《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第七章-第2讲-空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面开放图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面开放图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[做一做]1．(2022·高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2π B．πC．2 D．1解析：选A.以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6 B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为eq\r(3)的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).1．辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要留意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，简洁和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接依据相关的体积公式计算．(2)等积法：依据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更简洁，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．3．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四周体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[做一做]3．(2022·高考陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3) B．4πC．2π D.eq\f(4π,3)解析：选D.正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝1，球的体积V＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3).故选D.4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8，8解析：选B.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为eq\r(5)，∴S侧＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5).eq\a\vs4\al(考点一)__空间几何体的表面积__________________(1)(2022·高考浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2(2)(2021·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．2＋eq\f(1＋\r(5),2)π B．2＋eq\f(1＋2\r(5),2)πC．2＋(1＋eq\r(5))π D．2＋eq\f(2＋\r(5),2)π[解析](1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3))＝99＋39＝138(cm2)．(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为eq\r(5)，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即eq\f(1,2)π＋eq\f(1,2)π×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2×2＝2＋eq\f(1＋\r(5),2)π，故选A.[答案](1)D(2)A[规律方法](1)多面体的表面积的求法：求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．(2)旋转体的表面积的求法：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．1.(1)(2022·高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18(2)(2021·江西八校联考)若一个圆台的正视图如图所示，则其表面积等于________．解析：(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)))＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).故选A.(2)由图知圆台的上、下底面半径分别为r＝1，r′＝2，母线长为l＝eq\r(5)，则圆台表面积为π(r＋r′)l＋π(r2＋r′2)＝5π＋3eq\r(5)π.答案：(1)A(2)5π＋3eq\r(5)πeq\a\vs4\al(考点二)__空间几何体的体积(高频考点)__________空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属于简洁题．高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度：(1)求简洁几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积．(1)(2022·高考辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)(2)(2022·高考课标全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)(3)(2022·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[解析](1)这是一个正方体切掉两个eq\f(1,4)圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－eq\f(1,4)×π×12×2×2＝8－π.(2)在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，S△DBeq\s\do3(1)Ceq\s\do3(1)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A­B1DC1底面上的高．∴V三棱锥A­Beq\s\do3(1)DCeq\s\do3(1)＝eq\f(1,3)S△DBeq\s\do3(1)Ceq\s\do3(1)·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.(3)依据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4，高为2的圆锥，下部是一个底面直径为2，高为4的圆柱．故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)π×22×2＋π×12×4＝eq\f(20π,3).[答案](1)B(2)C(3)eq\f(20π,3)[规律方法]求空间几何体体积的解题策略(1)求简洁几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先依据三视图得到几何体的直观图，然后依据条件求解．2.(1)(2021·太原市模拟)一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(π,4)))cm3 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(π,2)))cm3C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,4)))cm3 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,2)))cm3(2)(2021·高考江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析：(1)依据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是两个长方体和一个圆柱的组合体，∴所求几何体的体积V＝4×4×2＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＋3×3×1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,4)))cm3.(2)设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.由于D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于eq\f(1,4)S.又由于F为AA1的中点，所以三棱锥F­ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱锥F­ADE的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.答案：(1)C(2)1∶24eq\a\vs4\al(考点三)__球与空间几何体的接、切问题__________(2021·唐山市统一考试)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A．2 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)[解析]由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＝1，即x＝eq\r(2)，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABBeq\s\do3(1)Aeq\s\do3(1)＝eq\r(2)×1＝eq\r(2).