向量组的线性相关性的判定

向量组的线性相关性的判定摘要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词：向量组；线性相关；行列式引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间（包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献［2］介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献［1］、［3］、［4］、［5］则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.1.向量组线性相关性的相关定义及性质定义1.1⑴定义在P上的线性空间V，对于给定的一组向量x,x,…,x,TOC\o"1-5"\h\z2 n如果存在n个不全为0的数九,九，…,九，使得1 2 n九x+九x+•••+九x=0.11 22 nn那么称x,x,…,x是线性相关的•否则称x,x,…,x是线性无关的.1 2 n 1 2 n性质1・1若x,x,…,x线性相关，则其中至少有一个向量可由其余n-1个1 2 n向量线性表示.证明二)若这n个向量线性相关，那么九x+九x+•—九x=0，11 22 nn其中九不全为0,不妨设九0，那么可解得ii九 九x=——1x—nx.i九1 九nii所以该结论是成立的・u)如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这n个向量是线性相关的・这是因为如果设x=kx+kx+••・kx+kx+•••+kx，i 11 22 i—1i—1 i+1i+1 nn那么移项得kx+kx+•••+kx+kx+•—+kx+(—x)=0.11 22 i-1i-1 i+1i+1 nn i显然，x的系数为-1,那么由线性相关的定义知，这n个向量是线性相关的.i性质1・2含有零向量的向量组必是线性相关的・性质1・3单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量・性质1.4若向量组a,a,a线性无关，a,a,a,B线性相关，那么卩TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n可由a,a，…,a线性表示.1 2 n，性质1.5如果向量组0,0，…,0的部分组12 m0,0，…,0(ke{1,2，…,n})k1k2 kmj线性相关，那么0,0，…,0也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线1 2 n性相关.向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.2.向量组线性相关性的判定方法定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法 .对给定的n个向量x,x，…,x,只需令TOC\o"1-5"\h\z1 2 n九X+九X+• 九X=0.11 2 2 nn °根据题中的条件去求九,九，…,九即可.1 2 n当九,九，…,九不全为0时，X,X,X是线性相关的.当九,九，…,九全为0时,1 2 n 1 2 n 1 2 nX,X,X是线性无关的.1 2 n例1设a,a,a线性无关，证明a+a,a+a,a+a也线性无关.123122331证明设对于任意的k,k,k，有123k(a+a)+k(a+a)+k(a+a)=0.112223331整理得(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0.131122233由于a,a,a线性无关，得123k+k=0,1 3vk+k=0,12k+k=0.23解得k=0,1vk=0,2k=0.3所以a+a,a+a,a+a也线性无关.1 2 2 3 3 1

