人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.(2)AD.AE=10；(3)证明见解析.【分析】(1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已(2)连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的13(3)连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得CDAAFBCF，交⊙O于G，1∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=BC=1，2BF1==10sB(2)连接DG，E∴AD•AE=AF•AG，∵AF=AB2BF2=3，13∴AD•AE=AF•AG=AF•(AF+FG)=3×=10；3(3)连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，ADBACBABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.(1)如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；(2)如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明(3)若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】(1)OF=OE；(2)OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；(3)OP的长为62或223.3【解析】【分析】(1)如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；(2)如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中，延长EO交CF于K，OAOCAOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，1∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；2(2)如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，BEBAEABECBFBAECBFABBCABE△BCF，∴BE=CF，AE=BF，AOECOKAECK，OE=OK，∴FK=EF，3在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，31∴EK=2FK=4，OF=EK=2，2∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，1在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=3，OH=2﹣2∴∠BOP=90°，323∴OP=OE=，3323综上所述：OP的长为62或【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.A位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．：：【答案】【答案】【解析】，考点：解直角三角形的应用-方向角问题．DEm,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)【解析】∴∴CF=tan又∵CB=4，n=解得=2．5，PH.(1)若点P在线CD上，如图1，(2)若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)【答案】(1)①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析(2)或【解析】试题分析：(1)①如图(1)；②(1)法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，DHAPHRt(2)轴对称作法同(1)作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∴．∠HPC＝∠HCPHAHPHAPHADH5°，∴△APH等腰Rt△．(2)法一：轴对称作法∴∠DAH＝17°∴∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.∴∴．考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆(1)求tan∠DBC的值；(2)点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】(1)tan∠DBC=；【解析】试题分析：(1)连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、tantan∠DBC=(2)过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用(1)中(1)令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0，∴D(3，4)．∵C(0，4)，CDAB∴∠BCD=∠ABC=45°．∴BC=4∴∴CE=ED=∴∴tan∠DBC=(2)过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，tanPBF=．设设P(x，﹣x2+3x+4)，则=，(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，AP=BP，求PD的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】．2(1)根据AB⊥CD，AB是⊙O的直径，得到AD=AC，∠ACD＝∠B，由∠FPC＝∠B，得(2)连接OP，由AP=BP，得到OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，根据AB是⊙O的直径，得ACCEBE1OGOPAECE2GEED【详解】(1)证明：连接AD，∴AD=AC，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；1522∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，CACCEBE1AECE2∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，OPGPDCOGP＝∠DGE，OP∴==GEED22536562GD＝DE2+GE2=3∴PD＝∴PD＝PG+GD＝【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得(1)求证：四边形ACED是矩形；(2)若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据▱ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；(2)依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出【详解】(1)证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC，∵AC⊥CE，(2)解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F，BEBCDEAC4，1143613∴AF＝=，21313∴Rt△ABF中，AF613613==AB51211236550F6613OB3653∴sin∠ABD＝．5【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD．5写出x的取值范围；所得的公共弦的长.【答案】(1)；(2)y=【答案】(1)；(2)y=【解析】【分析】 (1)设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=，则4HPR4=sinC=，sinC==，即可求解；=2 (2)PD∥BE，则EB＝BF，即：45xx28x+80y，即可求解；PDPF=xy(3)证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，HPR4sinC===，解得：R=；3 (2)在△ABC中，AC=BC=10，cosC=，52525DA=x，则BD=45-x，552sin=tanβ=2，则cosβsin=52512EB=BDcosβ=(45-x)×=4-x，555EBBFPDPF2xx28x+80y，=xy整理得：y=5xx28x+80(0<x<10)；(3)以EP为直径作圆Q如下图所示，∴DG⊥EP，∴∠GDA=90°，∴AG=EP=BD，ABDB+AD=AG+AD=45，2r2rAD=2rcosβ=52r+2r=45，解得：2r=2r5+14r则：DG==10-25，5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中(3)，要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．【答案】(1)证明见解析；(2)1；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得(2)根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得(3)根据题意可证得∠ADF=