变截面梁剪应力计算

第2章箱形梁计算理论2.1引言现行规范对梁的抗弯和抗剪设计的理论仍然采用经典的梁理论，预应力混凝土变截面连续刚构的也不外乎。设计计算通常采用平面分析程序。对于梁的内力计算有基于唯象理论材料力学方法，和基于线性偏微分方程组的边值问题求解的弹性力学方法以及有限元法ME］。从唯象理论建立的材料力学方法遵循以下假设：a.连续性假设；b.均匀性假设；。.各向同性假设；d.小变形假设；e.平截面假定。通过微分方程求解的弹性力学方法与其不同之处在于不必遵守平截面假定，因为它是通过建立微元体外力和内力平衡的平衡方程以及小变形的几何方程和应变协调方程来求解的。对于简单的典型的梁（比如高跨比不大的梁、截面规则的梁），材料力学虽然引入了平截面假定，但可以获得误差不大的解；而弹性力学可以获得精确解，但其前提是边界条件不复杂。对于深梁，材料力学的方法误差较大，弹性力学求解结果表明截面变形不遵循平截面假定，竖向正应力也不为零，存在挤压应力。下图2-1是简支深梁在均布荷载作用下的应力分布图［18］。但是弹性力学方法对于我们的变截面箱形梁的求解就力不从心了。图2-1均布荷载作用下矩形简支梁弹性解Fig.2-1Elasticsolutionofrectangularsimplebeamundertheofactionofuniformload预应力混凝土变截面连续刚构，从梁体混凝土受力来看，它不完全属于梁，而属于梁柱；从形态上来看，它截面复杂，用经典的弹性力学方法难以求解，用材料力学方法势必带来误差；从材料来看，它不完全属于弹性体。因此，用平面程序进行设计势必带来很大误差。通过考虑材料非线性和破坏准则的有限元实体分析法可以较为正确地反映预应力混凝土变截面连续刚构的力学行为。需要指出的是本文重点在于分析预应力混凝土箱梁弯曲正应力、剪应力，以及弯曲变形与

剪切变形之间的关系，对于箱梁在偏载作用下产生的扭转翘曲应力不做考虑。2.2箱梁截面的弯曲正应力计算平面分析程序通常采用有效计算宽度法将箱形截面转化为等效的工字形截面进行弯曲正应力计算［19］。其中有效宽度的折减系数的选取是根据不同跨径的剪力滞效应分析得到的保守的经验系数。弯曲正应力的推导采用等效后的截面按照材料力学的方法进行计算，具体如下：(2-1)薄壁结构弯曲(2-2)N,M-yb=—+Ab-1x2.3变截面箱梁的正截面剪应力计算2.3.1箱形截面弯曲剪应力计算理论(2-1)薄壁结构弯曲(2-2)箱形截面计算在理论上属于薄壁结构的计算，根据文献［2。］，剪应力T计算如下：q=T(s)-1=-£-S+Q-S)+(T(s)-1)IXIyA其中：t(s)一路径上S点截面剪应力；t一薄壁结构壁厚；Q「Qy一薄壁结构承受的剪力；Ix、Iy一路径上S点对x轴、y轴的惯性矩；Sx、Sy一路径上起点A到S点的面积对x轴、y轴的面积矩；(T(s)・8)一路径上起点A处剪力流。A对于箱形截面而言属于内部超静定问题，剪力流为零的点难以确定，需通过补充的变形协调条件才能求解。如图2-2a)所示箱梁，在截面的任一点A切开。假设一未知剪力流qA，对已切开的截面可利用式(2-2)计算箱梁截面上各点的剪力流q。。由剪力流q。与qA的作用，在截面切开处的相对剪切变形为零，即：

山ydS=0（2-3）S此处dS是沿截面周边量取的微分长度，符号小S表示沿周边积分一圈，剪应变为：而剪力流q1g（2-4）图2-2单箱室截面弯曲剪应力分析Fig.2-3Bendingshearstressanalysisof而剪力流q1g（2-4）图2-2单箱室截面弯曲剪应力分析Fig.2-3Bendingshearstressanalysisofsingle-boxsection(2-5)将式（2-4）与（2-5）代入式（2-3），则得:jq0+qadS=0St（2-6）Q*0，代入上式得:x]Q^dS+巾qdS=0stIsAtxqAQ币qdS-T山s"x由史St（2-7）是，箱梁的弯曲剪应力为:t=，=l（q+q）（2-8）mttoA从上面的计算推导我们可以看出，剪应力的计算不能考虑翼缘板的作用，如果将箱形截面等效为工字形截面而忽略超静定剪力部分，则可以确定剪力流为零的点（顶面线或者底面线）而进行全截面简化计算。二者都有一定误差，但是后者对于变截面箱梁的正截面剪应力计算比较方便。2.3.2变截面弯曲剪应力计算理论关于变截面梁剪应力计算，一些科研工作者对其进行了研究［21〜23］在各自的假设下得到了剪应力计算公式，经过认真研究推导，发现文献［22］的推导比较全面而且合理。2.3.2.1计算假定在结构中取长度为dx的梁段，如图2-3所示。各项假定如下:a）坐标轴方向及各符号的正方向均如图2-3所示，其中轴力N以压为正，剪力Q以顺时针方向为正，弯矩M以使截面下缘受拉为正；b）轴力N在dx段不变；c）顶板厚度不变；d）把上、下梗掖简化计入顶、底板中；e）正应力计算符合平截面假定，正应力方向平行于X轴。图2-3变截面梁剪应力计算示意图Fig.2-4Schematicplanofnon-uniformbeamshearstresscalculation