例2设1,x+1,x2+1€P[x]，判断它们的线性相关性.n解设k,k,k€P，令123k+k(x+1)+k(x2+1)=0，123整理得(k+k+k)+kx+kx2=0,12323所以有k+k+k=0,1 2 3< k=0,2k=0.3解得k=k=k=0.123从而1,1+x,1+X2是线性无关的.利用向量空间的性质进行判定利用向量组的线性相关性的性质也可以判定很多题目.(1「(0'判断a=0,a=2,a1O2、0,3例3(1]例3=1的相关性.l0丿证明由题意可得1a=a+—a,122那么由性质1.1知，a,a,a是线性相关的.123这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析.定理2.2.2n维向量空间中任意n+1个向量是线性相关的.例4设V是P上的线性空间，b是V上的线性变换.证明QQ2,...Qn2是线性相关的.证明设L(V)是V上所有的线性变换组成的集合，L(V)关于线性变换的加法和数乘运算构成一个向量空间•而L(V)的维数为n2，又因为所以由定理2.2.2知O,O2,…Qn2是线性相关的.从上面的例题可以看出，运用线性相关性的性质判断相关性是比较方便的，因此熟练地掌握线性相关性的性质显得尤其重要.利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组时，需由该方程组的解去判定这个向量组的相关性.即用定义法的同时也应用了齐次线性方程组的解进行了判定.一般地，要判断一个向量组a=(a,a，…，a)i i1i2 in是否线性相关就是看方程xa+x +xa=0 (1)1 1 2 2 nn有无非零解.从这里可以看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的n+1维的向量组卩=(a,a，…,a,a)也是线性无关的.i i1i2 inin+1把(1)写出来就是xa+xa+•••+xa=0,111 212 n1nxa+xa+•••+xa=0,<121 222 n2n (2),•••xa+xa+•••+xa=0.1n1 2n2 nnn因之，(1)线性相关的充要条件是(2)有非零解[2].因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.例5设x=(—1,1,1),x=(—2,1,2),x=(—1,2,—1),试判断它们是否线性相关.123解令kx+kx+kx=0.112233即-k-2k-k=0,1 2 3<k+k+2k=0,1 2 3k+2k一k=0.1 2 3解得「k=0,1<k=0,2k=0.3故x,x,x是线性无关的.123利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性定理2.4.1设向量组a,a,•••,«,是由m个n维列向量所组成的向量组，则向TOC\o"1-5"\h\z1 2 m量组a,a,a的线性相关性可由该向量组所构成的矩阵12mA=(a,a，…,a)1 2 m的秩来决定[3].TOC\o"1-5"\h\z若R(A)=m,a,a，…,a是无关的；\o"CurrentDocument"1 2 m若R(A)<m，那么a,a,a就是相关的.1 2 m定理2.4.2⑷设B是阶梯型矩阵，矩阵A经过一系列的行消法变换之后得到B，即laT丿m那么n元向量组a,a，…,a线性相关的充要条件是矩阵B中出现零行..1 2 m推论⑹向量组a,a,...,a线性无关的充要条件是矩阵B中不出现零行.1 2 m对矩阵AT进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程，实质上是对a,a，…,a进行行向量的线性运算.如果B中出现零行，那么a,a，…,a中一定TOC\o"1-5"\h\z1 2 m 1 2 m有某个向量能被其余的m-1个向量线性表示，即a,a，…,a线性相关.相反地，1 2 m若B中无零行，那么可知a,a,...,a是线性无关的.1 2 m例6判断向量组P二(1,3,—4,6,2),P二(2,4,—5,3,2),P二(4,6,—7，&3)的相1 2 3关性.解将P,P,P以行排成矩阵，且经过一系列行消法变换，即12362'r13—462、320—22—9—283丿<003111丿由于矩阵A化为阶梯型之后没有出现零行,所以它们线性无关.例7设a=(2,1,2,2,—4),a=(1,1,—1,0,2),a=(0,1,2,1,—1),a=(—1,—1,—1,—1,1),a=(1,2,1,1,1)1 2 3 4 5试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组.解将a，a，a，a,a写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，12345将此矩阵化为阶梯型.r210-111r111-121111-120-1-21-32-12-110-2200201-110-1100「42-111丿<021-13丿r111-121r111-12101-10001-1000031-30031-300-31-300000<00000丿<00000丿所以a，a，a，a,a是线性相关的，从最后一个矩阵可以看出，a,a,a为向1 2 3 4 5 1 2 3量组的一个极大无关组.

