苏州市2023届高三调研测试(解析版)

苏州市2023届高三调研测试数学Ⅰ试题2023．1参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差，其中．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．设全集U＝｛x|x≥2，x∈N｝，集合A＝｛x|x2≥5，x∈N｝，那么＝▲．【答案】．【命题立意】此题旨在考查集合补集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】∵U＝｛x|x≥2，x∈N｝，A＝｛x|x2≥5，x∈N｝∴．复数，其中i为虚数单位，＝，那么a的值为▲．【答案】－5．【命题立意】此题旨在考查复数的运算，复数模的几何意义．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】，，故．【方法技巧】此题主要考查复数代数形式的根本运算以及复数模的考查，进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1．在复数的除法运算中，共轭复数是一个重要的概念，通过它能将分母中的虚数单位化去，因，所以复数的共轭复数为，这与实数中的互为有理化因数类似，所以在复数的四那么运算中，可类比二次根式的运算，从而更好地掌握共轭复数．双曲线的离心率为▲．【答案】．【命题立意】此题旨在考查双曲线的离心率．考查概念的理解和计算，难度中等.【解析】双曲线，，由得，．假设一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，那么该组样本数据的方差为▲．【答案】2．【命题立意】此题旨在考查统计数据的平均数与方差．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】9+8+x+10+11=10×5，解得x=12，这对应的方差为s2=〔12+22+22+02+12〕=2．向量a=(1，2)，b=(x，-2)，且a⊥(a-b)，那么实数x=▲．【答案】9．【命题立意】此题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积．考查运算和推理能力，难度中等.【解析】，∵∴，即，解得．阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为▲．NN图〕开始z←x+yx←1，y←1z<6y←zY输出eq\f(y,x)结束x←y【答案】．【命题立意】此题旨在考查算法的流程图中的直到型循环结构及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．【解析】由算法的流程图，开始时x=1，y=1，此时z=2,满足z<6；接下来有x=1，y=2，z=3,此时满足z<6；接下来有x=2，y=3，z=5,此时满足z<6；接下来有x=3，y=5，z=8此时满足z>6；结束循环，输出．函数的值域为▲．【答案】．【命题立意】此题旨在考查分段函数，函数的图象与性质，函数的值域．考查数形结合的数学思想，难度较小.【解析】当时，，∵在单调增，∴；当时，，∵在单调减，，综上所述的值域为．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，那么事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为▲【答案】．【命题立意】此题旨在考查古典概型及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．【解析】设连续2次抛掷一枚骰子两次向上的数字用〔x,y〕表示，两次向上的数字共有36种，两次向上的数字之和等于7的情况有6种：〔1，6〕，〔6，1〕，〔2，5〕，〔5，2〕，〔3，4〕，〔4，3〕，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为．将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，那么＝▲．【答案】5．【命题立意】此题旨在考查圆锥的几何性质与展开图．考查计算和推理能力，难度中等.【解析】半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形，三个扇形的圆心角分别为，由弧长公式，所对的弧长分别为，三个扇形作为三个圆锥的底面半径的和为．是第三象限角，且，那么＝▲．【答案】．【命题立意】此题旨在考查同角三角函数的根本关系．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】由同角三角函数的根本关系得，解得，，∵是第三象限角∴〔舍〕，∴，．是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列的第n项到第n+5项的和为Tn，那么取得最小值时的n的值为▲．【答案】5或6．【命题立意】此题旨在考查等差数列的通项公式与求和公式．考查数列的单调性，难度较小.【解析】由题意可知，解得，由等差数列的前n项和公式得，，，所以当n=5或n=6时，取得最小值．假设直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，那么＝▲．【答案】18．【命题立意】此题旨在考查直线与圆的方程的应用，考查转化与化归，分析解决问题的能力．难度较大.【解析】设直线与圆相交于A,B点，直线与圆相交于C,D点．由题意可知,圆心到直线的距离为2，，解得或；圆心到直线的距离为2，，解得或，∵∴或，．函数f(x)＝－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，那么＝▲．【答案】．【命题立意】此题旨在考查三角函数的图象与性质，函数与方程，函数的零点及其应用．考查函数与方程思想，数形结合的数学思想，难度中等.【解析】设函数的图象关于y轴对称，直线过原点，所以函数f(x)＝－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，即函数与直线在上有三个公共点，此三个交点中的横坐标最大值为且在内相切，其切点为，．由于，所以，．【方法技巧】1．对于易画出图象的函数，判断零点的个数或零点所在的区间时，可转化为判断函数图象与轴的交点问题．2．对于函数的零点问题，可采用数形结合的方法，将函数的零点问题转化为函数，的图象的交点问题，作出两个函数的图象，从而判断零点所在的大致区间或零点个数.，，那么的最小值为▲．【答案】．【命题立意】此题旨在考查根本不等式及换元法．考查推理论证的能力与计算能力．难度较大.【解析】由得，令那么当且仅当即等号成立．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔本小题总分值14分〕在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．〔1〕求角C的大小；〔2〕假设的面积为，，求边的长．【答案】〔1〕；〔2〕．【命题立意】此题旨在考查余弦定理，“边、角〞互化思想．考查运算推理能力，难度较小.【解析】〔1〕由余弦定理知3分，，…………………5分又，.………7分〔2〕，，………10分又，，…13分.…………………14分〔本小题总分值14分〕如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点〔1〕求证：A1，C1，F，E四点共面；〔2〕假设底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平面A1C1FE.【答案】〔1〕略；〔2〕略．【命题立意】此题旨在考查空间直线平行．线与平面垂直的判定，考查空间想象．推理论证能力．难度中等.