人教版 八年级下册数学 同步复习 第3讲 二次根式的加减 讲义

学生/课程年级8年级学科数学授课教师日期时段核心内容二次根式的加减（第3讲）课程标准1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.知识点01整式知识点回顾1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b25、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn知识点02同类二次根式将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如注意：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.(3)互为同类二次根式，即表示两个或者多个二次根式可以合并；知识点03二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。知识点04二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。重难点突破重1同类二次根式的概念下列二次式中，化简后被开方数与的被开方数相同的是（）A． B． C． D．变式1-1若可以合并为一项，则可以是（）A．6 B．12 C．15 D．18变式1-2下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是（）A．与 B．与C．与 D．与变式1-3下列各式，化简后能与合并的是（）A． B． C． D．变式1-4如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1-5若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为()A．- B． C．1 D．-1重点点拨：判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：先把每个二次根式化成最简二次根式，然后观察它们的被开方数是否相同，最后确定原来的二次根式是否为同类二次根式重点点拨：判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：先把每个二次根式化成最简二次根式，然后观察它们的被开方数是否相同，最后确定原来的二次根式是否为同类二次根式计算：(1)（2）（3）变式2-1：列计算结果正确的是()A．＋＝B．3－＝3C．×＝D．＝5变式2-2：下列运算正确的是（

）A．+= B．3﹣2=1C．2+=2 D．a﹣b=（a﹣b）变式2-3：下列运算中错误的是（）A． B． C． D．变式2-4：计算（）A．7 B．-5 C．5 D．-7变式2-5：计算的结果是（）A． B． C． D．变式2-6：计算：（1）（2）|（3）重点点拨：重点点拨：在进行二次根式的加减运算时，整式加法的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用计算二次根式加减运算时，先化简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数，若含有小数，则先化成分数，然后找到同类二次根式，再利用运算法则进行计算重点3根据同类二次根式的定义求字母的值已知最简二次根式与可以进行合并，则m的值等于_____．变式3若最简根式与是同类二次根式，则m＝___．重点点拨：若两个二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，即化简后的最简二次根式的被开方数相同，据此构造方程求解重点点拨：若两个二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，即化简后的最简二次根式的被开方数相同，据此构造方程求解例4.已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a＋b＝_________．变式4a是的整数部分，b是的小数部分，则_______；重点点拨：重点点拨：遇到涉及二次根式的整数和小数部分的题目时，首先要确定二次根式是在哪两个连续的整数之间，然后确定它的整数部分，小数部分就是原数减去整数部分重点5分母有理化例5.已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2变式5-1：的值是()A． B． C．1 D．重点6二次根式与乘法公式例6.已知，则代数式的值是(

)A． B． C．1 D．2变式6-1：已知x=+1,y=-1,则的值为（）A．20 B．16 C．2 D．4变式6-2：已知a＝＋2，b＝－2，求下列代数式的值：(1)a2b＋b2a；(2)a2－b2.变式6-3：已知x＝，y＝，求的值．重点7二次根式混合计算例7.计算（1）（）2﹣（﹣）（）（2）（）﹣（﹣）变式7-1：化简求值：（1）-×+；（2）．（3）计算：(.重点8.二次根式加减的应用例8.如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（）A．7 B． C．7 D．变式把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的面积和是（）A． B．8 C． D．重点点拨：二次根式的加减应用常见利用正方形、长方形和三角形的面积与边长之间的关系，列出关系式进行计算重点点拨：二次根式的加减应用常见利用正方形、长方形和三角形的面积与边长之间的关系，列出关系式进行计算题组A基础过关练1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（）A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－22．下列运算正确的是（）A．+= B．=4 C．=2× D．=﹣23．下列运算正确的是（）A．B．C．D．4．下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．5．式子的倒数是（）A． B． C． D．6．若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（）A． B．± C． D．±7．比较的大小，正确的是（）A． B．C． D．8．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中结果正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．计算：（3－2）2020（3＋2）2021的结果是（）A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021题组B能力提升练1．与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．2．计算：______．=________________.3．当x=2+时，式子x2﹣4x+2017=________．4．化简的结果为