函数与基本初等函数复习资料

第1讲函数及其表示【高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．一个方法求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案A2．(2011·江西)若f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)2x＋1))，则f(x)的定义域为()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D．(0，＋∞)解析由logeq\f(1,2)(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－eq\f(1,2)＜x＜0.答案A3．下列各对函数中，表示同一函数的是()．A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．f(x)＝lgeq\f(x＋1,x－1)，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)C．f(u)＝eq\r(\f(1＋u,1－u))，g(v)＝eq\r(\f(1＋v,1－v))D．f(x)＝(eq\r(x))2，g(x)＝eq\r(x2)答案C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()．A．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,10))) B．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,10)))C．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10))) D．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,10)))解析根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,10))).故选B.答案B5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．解析任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点．任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]考向一求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(\r(|x－2|－1),log2x－1)；(2)f(x)＝eq\f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4)).[审题视点]理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|－1≥0，,x－1>0，,x－1≠1.))解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须且只须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,－x2－3x＋4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x＋4x－1<0，))解得：－1<x<1.因此f(x)的定义域为(－1,1)．求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】(2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，求函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x－\f(1,2)))的定义域；(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．解(1)令x2－x－eq\f(1,2)＝t，知f(t)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(t\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))≤t≤\f(1,2)))，∴－eq\f(1,2)≤x2－x－eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x≥0，,x2－x－1≤0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥1，,\f(1－\r(5),2)≤x≤\f(1＋\r(5),2)，))∴所求函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1＋\r(5),2))).(2)用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5]．考向二求函数的解析式【例2】►(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)；(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x[审题视点](1)用代换法求解；(2)构造方程组求解．解(1)令t＝eq\f(2,x)＋1，则x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，即f(x)＝lgeq\f(2,x－1).(2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，x∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．(2)已知f(x)＋2f(eq\f(1,x))＝2x＋1，求f(x)．解(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2).因此f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.(2)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x＋1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(2,x)＋1，))消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，得f(x)＝eq\f(4＋x－2x2,3x).考向三分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是()．A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)[审题视点]对于分段函数应分段求解，最后再求其并集．解析f(x)≤2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,21－x≤2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,1－log2x≤2))⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.答案D分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集．【训练3】(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析分类讨论：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－eq\f(3,2)，不符合题意，舍去．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－eq\f(3,4).综合(1)，(2)知a的值为－eq\f(3,4).答案－eq\f(3,4)阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】►求函数y＝logeq\f(1,3)(x2－3x)的单调区间．错因忽视函数的定义域，把函数y＝logeq\f(1,3)t的定义域误认为R导致出错．实录设t＝x2－3x.∵函数t的对称轴为直线x＝eq\f(3,2)，故t在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增．∴函数y＝logeq\f(1,3)(x2－3x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).正解设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t的对称轴为直线x＝eq\f(3,2)，故t在(－∞，0)上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))上单调递增．而函数y＝logeq\f(1,3)t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝logeq\f(1,3)(x2－3x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．【试一试】求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间．[尝试解答]由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．又y＝log2t为单调增函数．故函数y＝log2(x2－2x－3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)．第2讲函数的单调性与最值【高考会这样考】1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习指导】本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝eq\f(1,x)分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为()．A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)答案C2．(2011·湖南)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()．A．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)] B．(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))C．[1,3] D．(1,3)解析函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1.即x2－4x＋2＜0，解得2－eq\r(2)＜x＜2＋eq\r(2).答案B3．(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))<f(1)的实数x的取值范围是()．A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由已知条件：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))>1，不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|<1，,x≠0，))解得－1<x<1，且x≠0.答案C4．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______．解析要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，即x＞－eq\f(1,2)，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x＞－eq\f(1,2)时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))5．若x＞0，则x＋eq\f(2,x)的最小值为________．解析∵x＞0，则x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(x·\f(2,x))＝2eq\r(2)当且仅当x＝eq\f(2,x)，即x＝eq\r(2)时，等号成立，因此x＋eq\f(2,x)的最小值为2eq\r(2).答案2eq\r(2)考向一函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f(x)＝eq\f(x,x2＋1)的单调性．[审题视点]可采用定义法或导数法判断．解法一f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2，都有f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,x\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(x1－x21－x1x2,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1)，其中x1－x2＜0，xeq\o\al(2,1)＋1＞0，xeq\o\al(2,2)＋1＞0.①当x1，x2∈(－1,1)时，即|x1|＜1，|x2|＜1，∴|x1x2|＜1，则x1x2＜1,1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，∴f(x)为增函数．②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为减函数．综上所述，f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．法二∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋1)))′＝eq\f(x2＋1－xx2＋1′,x2＋12)＝eq\f(x2＋1－2x2,x2＋12)＝eq\f(1－x2,x2＋12)，∴由f′(x)＞0解得－1＜x＜1.由f′(x)＜0解得x＜－1或x＞1，∴f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等．【训练1】讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解设－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\f(x－1＋1,x－1)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝aeq\f(x2－x1,x1－1x2－1)当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．