10.3离散型随机变量及其数学期望与方差-生

2014年高考一轮复习“自主•互动”探究学案内容10.翦散型随机变量及其分布列编凝蜘曜:与羸羞蛔独招使用唱期：【典例剖析】一、随机变量、分布列、数学期望(均值)、方差的有关概念1、设离散型随机变量X的分布列为:X01234,则：(1)2X+1的分布列是P0.20.10.10.3m ;(2)IX—1I的分布列是 产1热1 1 3 72、设离散型随机变量X的分布列为 UI14则P(X«3)=<X<-)=.3、已知某一随机变量乙的概率分布列如右，且£(。=6.3,则。= ，小4旧加s十十卜 4+D(?=• Pp口_540.1p异4、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检2测，每一件二等品通过检测的概率为(现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X,求X的分布列;(3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率.5、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上〃号的有〃个伽=1,2,3,4).现从袋中任取一球，乙表示所取球的标号.⑴求乙的分布列、期望和方差；(2)若〃=a?+》，£(〃)=1,=试求a,Z?的值.二、两点分布、超几何分布6、若随机变量X服从两点分布，且成功的概率P=0.5,则E(X)=,D(X)=.7、一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概

⑴求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.三、由统计数据求离散型随机变量的分布列7、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100].（1）求图中％的值；⑵从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为己求乙的分布列及数学期望.四、由古典概型求离散型随机变量的分布列11、（2013天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.⑴求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.在取出的张卡片中红色卡片编号的最大值设为求随机变量的分布列和数学期望五、由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列13、（2013陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.⑴求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；表示号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和求的分布列和数学期望

【针对训练】.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X=4)的值为()1 2727 21A,220 B,55C,220 D,25.设随机变量X等可能取值1,2,3,…，n,若P(X<4)=0.3,贝lj()A.n=3 B.〃=4C・ri=9 D.n=10.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：4.则q等于()D.1+4.则q等于()D.1+芈左=1,2,3,4,其中c是常数，则P(〈vX<|)的值D.6A.1随机变量X的概率分布规律为P(X=©=品小,K\KI1J为()2A.；34B.TC.7X—101P0.51一2qq?5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为得2分的概率为乩不得分的概率为c(o、Ac£(0,2 11)),已知他投篮一次得分的均值为2,贝恰十表的最小值为().lx3228〃1416A.yB.jC.§D/y.设10W%<xv/<xW104,%=105.随机变量《取值％%%%%的概率均为0.2,随机变量幺取值/2注士、匕普、色」、士智的概率也均为02若记。(G、。(口分别为《的方差，贝lj(差，贝lj().A.。（制）＞。（或）B.。（制）=。（幺）C.D（^）＜D（^）D.。（媒）与。（邑）的大小关系与%、/、%、%的取值有关A. _L _L J.马老师从课本上抄录一个随机变量乙的概率分布列如下表：X123?（户%）?!?请小牛同学计算乙的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案£（冷=..设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4/（X=©=qk+仅左=1,2,3,4）.又X的均值£（X）=3,贝lja+b=..两封信随机投入4、B、。三个空邮箱，则4邮箱的信件数X的数学期望£（%）=.10、某市公租房的房源位于4、B,。三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任4位申请人中：⑴恰有2人申请4片区房源的概率；⑵申请的房源所在片区的个数X的分布列与期望.11、现有长分别为Im、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号）,从中随机抽取〃根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,IV几49）,再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.（）当儿=3时，记事件4=｛抽取的3根钢管中恰有2根长度相等｝,求尸（A）；（）当几=2时，若用白表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），①求己的分布列；②令九+1,求实数九的取值范围.c 212、某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为w। 2和夕，且各株大树是否成活互不影响.已知两种大树各成活1株的概率为()求夕的值；()求甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率；()用x,y分别表示甲、乙两种大树成活的株数，记己=ix-W,求随机变量占的分布列与数学期望石己【针对训练】(续)1、在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回的随机抽取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为％,第二次抽取卡片的标号为y.设。为坐标原点，点夕的坐标为(％—2,%—丁),记己二10P|2.(I)求随机变量占的最大值，并求事件化取得最大值”的概率；(II)求随机变量占的分布列和数学期望.2、生产A,B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标[70,76)[70,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件A81240328元件B71840296(1)试分别估计元件A,元件B为正品的概率；(2)生产一件元件A,若是正品可盈利80元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B,若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在(I)的前提下。(i)求生产5件元件B所获得的利润不少于280元的概率；(ii)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望。3、某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数占依次为1‘ 1 1汽qq d1］匕厂 4 125312 63 1,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数占25的为一等品， 个.，,日6121225345V乙＜5的为二等品，己＜3的为三等品.若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如右：(I)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；'此＜3(II)已知该厂生产一件产品的利润y(单位:元)与产品的等级系数C的关系式为y=2,3V己＜5,4E25若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z,求Z的分布列和数学期望.4、从参加某次高三数学摸底考试的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成0.03S……r…0.03S……r…(1)补全这个频率分布直方图，并估计本次考试的平均分；(2)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在［40,70)记。分，在［70,100］记1分，用X表示抽取结束后的总记分,求x的分布列和数学期望。5、在某社区举办的《2013年迎新春知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关过

年知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是!■,甲、丙二人都回答错的概率是士，乙、丙二人4 121都回答对的概率是7.4(1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；(2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为X,求X的分布列和数学期望.6、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的按一小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该自行车租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙两人两小时内还车的概11 11率分别为了、三，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为大、两人租车时间都不会超过42 24四小时.(I)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率。(H)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量J求白的分布列和数学期望石白.甲乙45778916g8427599134568102■7、某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格.(I)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；(H)从甲班10人中取两人，乙班10人中取一人