二次函数图像的平移

二次函数图像的平移初中数学资源网第1页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：越小,开口越大.越大,开口越小.

忆一忆第2页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网xyoy=2x2-4-3-2-112341234567891、画出函数y=2x2的图象做一做XY﹣1.54.5﹣12﹣0.50.5000.50.5121.54.5函数y=2x2的图象是什么形状?它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?第3页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网yoy=2x2-4-3-2-11234123456789x-2y=2x2+19-1.55.5-13-0.51.5010.51.5131.525.59xy=2x2+1函数y=2x2+1的图象是什么形状?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?2、画出函数y=2x2+1的图象第4页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2x2+1y=2x2

y=2x2+1与y=2x2的图象有什么关系?第5页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-110.25.0.5.0.75.1.y-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2想一想你知道函数y=3x2-1的大致图象和位置吗?

第6页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网0.25.0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-11-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2-1二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2的图象向下平移一个单位得到y=3x2这两函数的图像有什么关系？第7页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象当c>0时向上平移c个单位得到.当c<0时向下平移-c个单位得到.函数y=ax2+c

y=ax2开口方向a>0时,向上a<0时,向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,0）（0,c）a>0时,向上a<0时,向下上加下减第8页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网1、完成下表x-3-2-101234

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27123031227函数y=3(x-1)²的图像是什么?它与y=3x²的图像有什么关系？比较y=3x²和y=3(x-1)²的值,它们之间有什么关系?y=3(x-1)²的值比y=3x²的值落后想一想第9页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网在下列平面直角坐标系中，做出y=（3x-1）²的图像x-2-10123y=3x²1230312y=3(x-1)²1230312第10页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网2、观察图象,回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?把y=3x²的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)²的图像一起探索第11页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.顶点坐标是点(1,0).(2)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么共同点？其对称轴和顶点坐标分别是什么?合作交流第12页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网合作交流猜一猜,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?第13页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网列表看一看x-4-3-2-1012342712303122727123031227

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我能行y=3(x-1)²的值比y=3x²的值落后，y=3(x+1)²的值比y=3x²的值提前。第14页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网画图看一看把y=3x²的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)²的图像把y=3x²的图像沿轴向左平移1个单位就得到y=3(x+1)²的图像函数图像开口方向顶点坐标对称轴y随x变化规律y=3x²抛物线向上（0，0）直线x=1以直线x=0为界线y=3(x-1)2抛物线向上（1，0）直线x=1以直线x=1为界线y=3(x+1)2抛物线向上（-1，0）直线x=-1以直线x=-1为界线第15页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网猜一猜,函数y=-3(x-1)²,y=-3(x+1)2和y=-3x²的图象的位置和形状.函数图像开口方向顶点坐标对称轴y随x变化规律y=-3x²抛物线向下（0，0）直线x=1以直线x=0为界线y=-3(x-1)2抛物线向下（1，0）直线x=1以直线x=1为界线y=-3(x+1)2抛物线向下（-1，0）直线x=-1以直线x=-1为界线理由是：它们分别和y=3x²,y=3(x-1)²,y=3(x+1)²互为相反数第16页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网二次函数y=a(x-h)2的性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向y随x变化规律最值y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2(a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

越小,开口越大.越大,开口越小.开口大小归纳与总结第17页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是抛物线y=ax2先沿着x轴向右平移后得到的当h<0时向左平移∣h∣个单位得到.当h>0时向右平移∣h∣个单位得到.左加右减第18页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网在同一坐标系中作出函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象,它们之间有何关系.？

做一做1、完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?x-4-3-2-10123427123031227

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29145251429第19页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.

顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x²,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当X=1时有最小值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1上平移2个单位后得到的第20页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.顶点是(1,-2).二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当x=1时y有最小值:且最小值=-2.想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．X=1二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的第21页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).yX=1二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.第22页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网合理推测函数y=3(x-1)²+1的图像有什么特点？函数y=-3(x+1)²+1的图像呢？图像是抛物线顶点是（1.1）对称轴直线x=1开口方向向上理由是y=3(x-1)²+1的图像可以看成是y=3(x-1)²平移得到的第23页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网1.2.二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.(2)对称轴不同:分别是直线x=-h和y轴.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以由y=ax²的图象平移得到。(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).(3)最值不同:分别是k和0.x轴|h|对称轴先沿

整体向左(右)平移

个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿

整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.知识小结相同点:不同点:第24页，共29页，2023年，2月20日，星期日初中数学资源网1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平___移

个单位.2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图象的函数解析式为_______.3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（-m,n）_____（在，不在）y=ax2