考向二利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x)(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．[审题视点]求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性．解法一设2<x1<x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝eq\f(x\o\al(2,1)＋a,x1)－eq\f(x\o\al(2,2)＋a,x2)＝(x1－x2)＋aeq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－a,x1x2)<0恒成立．即当2<x1<x2时，x1x2>a恒成立．又x1x2>4，则0<a≤4.法二f(x)＝x＋eq\f(a,x)，f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＞0得f(x)的递增区间是(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)，根据已知条件eq\r(a)≤2，解得0<a≤4.已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．【训练2】函数y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．a＝－3B．a<3C．a≤－3D．a≥－3解析y＝eq\f(x－5,x－a－2)＝1＋eq\f(a－3,x－a＋2)，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,a＋2≤－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,a≤－3，))∴a≤－3.答案C考向三利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点]抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．(1)证明法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或eq\f(fx1,fx2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·eq\f(x1,x2)或x1＝x2＋x1－x2等．【训练3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解(1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则eq\f(x1,x2)＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,3)))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.规范解答2——如何解不等式恒成立问题【问题研究】在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.【示例】►(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．利用函数性质求f(x)的最值，从而解不等式f(x)min≥a，得a的取值范围．解题过程中要注意a的范围的讨论．[解答示范]∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴此二次函数图象的对称轴为x＝a(1分)(1)当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.(3分)要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a＜－1.(6分)(2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.(8分)要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2－a2≥a(10分)解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.(11分)综上所述，实数a的取值范围为[－3,1](12分)本题是利用函数的性质求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．【试一试】当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．解析法一当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0可化为：m<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))，又函数f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))在(1,2)上递增，则f(x)>－5，则m≤－5.法二设g(x)＝x2＋mx＋4当－eq\f(m,2)≤eq\f(3,2)，即m≥－3时，g(x)＜g(2)＝8＋2m当－eq\f(m,2)＞eq\f(3,2)，即m＜－3时，g(x)＜g(1)＝5＋m由已知条件可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－3，,8＋2m≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－3，,5＋m≤0.))解得m≤－5答案(－∞，－5]第3讲函数的奇偶性与周期性【高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.双基自测1．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()．A.－eq\f(1,2)B.－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)解析因为f(x)是周期为2的奇函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).故选A.答案A2．(2012·福州一中月考)f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于()．A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称解析f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝eq\f(1,－x)－(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案C3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.答案A4．(2011·福建)对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()．A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2解析∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.答案D5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析法一∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.答案0考向一判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：①f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))；④f(x)＝eq\f(3x－3－x,2)；⑤f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x).其中奇函数的个数是()．A．2B．3C．4[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．解析①f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋eq\r(x2＋1)>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋eq\r(－x2＋1))＝lneq\f(1,x＋\r(x2＋1))＝－ln(x＋eq\r(x2＋1))＝－f(x)，则f(x)为奇函数；④f(x)＝eq\f(3x－3－x,2)的定义域为R，又f(－x)＝eq\f(3－x－3x,2)＝－eq\f(3x－3－x,2)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；⑤由eq\f(1－x,1＋x)>0得－1<x<1，f(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－lneq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．答案D判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断．【训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.解(1)解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|－3≠0，))得－2≤x<0，或0<x≤2，因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]，则f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x).f(－x)＝eq\f(\r(4－－x2),－x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2，f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－|2af(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．考向二函数奇偶性的应用【例2】►已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.[审题视点](1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解法一f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1).∴f(－x)＝eq\f(－x,2)·eq\f(2－x＋1,2－x－1)＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1)＝f(x)．故f(x)是偶函数．法二f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝eq\f(3,2)，f(－1)＝eq\f(3,2)，∴f(x)不是奇函数．∵f(x)－f(－x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2－x－1)＋\f(1,2)))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(2x,1－2x)＋1))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,2x－1)＋1))＝x(－1＋1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明当x＞0时，2x＞1,2x－1＞0，所以f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))＞0.当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【训练2】已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．解∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤1－m2≤2，))解得－1≤m≤eq\r(3).①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.考向三函数的奇偶性与周期性【例3】►已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．[审题视点](1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x＝1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式；(3)由周期性求和的值．(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【训练3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2013)＋f(2015)的值为()．A．－1B．1C．0D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2013)＝f(1)，f(2015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2013)＋f(2015)＝0.答案C规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x与fx的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为fx＋T与fx的关系，它们都与fx有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f(π)；第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出．[解答示范](1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(6分)又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．(8分)当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.(10分)(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【试一试】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[尝试解答]由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.