2021-2022学年江西省九江市爱民中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年江西省九江市爱民中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集则下图中阴影部分表示的集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.在数列{an}中，，又，则数列{bn}的前n项和Sn为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A∵∴∴故选A.

3.若，则下列不等式恒成立的是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C设，则所以所以当时，同理即，故选C【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

4.已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有（

）A．4个

B．3个

C．2个

D．1个 参考答案：B5.二项式展开式中的常数项是（A）360

（B）180

（C）90

（D）45参考答案：B6.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A. B. C. D.参考答案：C如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，由几何概型概率公式得，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．故选C7.已知双曲线C的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A8.函数的导函数为，对任意的都有成立，则

(

)A．

B．

C．

D．与的大小不确定参考答案：B9.若的大小关系（

）A.

B. C. D.与x的取值有关参考答案：D略10.若，则的共轭复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知tanα=2，则sinαcosα=

．参考答案：【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】把所求的式子提取后，先利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用万能公式化为关于tanα的式子，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=2，∴sinαcosα=sin2α=×==．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及万能公式．熟练掌握公式是解题的关键．12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 .参考答案：,或略13.如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为

参考答案：32【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设出C的坐标（x，y），由已知可得x2+y2=36，把用含有x的代数式表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y），∵O为为△ABC的重心，∴O（），，，∵OA⊥OB，∴，化简得：x2+y2=36．∵，∴=x2+y2﹣4=32．故答案为：32．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．14.（09年聊城一模理）在△ABC中，已知，则∠B的对边b等于

.参考答案：答案：15.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.参考答案：716.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：2=1+3；3=1+3+5；4=1+3+5+7；2=3+5；3=7+9+11；4=13+15+17+19．根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________；参考答案：略17.已知二元一次方程组的增广矩阵是，若该方程组无解，则实数的值为___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使.（Ⅰ）求证：平面AOD⊥ABCO；（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………（1分）

取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………（2分）

又DH⊥OA,OA∩BH=H……………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………（4分）

而DH∈平面AOD，…………………（5分）

∴平面AOD⊥平面ABCO.…………（6分）（Ⅱ）解：分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.∴……（7分）设平面ABD的一个法向量为由得即令则，取………………（9分）设为直线BC与平面ABD所成的角，则

………（11分）即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为………（12分）19.（本题满分14分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?

（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象。参考答案：（1）设小时后蓄水池中的水量为吨，则；令＝；则，即；∴当，即时，，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨。（2）依题意，得，解得，，即，；由，所以每天约有8小时供水紧张。20.（本小题12分）已知函数和函数（1）若函数和函数在上均为递增函数，求的取值范围（2）若方程有唯一解求的值.参考答案：21.如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】应用题；数形结合；分析法；解三角形．【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，由余弦定理即可得解．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×=，由正弦定理=，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得：d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C：（1）判断曲线C的形状?并写出曲线C与y轴交点的极坐标.(2)若曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．参考答案：解:（1）把曲线方程化为普通方程得,可知曲线C是以(0,-1)为圆心,半径为1的圆.

……2分它与y轴的交点为（0，0）、（0，－2）化为

……4分极坐标