2021-2022学年高中数学课时练习23方程的根与函数的零点含解析新人教A版必修1

方程的根与函数的零点【基础全面练】(20分钟35分)1．函数f(x)＝x3－x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】选D.f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)·(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．2．函数f(x)＝lgx－eq\f(9,x)的零点所在的大致区间是()A．(6，7)B．(7，8)C．(8，9)D．(9，10)【解析】选D.因为f(6)＝lg6－eq\f(9,6)＝lg6－eq\f(3,2)<0，f(7)＝lg7－eq\f(9,7)<0，f(8)＝lg8－eq\f(9,8)<0，f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝lg10－eq\f(9,10)>0，所以f(9)·f(10)<0.所以f(x)＝lgx－eq\f(9,x)的零点所在的大致区间为(9，10).故选D.3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)·f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0【解析】选C.根据函数零点存在性定理可判断，若f(a)·f(b)＜0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B，D错．若f(a)·f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．4．若函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－m有两个零点，则m的取值范围是________.【解析】在同一直角坐标系内，画出y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.答案：0<m<15．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．x－10123ex1x＋212345【解析】记f(x)＝ex－x－2，则该函数的零点就是方程ex－x－2＝0的实根．由题表可知f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间为(1，2)，所以k＝1.答案：16．(2020·东城高一检测)已知函数y＝f(x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x＞0时f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋2，0<x≤3，,－\f(3,x)，x>3，))(1)试求f(－2)的值．(2)求出f(x)的零点．【解析】(1)由已知得f(－2)＝－f(2)，2∈(0，3]，f(2)＝eq\f(2,3)，所以f(－2)＝－eq\f(2,3).(2)由－eq\f(1,3)x2＋2＝0，且0＜x≤3，解得x＝eq\r(6)，又f(x)为奇函数，可得另一个零点为x＝－eq\r(6)，综上，f(x)的零点为eq\r(6)和－eq\r(6).【综合突破练】(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，给出x，f(x)的对应值表x1234f(x)x567f(x)由表可知函数f(x)存在零点的区间至少有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选D.因为f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，所以存在零点的区间至少有4个．2．函数f(x)＝eq\f(（x－1）ln（x－2）,x－3)的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】选A.因为x>2，x≠3，所以f(x)＝eq\f(（x－1）ln（x－2）,x－3)≠0，即无零点．3．若方程|lgx|－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)＋a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【解析】选B.因为|lgx|－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)＋a＝0有两个不相等的实数根⇔函数y＝|lgx|与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－a的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图：要使两个函数的图象有两个交点，必须有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)－a>0，解得a＜eq\f(1,3).4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是()A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b【解析】选C.因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.又因为f(x)＝(x－a)(x－b)－2，所以f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．5．(2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】选D.结合选项，发现区间端点有－1，0，1，特殊值法，检验f(2)＝1>0，所以解集里有2，排除A，C，f(－1)＝eq\f(1,2)>0，所以解集里有－1，排除B，选D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1,x3，x<1))，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则k的取值范围是________．【解析】作出f(x)的函数图象如图所示：因为f(x)＝k有两个不同解，所以0＜k＜1.答案：(0，1)7．函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________．【解析】因为b－a＝1，a，b∈N*，f(1)＝3＋1－5＝－1＜0，f(2)＝9＋2－5＝6＞0，所以f(1)·f(2)＜0，所以a＝1，b＝2，则a＋b＝3.答案：38．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\f(3,4)，x≥2，,log2x，0<x<2.))若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.【解析】画出函数f(x)的图象如图．要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))三、解答题(每小题10分，共20分)9．若关于x的方程2x2－2|x|－3k－2＝0有两个不等实根，求k的取值范围．【解析】关于x的方程2x2－2|x|－3k－2＝0有两个不等实根，等价于函数y＝2x2－2|x|与函数y＝3k＋2的图象有两个不同的交点．两函数的图象如图所示．由图可知，当3k＋2＝－eq\f(1,2)或3k＋2>0，即k＝－eq\f(5,6)或k>－eq\f(2,3)时，两函数图象有两个不同的交点，对应方程有两个不等实根．10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤1，,log2（x－1），x>1.))(1)在如图的坐标系中，作出函数f(x)的图象并写出单调区间．(2)若f(a)＝2，求实数a的值．(3)当m为何值时，f(x)＋m＝0有三个不同的零点．【解析】(1)函数图象如图，由图可知，函数的减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))；增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，(1，＋∞).(2)由f(a)＝2，得a2－a＝2(a≤1)或log2(a－1)＝2(a＞1).解得a＝－1或a＝5.(3)由图可知要使f(x)＋m＝0有三个不同的零点，则－eq\f(1,4)＜－m≤0，解得0≤m<eq\f(1,4).【应用创新练】1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋a，x<1，,lnx＋1，x≥1.))若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋a，x<1，,lnx＋1，x≥1.))当x≥1时，方程f(x)＝2，可得lnx＋1＝2，解得x＝e，函数有一个零点，当x＜1时，函数只有一个零点，即x2－4x＋a＝2，在x＜1时只有一个解．因为y＝x2－4x＋a－2开口向上，对称轴为：x＝2，x＜1时，函数是减函数，所以f(1)＜2，可得：－3＋a＜2，解得a＜5.答案：(－∞，5)2．已知f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2).(1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由．(2)设g(x)＝f(x)－a，若函数g(x)没有零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)f(x)是奇函数，理由如下：由2x－1≠0，2x≠1，得x≠0，故函数f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x≠0))，因为f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2x＋1,2（2x－1）)，所以f(－x)＝eq\f(2－x＋1,2（2－x－1）)＝eq\f(\f(1,2x)＋1,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1)))＝eq\f(1＋2x,2（1－2x）)＝－eq\f(2x＋1,2（2x－1）)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．(2)函数g(x)＝f(x)－a没有零点，则方程f(x)＝a没有实根，对于f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2)，当x＞0时，2x＞1，则2x－1＞0，则有eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2)>eq\f(1,2)，则在(0，＋∞)上，f(x)＞eq\f(1,2)，又由函数f(x)为奇函数，则当x＜0时，f(x)＜－eq\f(1,2)，故函数f(x)的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))；则当－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)时，f(x)＝a无实根，此时函数g(x)没有零点．【补偿训练】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.(1)求f(0)及f(f(1))的值．(2)求函数f(x)在(－∞，0)上的解析式．(3)若关于x的方程f(x)－m＝0有四个不同的实数解