答案D第4讲指数与指数函数【高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用．3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小．【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号eq\r(n,a)表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示．正负两个n次方根可以合写为±eq\r(n,a)(a＞0)．③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))n＝a.④当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝a·a·…·eq\o(a,\s\do4(n个))(n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)x＜0时，0＜y＜1x＜0时，y＞1.在(－∞，＋∞)上是减函数当x＞0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1；在(－∞，＋∞)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).双基自测1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则taneq\f(aπ,6)的值为()．A．0B.eq\f(\r(3),3)C．1D.eq\r(3)解析由题意有3a＝9，则a＝2，∴taneq\f(aπ,6)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).答案D2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2|x－1|的图象是()．解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x<1，))故选B.答案B3．若函数f(x)＝eq\f(1,2x＋1)，则该函数在(－∞，＋∞)上是()．A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值解析设y＝f(x)，t＝2x＋1，则y＝eq\f(1,t)，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y＝eq\f(1,t)在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．答案A4．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))log30.3，则()．A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞a＞b解析c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))log30.3＝5－log30.3＝5log3eq\f(10,3)，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，log3eq\f(10,3)＞log33＝1，又log23.4＞log2eq\f(10,3)＞log3eq\f(10,3)，∴log23.4＞log3eq\f(10,3)＞log43.6又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b.答案C5．(2012·天津一中月考)已知aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.解析由已知条件(aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2))2＝9.整理得：a＋a－1＝7又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47.答案747考向一指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)eq\f(a\f(2,3)·b－1－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5))；(2)eq\f(5,6)aeq\f(1,3)·b－2·(－3a－eq\f(1,2)b－1)÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2).[审题视点]熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．解(1)原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)·beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,a).(2)原式＝－eq\f(5,2)a－eq\f(1,6)b－3÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2)＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,6)b－3÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(1,3)b－\f(3,2)))＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,2)·b－eq\f(3,2)＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．【训练1】计算：(1)0.027－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))0；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－eq\f(1,2)·eq\f(\r(4ab－1)3,0.1－2a3b－3\f(1,2)).解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,1000)))－eq\f(1,3)－(－1)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\f(1,2)－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.(2)原式＝eq\f(4\f(1,2)·4\f(3,2),100)·aeq\f(3,2)·a－eq\f(3,2)·beq\f(3,2)·b－eq\f(3,2)＝eq\f(4,25)a0·b0＝eq\f(4,25).考向二指数函数的性质【例2】►已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))·x3(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．[审题视点]对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解(1)由于ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0.∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意x，有f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－x－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax,1－ax)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1，∴ax－1＞0，eq\f(1,ax－1)＋eq\f(1,2)＞0.又x＞0时，x3＞0，∴x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))＞0，即当x＞0时，f(x)＞0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立．综上可知，当a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立．当0＜a＜1时，f(x)＝eq\f(ax＋1x3,2ax－1).当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a＞1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(－x)±f(x)，eq\f(fx,f－x)来判断．(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法．【训练2】设f(x)＝eq\f(e－x,a)＋eq\f(a,e－x)是定义在R上的函数．(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e－x,a)＋\f(a,e－x)))，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))(ex＋e－x)＝0，即a＋eq\f(1,a)＝0，即a2＋1＝0显然无解．∴f(x)不可能是奇函数．(2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝eq\f(e－x,a)＋eq\f(a,e－x)，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))(ex－e－x)＝0，又∵对任意x∈R都成立，∴有a－eq\f(1,a)＝0，得a＝±1.当a＝1时，f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性，任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2＝eq\f(ex1－ex2ex1＋x2－1,ex1＋x2)，∵x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，∴ex1＋x2＞1，ex1－ex2＜0，∴ex1＋x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝eq\f(e－x,a)＋eq\f(a,e－x)，当a＝1时在(0，＋∞)为增函数，同理，当a＝－1时，f(x)在(0，＋∞)为减函数．考向三指数函数图象的应用【例3】►(2009·山东)函数y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)的图象大致为()．[审题视点]函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析y＝eq\f(e2x＋1,e2x－1)＝1＋eq\f(2,e2x－1)，当x＞0时，e2x－1＞0且随着x的增大而增大，故y＝1＋eq\f(2,e2x－1)＞1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.答案A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y＝eq\f(ax－1,ax＋1)，y＝eq\f(ex－e－x,2)，y＝lg(10x－1)等．【训练3】已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析作函数y＝f(x)＝10x，y＝g(x)＝lgx，y＝h(x)＝10－x的图象如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图象是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是关于直线y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．∴eq\f(α＋β,2)＝5，即α＋β＝10.答案10难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】►(2011·福建五市模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≥K，,K，fx＜K，))取函数f(x)＝2＋x＋e－x，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则K的最大值为________．二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法【示例】►若f1(x)＝3|x－1|，f2(x)＝2·3|x－a|，x∈R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，f1x≤f2x，,f2x，f1x＞f2x，))则f(x)＝f1(x)对所有实数x成立，则实数a的取值范围是________．第5讲对数与对数函数【高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域．2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a＞0且a≠1)log常用对数底数为10lgN自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.(3)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).四种方法对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2log510＋log50.25＝()．A．0B．1C．2解析原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案C2．(人教A版教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，cA．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜b解析将三个数都和中间量1相比较：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9答案C3．(2012·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析设y＝f(x)，t＝3x＋1.则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.由y＝log2t，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)．答案