【解析】〔1〕连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，〔第16题图〕C1EOD1B1〔第16题图〕C1EOD1B1A1FDCBA由直棱柱知AA1CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1．所以EF∥A1C1故A1，C1，F，E四点共面．……………7分〔2〕连接BD，因为直棱柱中平面，平面，所以．………9分因为底面A1B1C1D1是菱形，所以．又，所以平面．………11分因为平面，所以OD．又A1E，，平面A1C1FE，平面A1C1FE，所以平面A1C1FE.………14分〔本小题总分值14分〕图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．〔1〕当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；〔2〕假设把这条水渠改挖〔不准填土〕成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，那么当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？【答案】〔1〕1.6米；〔2〕．【命题立意】此题旨在考查圆的方程，切线方程，利用导数求函数的最值，考查数学模型的实际应用，分析与解析问题的能力．难度中等.【解析】〔1〕以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如下列图的直角坐标系xOy，因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，那么半圆的方程为．………3分因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米，在Rt△ODM中，〔米〕．……5分所以MN＝2DM＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米．……6分〔2〕为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如下列图的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为．……8分令y＝0，得，令y＝-1，得．设直角梯形OCFE的面积为S，那么〔〕．……10分，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．………12分所以时，面积S取得最小值，最小值为．此时，即当渠底宽为米时，所挖的土最少．…………14分〔本小题总分值16分〕如图，椭圆O：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点〔与y轴交点除外〕，直线PC交椭圆于另一点M．〔1〕当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；〔2〕①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；②求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕①略②．【命题立意】此题旨在考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，平面向量的位置关系与线性运算，考查分析与解决问题的能力和运算能力等．难度中等.【解析】解：〔1〕由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，那么直线PM的方程为，即，联立，解得或〔舍〕，即．……………2分连BF，那么直线BF：，即，而，．……4分故．……5分〔2〕解法一：①设，且，那么直线PM的斜率为，那么直线PM的方程为，联立化简得，解得，………8分所以，，所以为定值．…10分②由①知，，，所以，……………13分令，故，因为在上单调递增，所以，即的取值范围为……16分解法二：①设点，那么直线PM的方程为，令，得.……………7分所以，，所以〔定值〕.………………10分②由①知，，，所以=．………………13分令，那么，因为在上单调递减，所以，即的取值范围为．…16分【方法技巧】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.〔本小题总分值16分〕数列满足：，，,.〔1〕假设，且数列为等比数列，求的值；〔2〕假设，且为数列的最小项，求的取值范围.【答案】〔1〕或；〔2〕．【命题立意】此题旨在考查数列的递推关系式，累加法，等比数列的定义，数列求和，数列的增减性．考查函数与方程思想，以及转化和化归能力，难度中等.【解析】〔1〕，，∴，，由数列为等比数列，得，解得或.……………3分当时，，∴符合题意；……4分当时，，∴=，∴符合题意.………6分〔2〕法一：假设，，∴==.…………8分∵数列的最小项为，∴对，有恒成立，即对恒成立.…10分当时，有，∴；当时，有，∴；当时，有，∴；当时，有，∴；…12分当时，，所以有恒成立，令，那么，即数列为递增数列，∴.…15分综上所述，.……16分法二：因为，，又为数列的最小项，所以即所以.……………………8分此时，，所以.………10分当时，令，，所以，所以，即.………14分综上所述，当时，为数列的最小项，即所求q的取值范围为.………16分20．〔本小题总分值16分〕函数〔a∈R〕，为自然对数的底数．〔1〕当a＝1时，求函数的单调区间；〔2〕=1\*GB3①假设存在实数，满足，求实数的取值范围；=2\*GB3②假设有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．【答案】〔1〕在区间上单调递减，在区间上单调递增.；〔2〕=1\*GB3①；=2\*GB3②．【命题立意】此题旨在考查导数及其应用，导数的运算与导数的几何意义，函数的单调性，考查分类讨论思维，别离参数构造函数求取值范围．难度中等.【解析】〔1〕当a＝1时，，，……1分由于，当时，，∴，当时，，∴，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.………………4分〔2〕①由得．当时，不等式显然不成立；当时，；当时，.………………6分记=，，∴在区间和上为增函数，和上为减函数．∴当时，，当时，．…8分综上所述，所有a的取值范围为．…9分②由①知时，，由，得，又在区间上单调递增，在上单调递减，且，∴，即，∴.…12分当时，，由，得，又在区间上单调递减，在上单调递增，且，∴，解得.……15分综上所述，所有a的取值范围为．…16分数学II〔附加题〕21．【选做题】A．[选修4—1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，四边形ABDC内接于圆．BD＝CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点。〔1〕求证：∠EAC＝2∠DCE〔2〕假设BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的长。【答案】〔1〕略〔2〕．【命题立意】此题旨在考查切割线定理及其应用．考查运算求解能力，难度较小．【解析】〔1〕证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．………………2分所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．………………5分〔2〕解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．………………6分因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．………7分由切割线定理得EC2=AEBE，即AB2=AE(

