新高中数学北师大1习题：第三章指数函数和对数函数 3.5.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5。2对数函数y=log2x的图像和性质课时过关·能力提升1已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图像是（)解析：函数y=log2x的反函数为y=2x,故f（x）=2x,于是f（1—x)=21—x=12x-1,此函数在R上为减函数,其图像过点（0，2）,答案：C2设f(x)是奇函数，当x>0时,f(x）=log2x，则当x〈0时,f(x)等于(）A.-log2x B。log2(-x）C.logx2 D。—log2（-x)解析：因为x<0，所以-x〉0.所以f(-x）=log2（—x）.又因为f(x）是奇函数,所以f(—x)=—f（x)。所以f（x)=—log2(—x）。故选D.答案:D3下列函数中,在区间（0,+∞)上是减少的函数的是(）A。y=—x2+2x B。y=x3C。y=2—x+1 D.y=log2x解析：A选项中y=—x2+2x在（0,1）上是增加的,在(1,+∞）上是减少的；B选项中y=x3在(0,+∞)上是增加的；C选项中y=2-x+1在(0，+∞)上是减少的;D选项中y=log2x在(0，+∞）上是增加的.故选C.答案：C4已知集合M=｛x｜x<3},N={x|log2x〉1｝，则M∩N=()A.⌀ B。｛x|0<x〈3｝C。｛x｜1〈x〈3｝ D.{x｜2<x<3}解析：由log2x〉1，得x〉2，故N={x|x〉2}.则M∩N=｛x｜2<x<3}。故选D。答案:D5如果—log2x<-log2y〈0，则（)A。y〈x<1 B.x〈y〈1C。1〈x<y D。1〈y<x解析：∵—log2x〈-log2y〈0,∴log2x>log2y>0.又y=log2x在定义域(0，+∞）上是增函数，且log21=0，可得x>y〉1.故选D.答案:D6已知函数f（x)=|log2x｜，正实数m,n满足f（m)=f(n）,若f（x）在区间［m2,n］上的最大值为2，则m,n的值分别为（）A。12，2 B.C.14，2 D.1解析:f(x）=｜log2x|的图像如图.由f(m）=f（n)可知,m,n位于1的两侧,又f(x）在区间[m2,n]上的最大值为2，所以|log2m2｜=2。所以log2m2=-2.所以m2=14，故m=1又f12=｜log212所以f（n)=log2n=1。所以n=2.所以m=12,n=2答案:A7函数f（x）=log2x在区间[a,2a］（a>0)上的最大值与最小值之差为.

解析：∵f（x)=log2x在区间[a,2a］上是增加的,∴f(x）max—f（x)min=f（2a)-f（a）=log22a-log2a=1。答案:18已知y=log2（ax+1）（a≠0）的定义域为(-∞,1）,则a的值是。

解析:∵f(x)的定义域为(-∞，1)，∴ax+1〉0的解集为（-∞,1).当a=0时，ax+1〉0恒成立.当a〉0时,ax+1〉0可变形为x〉-1a，不合题意当a〈0时,ax+1>0可变形为x<-1a由题意可知，-1a=解得a=-1.答案:a=—19已知log2m〈log2n<0，求m,n的关系.解:∵log2m〈log2n<0,∴m，n∈(0,1).又y=log2x在(0,+∞)上是增函数，∴m<n.∴m，n的关系是0〈m〈n<1。10已知函数f(x）=log2x，若f（ab)=1，求f（a2)+f（b2)的值.解:∵函数f(x）=log2x，f(ab）=log2(ab）=1,∴ab=2.∴f(a2）+f（b2)=log2a2+log2b2=2log2｜a|+2log2｜b｜=2（log2|a｜+log2|b｜）=2log2｜ab｜=2log22=2.11(拔高题）设方程2x+x—3=0的根是a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.解:将方程整理得2x=3—x，log2x=3-x.由图可知，a是指数函数y=2x与直线y=3-x的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x与直线y=3—x交点B的横坐标,由于函数y=log2x与y=2x互为反函数，它们的图像关于y=x对称,因此，A,B两点也关于直线y=x对称。于是点A为(a,b），点B为（b,a).由于点A,点B都在直线y=—x+3上，故有b=—a+3或a=-b