2.3.2.2剪应力计算公式基本推导自梁体中取两相邻截面mn和m^,并用平行于X轴的平面ab切出mm1ba为隔离体进行计算，另:(2-9)D=j。(N+〃).b(j)(2-9)其中：b（j）-y处梁体横向合计宽度;N、M—作用在计算截面上的轴力和弯矩;A、I一全截面面积及截面惯性矩;A「S1—计算截面内自计算部位至上边缘间面积及其对重心轴的面积矩(2-10(2-10)b.dx-t=dD11dD

t1bdx式中：b—计算截面ab处2倍腹板厚度将（2-9）代入（2-10）中得:1(NdAAdN_NAdAMIdSSdMMSdIbA1(NdAAdN_NAdAMIdSSdMMSdIbAdxAdxA2dx1+1dxIdx12dx)(2-11)根据假定N在dx范围内无变化，即华=0；dx以dx微段为研究对象对截面重心01点取矩得:dM=Qdx+Ndx-tgadM八=Q+Ntgadx(2-12)将（2-12）代入（2-11）中得:1rNdANAdAMdS心\ST1=b'A•lx一*•d+丁无+°+Ntg以)112dxMSdi—JN(1dAAdAS)1+—tga+——

b"AdxA2dxIJbM(1dST1=穿+NC1+MR<C1(1dAAdASV7=〔A•K-A2.云+了tga'/"(2-13)c=(1.虬-Si•纠/b2[Idx12dx)dAdAdSdi,2.3.2.3参数tga,一i,,一i,的计算dxdxdxdx图2-4变截面梁剪应力计算示意图Fig.图2-4变截面梁剪应力计算示意图Fig.2-5Schematicplanofnon-uniformbeamshearstresscalculation1.tga的计算tga=~r~，其中G截面重心dxb(h-d)(d"1TOC\o"1-5"\h\zdG_dGdhdGd8dGdBdGdb=•+——•+•+•dxdhdx88dxdBdxdbdx竺=1(du-G竺]=-(8•B+bd+bh-bd-Gb)dhA\dhdh)A11=A5-B+b(h—G)]=A—下A

dGdd1IdudA—Cj

A\6868=£(Bh-B8-GB)A=—(h-8—G=A5-B+b(h—G)]=A—下AdGdd1IdudA—Cj

A\6868=£(Bh-B8-GB)A=—(h-8—G)=AA—空AdG6B(8)h一"2—G8dGS—底AB)-1(h—d)(d+h—L)—G(h—d))A1I12J11(du^dA—GdbAkdbdbSAb(2-14)如果腹板沿纵向厚度不变，则该项为零，如按图2-4线性变化，则有如下计算方法:=A+(y—d)・b—=(y-d)dbdx1dx=2(y—d/tgY+tgy，A1dA(2-15)3.华的计算

dxA=A^c+8-B+b(h—d1)dA_dAd8dAdBdAdbdAdh=——・+・+・+・dxd8dxdBdxdbdxdhdx(2-16)=BtgP'+8^-+(h—d)迎+btgPdx1dx=BtgP'—28tgy+2(h—d)(tgy+tgy)+btgP4.竺的计算

dx(d\,一、「一=AG—才+b(y-d1)G-Ck271k5.dSdGdSdb+1,-dbdxdS1=1.dxdGdx=I"A+b(y-d)]tg^+(y-d)Cii=Atga+(y-d)i一di一马的计算dxx2(tgy+tgyi)X2(tgy+tgy])fd¥bvc、/=，Ai+AifG-』+3[(G-di)+G3dididGdi=,+dxdGdxdG'di无(2-17)dG'did8didBdidb+——,+•+dxd8dxdBdxdbdx=2AG-Ad+bG2-2bdG+bd2iiiii=2AfG-4]+-(G-d)2ik272i=2S上difbG'2A8、四=bG-2+2B8G-B82=2+AG」A-=2SdGk2227下S上=S下di_didG—诺坐=B82+BG2-2BG-+3B82=B82+BGj2BG8d844=B(82+G2-2G-)=2S空di83f8A2dB=i2+8kG」2Jdidb-d)i+G3didGdG'd6_I_I―^=2S下――+2S下-d~+2S空---2-底tgy+2-腹\tgy+tg邛1)(2-18)-2S^tgP+2SKtg8」2■底tgY+2~腹(tgY+tgY「2.3.2.4实用剪应力计算公式把tga、@、dA、兑、幺用已知量表达式（2-13）后:dxdxdxdx1f1dA_AdAS、bVAdxA2dxI'7C=1f1吃—%当2bVIdx12dx7AASStga=才tgp+贡tgp'—2ABtgy+2-bItgy+tgy1)C=-i<dA-=2(y—«)(tgy+tgy1)dL=BtgP'—26tgy+2(h—d)(tgy+tgy)+btgP理i=Atga+2(y—d)dx11{tgY+J了=2Stgp+2Stgp'—2^底tgy+2-腹(tgy+tgy)idx下空Bb1式中:T一剪应力，顺时针为正;Q、N、M一验算截面的剪力、轴力、弯矩，其正方向如图2-3所示;A、