AE－AB)，即AB2+2

AB-4=0，解得AB=.……………10分B．[选修4—2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕二阶矩阵M有特征值＝3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点〔－1,2〕变换成〔9,15〕，求矩阵M．【答案】．【命题立意】此题旨在考查矩阵及其应用，矩阵的乘法运算等．考查运算求解能力，难度较小．【解析】设,那么,故………………3分,故……………6分联立以上两方程组解得,故=.……………10分C．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程是为参数〕，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是＝2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标。【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1))．【命题立意】此题旨在考查极坐标方程与普通方程的转化，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系．考查运算求解能力，难度较小．【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))消去t得曲线C1的普通方程y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)；…3分由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.……6分联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x〔x≥0〕，,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲线C1与C2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1)).…………10分D．[选修4—5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕设函数。〔1〕证明：；〔2〕假设，求实数的取值范围。【答案】〔1〕略；〔2〕eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，\f(5＋\r(21),2)))【命题立意】此题旨在考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思维的应用，难度较小．【解析】〔1〕证明：由a>0，有f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＋|x－a|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)－(x－a)))＝eq\f(1,a)＋a≥2，所以f(x)≥2.………4分〔2〕解：f(3)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,a)))＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得3<a<eq\f(5＋\r(21),2).…6分当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得eq\f(1＋\r(5),2)<a≤3.…8分综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，\f(5＋\r(21),2))).……10分出文字说明、证明过程或演算步骤．22、〔本小题总分值10分〕一位网民在网上光临某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购置意向．该网民购置A种商品的概率均为，购置B种商品的概率均为，购置E种商品的概率为．假设该网民是否购置这三种商品相互独立．

〔1〕求该网民至少购置2种商品的概率；

〔2〕用随机变量η表示该网民购置商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【答案】〔1〕；〔2〕．【命题立意】此题旨在考查相互独立事件的概率，概率分布列及其应用，以及数学期望的求解．考查运算和转化能力