新高中数学人教A选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.3.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.3。2函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.设x0为可导函数f（x)的极值点，则下列说法正确的是（）A.必有f'(x0）=0B。f（x0)为极大值C.f（x0)为极小值D.f'（x0）可能不为0答案：A2。已知可导函数f（x）,x∈R有唯一极值,且当x=1时，f(x）存在极小值，则(）A。当x∈(—∞,1)时，f'（x）〉0；当x∈（1,+∞)时，f’(x)〈0B.当x∈（—∞，1)时，f'（x）>0;当x∈（1,+∞）时，f’（x）〉0C。当x∈(—∞，1)时，f’（x）〈0;当x∈(1，+∞）时,f'（x）〉0D。当x∈(-∞,1)时，f’(x)〈0；当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0解析:f（x)在x=1时存在极小值,则当x〈1时,f'(x)〈0;当x>1时，f'(x)>0.答案:C3。下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是（）①y=x3;②y=x2+1;③y=x2-1；④y=2x。A.①② B。②③ C。③④ D。①③解析:①④为单调函数，不存在极值。答案：B4.函数y=f（x）的定义域为（a，b），y=f'（x)的图象如图,则函数y=f(x)在开区间（a，b）内取得极小值的点有（）A。1个 B。2个C.3个 D.4个解析:当满足f'（x）=0的点，左侧f’（x）<0,右侧f'(x)〉0时,该点为极小值点.观察题图，只有一个极小值点.答案：A5.已知f（x）=x3+ax2+（a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A。—1<a〈2 B.-3〈a〈6C。a〈—1或a>2 D.a〈—3或a>6解析：f’（x)=3x2+2ax+（a+6)，因为f(x)既有极大值又有极小值,所以Δ=（2a）2—4×3×(a+6）〉0，解得a>6或a<-3。答案：D6。已知f(x)=x3—px2-qx的图象与x轴切于(1，0)，则f(x)的极值情况是()A。极大值为fB.极大值为f（1）,极小值为fC。极大值为fD.极小值为f（1）,没有极大值答案:A7.函数y=2x3—6x2—18x+7的极大值为,极小值为。

解析：f'(x)=6(x+1)(x-3),由f'(x）=0，得x=—1或x=3.进而求得f(—1)是极大值,f(3)是极小值.答案:17—478。函数f(x）=a+lnxx(a解析:f'(x)=令f’(x)=0，得x=e1—a。当x〈e1-a时,f’（x）〉0;当x>e1-a时，f’(x）〈0,所以函数的极大值为f（e1-a）=答案：ea-19.已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3,则a=,b=。

解析:y’=3ax2+2bx，由题意，得当x=1时，y'｜x=1=3a+2b=0,y｜x=1=a+b=3，即3a+2b=0答案:—6910.已知函数f（x）=x3—3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,求c的值。解:f’（x)=3x2—3，由f’（x)>0,得3x2—3〉0，解得x〈—1或x>1;由f’(x)〈0，得3x2—3<0,解得—1<x〈1。∴f(x）在(-∞，—1）内单调递增，在（-1，1）内单调递减,在(1,+∞）内单调递增.∴当x=-1时，f（x）取极大值c+2;当x=1时,f(x)取极小值c-2.结合图象，要使函数f(x)的图象与x轴恰有两个公共点，则c+2=0或c—2=0，即c=-2或2。能力提升1。设函数f(x）在R上可导,其导函数为f’(x），且函数f(x）在x=-2处取得极小值,则函数y=xf’(x)的图象可能是（）解析:由题意知，当x〈—2时，f'(x）<0，∴xf’(x)>0;当—2<x〈0时，f’（x)〉0，∴xf'（x)<0。又当x=-2时，xf’(x)=0,x=0时,xf'（x)=0,故选C。答案：C2。已知函数f(x）=x2—2（—1）klnx(k∈N*)存在极值,则k的取值集合是（)A.{2,4,6,8,…} B。｛0,2,4，6，8，…｝C.｛1，3,5，7,…} D.N*解析：f’（x)=2x-若k为奇数，则f'（x)=f（x)在定义域内是增函数,无极值.若k为偶数，则f'（x）=2(x2-1)x.f(x)在（0,1）答案：A3.若函数y=x3—3ax+a在(1，2）内有极小值,则实数a的取值范围是()A。1<a〈2 B。1<a<4C.2<a〈4 D。a〉4或a〈1解析:y’=3x2-3a，当a≤0时,y'≥0,函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去；当a〉0时，y'=3x2-3a=0⇒x=±a,不难分析,当1<a<2,即1<a〈4时，函数y=x3答案：B4。函数y=x3—6x+a的极大值为,极小值为.

解析:y'=3x2—6，令y'=0，得x=±当x<-2或x>2当-2<x<2故函数在x=-2时取得极大值a+42,答案:a+45.若函数f(x）=alnx+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2，则a=，b=。

解析：f’(x）=∵函数的极值点为x1=1，x2=2,∴x1=1,x2=2是方程f’(x）=2bx2+3x+ax=0∴由根与系数的关系知答案:—2-★6。若函数f（x)=x3+x2—ax-4在区间(—1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为。

解析：f'（x)=3x2+2x—a。∵f（x）在（-1,1）内恰有一个极值点，∴f'（x)在(—1，1)内有一个变号零点，∴f’(-1)f’（1）≤0,即（a—5)（a-1）≤0，∴1≤a≤5.当a=5时，由3x2+2x-5=0,得x=1或x=-53,不合题意。当a=1时,由3x2+2x—1=0，得x=—1或x=13答案:[1,5)7.已知函数f(x）=(1)求f（x）的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2）若解:(1）由题意知x≠—r,所求的定义域为（-∞,—r)∪（—r,+∞)。f（x）=f'(x）=a(所以当x〈—r或x〉r时,f'(x)〈0。当—r〈x<r时,f'（x）>0.因此,f（x）的单调递减区间为(-∞，—r),(r，+∞）;f(x)的单调递增区间为(-r，r）。(2）由（1）的解答可知f’(r）=0,f(x）在(0，r)内单调递增,在（r,+∞）内单调递减.因此，x=r是f（x）的极大值点。所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)=★8。当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根?解：令f(x）=x3—3x2,则f（x）的定义域为R。由f'(x）=3x2—6x=0,得x=0或x=2，所以当x<0或x〉2时,f'(x）〉0;当0〈x<2时，f'(x)<0。函数f（x）在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4.如图,故当a>0或a〈—4时，