____.参考答案：17.若实数满足条件则的最大值是________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测:存款量与存款率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款利率为x,x∈(0,0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式;(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大效益?参考答案：思路分析:根据题意列出g(x)及h(x)的函数关系式,由收益=贷款收益-存款利息,建立收益与贷款收益、支付存款利息间的关系,从而利用导数求最值.解:(1)由题意,存款量g(x)=kx2.银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx3.(2)设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx2-kx3,y′=0.096kx-3kx2,令y′=0,得x=0(舍去)或x=0.032.当x∈(0,0.032)时,y′>0;当x∈(0.032,0.048)时,y′<0.所以当x=0.032时,y取得最大值,即当存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益.略19.（本题满分8分）如图，在正方体中，为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值．参考答案：（1）；（2）平面，所以为平面的法向量，，设平面法向量为，又，，由即，取，所以,因二面角为锐角,故.20.甲、乙、丙三人轮流投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规则如下：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则另外两个人抓阄决定由谁来投掷，且第一次由甲投掷．设第n次由甲投掷的概率是，由乙或丙投掷的概率均为．

（1）计算的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）如果一次投掷中，由任何两个人投掷的概率之差的绝对值小于0．001，则称此次投掷是“机会接近均等”，那么从第几次投掷开始，机会接近均等？参考答案：解：⑴易知

……5分⑵设第n-1次由甲投掷的概率是，则第n-1次由甲投掷而第n次仍由甲投掷的概率是，第n-1次由另两人投掷而第n次由甲投掷的概率是，……………9分于是，递推得。

……12分（3）由，得故从第6次开始，机会接近均等。

…15分21.已知椭圆：的离心率，椭圆左右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4。设P为椭圆上不同于A、B的任一点，作PQ⊥x轴，Q为垂足。M为线段PQ中点，直线AM交直线l：x=b于点C，D为线段BC中点（如图5）。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试判断O、B、D、M四点是否共圆，并说明理由。参考答案：证明如下：依题，A（-1，0），B（1,0），直线l：x=1。设点，则点。……………6分直线AM：，令x=1，得C（1，），所以D（1，）…8分所以，…10分所以，12分因为点，故，所以0，所以∠OMD=90o。……………13分故△OMD和△OBD都是直角