[答案]C[规律方法]解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于认真观看、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．3.(2021·长春模拟)若一个正四周体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝________．解析：设正四周体棱长为a，则正四周体表面积为S1＝4·eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其内切球半径为正四周体高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq\f(6\r(3),π).答案：eq\f(6\r(3),π)方法思想——求空间几何体的体积、面积问题(补形法)(1)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(8π,3) B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π(2)已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．[解析](1)由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的eq\f(1,4)，依据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V＝eq\f(3,4)×π×12×4＝3π.(2)由于正三棱锥的侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，故以PA，PB，PC为棱补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO＝eq\r(3)，又P到平面ABC的距离为h，则eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2.∴h＝eq\f(2\r(3),3).∴球心到截面ABC的距离为eq\r(3)－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(\r(3),3).[答案](1)B(2)eq\f(\r(3),3)[名师点评](1)对称补形求体积某些不规章的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形，把它们放入一个规章几何体中加以解决．(2)联系补形某些空间几何体虽然也是规章几何体，不过几何量不易求解，可依据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规章几何体的一部分来求解．三条侧棱两两相互垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．1.(2021·河南洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6) D．1解析：选C.由三视图可知该几何体是一个正方体去掉一角，其直观图如图，其中正方体的棱长为1，则正方体的体积为1，去掉的三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，所以该几何体的体积为1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).2．(2022·高考课标全国卷Ⅰ改编)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最大的面的面积为()A．8 B．4eq\r(5)C．12 D．6eq\r(2)解析：选C.依据三视图可知，该多面体是棱长为4的正方体内的四周体D1ECC1(其中E为棱BB1的中点)易得S△ECCeq\s\do3(1)＝S△Deq\s\do3(1)CCeq\s\do3(1)＝8，S△Deq\s\do3(1)Ceq\s\do3(1)E＝4eq\r(5)，S△Deq\s\do3(1)EC＝12，故选C.1．(2021·安徽合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)解析：选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋4×2×2＋2eq\r(2)×4＝20＋8eq\r(2)，故选D.2.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq\r(3)，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4 B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)解析：选B.设底面边长为x，则V＝eq\f(\r(3),4)x3＝2eq\r(3)，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为eq\r(3)的矩形，其面积为2eq\r(3).3．(2021·广东广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π) B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)解析：选D.设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))\s\up12(2))＝eq\f(π,2).4．(2021·浙江嘉兴市高三模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A．2 B．4C．8 D．12解析：选B.由三视图可得该几何体是一个底面是边长分别为3和2的矩形、高为2的四棱锥，所以该几何体的体积是eq\f(1,3)×2×3×2＝4，故选B.5．(2021·湖北荆州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(2π,3) B．πC.eq\f(4π,3) D．2π解析：选A.由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V柱＝π×12×2＝2π，挖去的两个半球的半径均为1，因此挖去部分的体积为V球＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，因此，几何体的体积为V＝V柱－V球＝2π－eq\f(4π,3)＝eq\f(2π,3)，故选A.6．(2021·福建福州一中月考)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为eq\f(9,8)，底面周长为3，则棱柱的高h＝________．解析：底面周长为3，所以正六边形的边长为eq\f(1,2).则六边形的面积为eq\f(3\r(3),8).又由于六棱柱的体积为eq\f(9,8)，即eq\f(3\r(3),8)h＝eq\f(9,8)，∴h＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．(2022·高考山东卷)一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，∴S侧＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.答案：128．(2022·高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．解析：设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，则eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9.(2021·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).1．(2022·高考大纲全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4) B．16πC．9π D.eq\f(27π,4)解析：选A.如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，∴该球的表面积为4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(81,4)π.2．(2021·成都模拟)已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为92，则a＝()A.eq\f(5,2) B．3C.eq\f(7,2) D．4解析：选C.由三视图可知此几何体是一个底面边长分别为a＋2和3，高为6的长方体截去一个三棱锥，且截去的三棱锥的三条侧棱长分别为3，4，a，故该几何体的体积为6×(a＋2)×3－eq\f(1,3)×3×eq\f(1,2)×4×a＝92，解得a＝eq\f(7,2).3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝1，则四周体A-EFB的体积等于________．解析：连接BD交AC于点O，则OA为四周体A-EFB的高，且OA＝eq\f(\r(2),2)，又S△EFB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以VA-EFB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).答案：eq\f(\r(2),12)4．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析：如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2，得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在