新高中数学人教A选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时用向量方法解决垂直问题课时过关·能力提升基础巩固1已知a=（sinθ，cosθ，2），b=cosθ,sinθ,22,且a⊥b，A。—π4 B.C.2kπ—π2（k∈Z) D。kπ—π4（k∈解析：∵a⊥b,∴a·b=sinθcosθ+cosθsinθ+1=0，即sin2θ+1=0,∴θ=kπ—π4（k∈Z）答案：D2已知平面α的一个法向量为n=（2，—1，0）,则下列向量中与α垂直的是()A.（-1，1,1） B。1C.3,-32,0解析:与平面α垂直的向量与α的法向量平行，只有C项符合.答案:C3下列说法不正确的是（）A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B。一个平面的所有法向量互相平行C。如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也互相垂直D。如果a，b与平面α共面，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量解析：选项D中,若a，b共线,则n就不是平面α的一个法向量。答案:D4设直线l1，l2的方向向量分别为a=（-2,2,1）,b=（3，—2，m），若l1⊥l2，则m等于（）A。-2 B.2 C.6 D.10答案:D5若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是（)A。n1=（1,2,1)，n2=（-3,1,1）B。n1=(1,1，2),n2=（—2,1，1)C。n1=(1,1,1)，n2=(—1，2,1）D.n1=（1,2，1）,n2=(0，-2,-2)答案：A6已知直线l1的方向向量为a=(2，-2,x)，直线l2的方向向量是b=(2,y，2）,且|a｜=3,l1⊥l2,则y—x的值为（)A。2 B。—4或-1C。4 D.0答案:A7已知A（0,1，0）,B（-1，0，-1),C(2，1,1),点P(x，0，z），若PA⊥AB,PA⊥AC，则点解析：由题意得PA=(-x，1，-z）,AB=（-1，-1，-1),AC=（2,0,1),由PA⊥AB,得PA·AB由PA⊥AC,得PA·AC解得x=-1,z=2答案:（—1,0，2)8如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点。求证：EF⊥BC.证明由题意,以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系。易得B(0，0,0），A(0,—1，3），D(3,-1,0），C(0，2,0）.因为E0,12,所以EF=32所以EF·BC=所以EF⊥BC.所以EF⊥9如图，四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD，M,N分别为PC,AB的中点,求证：MN⊥平面PCD。分析设AP=a，AB=b，AD=c，则｛a,b,c}为基底,利用a,b，c把MN,DC,PD表示出来，证明MN⊥DC,证明设AP=a,AB=b，AD=c，则{a，b,c｝为空间的一个基底,则MN=AN-AM=12AB-12(AP+因为PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD,且AB⊥AD.所以a·b=0,b·c=0,c·a=0.所以MN·DC=-12(a+c）MN·PD=—12（a+c)·=-12（｜c|2—｜a｜2=—12(|AD|2-｜AP|2）=0所以MN⊥DC,MN⊥PD。又DC∩PD=D,所以MN⊥平面PCD。能力提升1四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,则下列等式①PA·AB=0;②PC·BD=0;③PA·CD=0；④PC·A。1 B。2 C.3 D.4答案：C2已知平面α内有一个点A（2，—1，2）,α的一个法向量为n=(3，1，2）,则下列点P中，在平面α内的是（)A.（1,—1，1) B.1C。1,-3,解析：∵A∈α,且A（2,-1，2），n=(3，1,2）为α的法向量,∴PA⊥n。选项B中，PA=1,-4,12,PA·n=3-4+1=答案：B3平面上有四个互异的点A,B，C,D，已知(DB+DC—2DA）·(AB-AC)=0，则△ABC的形状是A。直角三角形 B。等腰三角形C。等腰直角三角形 D。等边三角形解析：(DB+DC-2DA）·(AB-AC)=(DB-DA+DC-DA)·(AB-AC）=（AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2答案:B4已知直线l1的方向向量a=（2，4，x),直线l2的方向向量b=（2,y，2)，若｜a｜=6,且a⊥b，则x+y=（)A.-3或1 B。3或-1 C.-3 D.1解析：∵|a|=22+∴x2=16,∴x=±4。∵a⊥b,∴a·b=4+4y+2x=0,当x=4时，y=-3；当x=—4时，y=1。∴x+y=1或x+y=—3。答案:A5已知空间向量a,b是非零向量,且满足（a—2b)⊥a,（b—2a）⊥b，则a与b的夹角是.

解析:由（a—2b）⊥a，得|a|2=2a·b，由（b—2a)⊥b,得｜b｜2=2a·b,故｜a|2=｜b|2=2a·b.设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b答案:π6已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2，—1,-4)，AD=(4,2,0),AP=(—1,2，—1)。对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面ABCD的法向量;④AP∥BD其中正确的是.(填序号)

解析:AP·AB=(-1，2,-1）·（2，-1，=-1×2+2×(—1)+(-1)×（-4)=0,∴AP⊥AB,即①正确。AP·AD=(—1，2,—1)=-1×4+2×2+（-1）×0=0。∴AP⊥AD，即②正确.又AB∩AD=A，∴AP⊥平面ABCD,即AP是平面ABCD的一个法向量，③正确。④不正确。答案:①②③7在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2,0）和点Q（cosx,—1,3），其中x∈[0,π]，若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为。

解析：∵直线OP与直线OQ垂直,∴OP·OQ=cosx（2cosx+1)-2cos2x—2+3=2cos2x+cosx-2(2cos2x-1）—2=-2cos2x+cosx=0,即cosx=0或cosx=12又x∈［0，π］，∴x=π2答案:π8如图，在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，AB=2，E是PB的中点,cos<DP,AE〉=3(1）建立适当的空间直角坐标系，写出点E的坐标；（2）在底面ABCD内求一点F,使EF⊥平面PCB。解:(1）以D为原点,DA,DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。由已知ABCD是边长为2的正方形,设DP=t(t>0),则P（0,0,t)，A(2，0，0)，B(2，2，0），C（0,2,0）,则E1,DP=(0，0，t），AE=故cos〈DP,AE=12由已知，得t8+t2=33,解得（2）设F(m，n,0），则EF=（m—1,n-1,—1)。又BC=（-2,0，0）,PC=（0，2，-2),则-2(m-1)故F(1,0，0).★9在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，三条侧棱两两垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC,PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2。求证：(1)平面GEF⊥平面PBC；（2)EG⊥BC，PG⊥EG.证明（1）方法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=PB=PC=3，则A（3,0，0），B（0，3，0)，C(0,0,3),E（0，2,1）,F（0,1，0),G（1，1，0）,P(0,0,0）,于是PA=(3,0，0）,FG=（1，0，0）,则PA=3FG，∴PA∥FG.由题意知PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC。方法二:同方法一,建立空间直角坐标系,则E（0，2，1)，F（0，1,0)，G(1,1，0)，∴EF=(0,—1，-1),EG=（1，-1,—1)。设平面EFG的法向量是n=(x,y,z）,则有n⊥EF,n⊥EG,∴y令y=1，得z=—1,x=0，即n=(0,1，—1).显然PA=（3，0,0）是平面PBC的一个法向量.这样n·PA=0，∴n⊥PA,即平面PBC的法向量与平面