2021年北京第一九五中学高一数学理测试题含解析

2021年北京第一九五中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知底面是边长为1的正方形，侧棱长为且侧棱与底面垂直的四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由CC1∥BB1，得∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成的角的大小．【解答】解：∵CC1∥BB1，∴∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，∵AB=BC=，AA1=，∴B1D1==，∵BB1⊥B1D1，∴tan∠D1BB1===1，∴∠D1BB1=45°．∴异面直线BD1与CC1所成的角为45°．故选：B．3.函数的值域是（

）.A．

B．

C．

D．

参考答案：C

当是第一象限角时，；当是第二象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，4.定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解；【解答】解：因为f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=﹣1所以f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）即f（1）=0则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=loga（|x|+1），如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有loga（2+1）＞f（2）=﹣2，∴可得loga3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜又a＞0，∴0＜a＜，故选A；5.如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集为(

)A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）为奇函数，可得不等式即，即x和f（x）异号，故有，或；再结合函数f（x）的单调性示意图可得x的范围．【解答】解：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即，即x和f（x）异号，故有

，或．再由f（2）=0，可得f（﹣2）=0，由函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，结合函数f（x）的单调性示意图可得，﹣2＜x＜0，或0＜x＜2，故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．6.如果函数在区间上是减少的，那么实数的取值范围是（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：C略7.已知定义在R上的奇函数f（x）的周期为4，其图象关于直线x=1对称，且当x∈（2，3]时，f（x）=﹣（x﹣2）（x﹣4），则f（sin），f（sin1），f（cos2）的大小关系为（）A．f（cos2）＞f（sin1）＞f（sin） B．f（cos2）＞f（sin）＞f（sin1） C．f（sin）＞f（cos2）＞f（sin1） D．f（sin1）＞f（sin）＞f（cos2） 参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数的对称性和函数的周期性，画出函数的图象，从而得到函数的单调性，进而求出函数值的大小． 【解答】解：由题意得函数f（x）的图象关于直线x=1对称， 另外函数f（x）的周期为4，又当x∈（2，3]时， f（x）=﹣（x﹣2）（x﹣4）， ∴可以画出函数f（x）的图象，如图示： ， 可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减， 又﹣1＜cos2＜0＜sin＜sin1＜1， ∴f（cos2）＞f（sin）＞f（sin1）， 故选：B． 【点评】本题考查了函数的周期性、奇偶性，考查数形结合思想，是一道基础题． 8.若则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.

参考答案：A略10.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（

）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，

A

⑴、⑵

B

⑵、⑶

C

⑷

D

⑶、⑸参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域

.参考答案：12.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为

_

参考答案：略13.已知在各项为正的数列{an}中，a1=1，a2=2，，则=

．参考答案：﹣3【考点】8H：数列递推式．【分析】，可得anan+1=2n．可得=2．数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵，∴anan+1=2n．∴=，可得=2．∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2．则=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）﹣21010=+﹣21010=﹣3．故答案为：﹣3．14.函数的值域为___

▲

．参考答案：15.（5分）若log32=a，log35=b，则3a+b=

．参考答案：10考点： 指数式与对数式的互化．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据指数恒等式进行化简即可．解答： 3a+b=3a×3b==2×5=10，或者由log32=a，log35=b得3a=2，3b=5，则3a×3b=2×5=10，故答案为：10．点评： 本题主要考查指数幂的运算和求值，根据指数幂和对数之间的关系是解决本题的关键．比较基础．16.的定义域为

．参考答案：{x|x≥﹣2且x≠1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组可得原函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≥﹣2且x≠1．所以原函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠1}．故答案为{x|x≥﹣2且x≠1}．17.（5分）如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是

．参考答案：20+3π考点： 由三视图求面积、体积．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积．解答： 解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+=20+3π．故答案为：20+3π．点评： 本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）把函数写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（3）利用图象回答：当实数为何值时，方程有一解？有两解？有三解？.

参考答案：解：（1）由得，由得

∴；……6分（2）……………10分（3）由（1）得∴.当，，当，

…………略19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记，求{bn}的前n项和Tn.参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，解得故.

（Ⅱ）当时，，当时，，所以，。

20.已知；

若是的必要非充分条件，求实数的取值范围。参考答案：解析：是的必要非充分条件，，即。21.函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）若f（1）＜0，试分析判断y=f（x）的单调性（不需证明），并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用奇函数的性质，f（0）=0，求解k即可．（2）判断函数的单调性，利用函数的单调性，转化不等式利用函数恒成立，通过判别式求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．（2）f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴，又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，∵y=ax单减，y=a﹣x单增，故f（x）在R上单减，故不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．22.已知二次函数.（1）若，试判断函数零点个数；(2)若对且，，、证明方程

必有一个实数根属于。(3)是否存在，使同时满足以下条件①当时，函数有最小值0；②对任意,都有若存在，求出的值，若不