本方法把对向量组相关性的判别方法转化为矩阵的初等行变换，简单易懂.但该方法只适用于对Pn中的向量组进行判定，有很大的局限性.2.5利用行列式的值来判定向量组的线性相关性定理2.5.1如果向量组a,««,•••,a是由n个n维列向量所组成的向量组，且1 2 n向量组所构成的矩阵A二(a,a，…,a)，也就是说，A为n阶方阵，那么1 2 n(1)若|A|=0，则向量组a,a，…,(1)若|A|=0，则向量组a,a，…,a12是线性相关的;(2)若|A|丰0，则向量组a,a，…,a12是线性无关的.例8r2]〔11已知a=1,a=3,a=41丄2<4丿3<2丿n,试讨论它们的线性相关性.证明由于a,a,a123121121134=013142021121013二—5，|A|—5所以a,a,a线性无关.123行列式的值的判定性质实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定.但是该方法的局限性在于只有符合向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法.2.6反证法在有些题目中，直接的给出证明结论往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公里相悖的结果，从而说明原结论成立.例9设向量组a,a,a中任一向量不是它前面向量的线性组合，且1 2 na鼻0，证明向量组a,a,a是线性无关的.1 1 2 n证明如果此向量组线性相关，则存在不全为0的n个数，使得ka+ka+•••+ka=0.1 1 2 2 nn假设k工0,那么由上式可得nTOC\o"1-5"\h\zkk ka=—―fa——2a—.…一一n-ia.nkik2 k n—in n n即可由它前面n—1个向量线性表示，故与题设矛盾，所以k=0n且ka+ka+•—+ka=0.TOC\o"1-5"\h\z11 22 n—1n—1 °同理可得k=k=•••=k=0，n—1 n一2 2所以有ka=0.由于aH0，所以k=0，即1111k=k=•••=k=0.1 2 n这与k不全为0相矛盾.所以该向量组是线性无关的.i2.7利用线性变换的性质进行判定引理2.7.1设V是数域P上的线性空间，a是V上的一个线性变换，a,a，…，agV，若a,a，…，a线性相关，则a(a)q(a)，…q(a)也是线性相1 2 n 1 2 n 1 2 n关的.证明 由于a,a,a线性相关，那么存在不全为0的数k,k，…,k使得1 2 n 1 2 nka+ka+•—fka=0.1 1 2 2 nn由于C是V上的线性变换，那么有o(ka+ka+•••+ka)=0.1 1 2 2 nn即kc(a)+kc(a)+•••+kc(a)=0.TOC\o"1-5"\h\z112 2 n n因此，o(a),o(a),••・,c(a)是线性相关的.1 2 n但是该定理反过来不一定成立.即c(a),o(a),•••,c(a)线性相关，1 2 na,a，…,a并不一定也是线性相关的.若c为零变换，假设a,a，…,a是线性无1 2 n 1 2 n关的，零变换把a,a，…,a全部变成零向量，它们是线性相关的，从而满足该1 2 n条件，但是a,a，…,a是线性无关的.1 2 n推论设V是数域P上的线性空间，c是V上的一个线性变换，若c(a),c(a),•••,c(a)是线性无关的，那么a,a，…,a也是线性无关的.1 2 n 1 2 n定理2.7.1设V是数域P上的线性空间，c是V上的一个线性变换，且c是V中可逆的线性变换，线性空间V中的向量组a,a,a线性相关的充要条件是1 2 n它们的象c(a),c(a),•••,c(a)线性相关.1 2 n证明=)若a,a,…,a线性相关，则存在不全为0的数k,k，…k，使得1 2 n 1 2 nka+ka+•••+ka=0.1 1 2 2 nn那么kc(a)+kc(a)+•••+kc(a)=0.TOC\o"1-5"\h\z112 2 n n所以c(a),c(a),•••,c(a)是线性相关的.1 2 nu)若c(a),c(a),•••,c(a)线性相关，则存在不全为0的数k,k，…k，使1 2 n 1 2 n由于是可逆的，从而所以1,2,综上所述，()k(1由于是可逆的，从而所以1,2,综上所述，()k(1那么有(k1也是线性相关的.该定理是成立的.n)0n0，2.8运用弗朗斯基判别法进行判定如果向量组是由函数组成的话该怎么判定呢？而弗朗斯基判别法主要是判定多项式的相关性的.定理2・8・1(弗朗斯基判别法) 设f(x),g(x),h(x),…w(x)是n个n1次可导的函数，若w(x)

w'w(x)

w'(x)0，f(x)f'(x)g(x)g'(x)h(x)h'(x)f(n1)(x)g(n1)(x)h(n1)(x)...w(n1)(x)则f(X),g(x),h(x),w.(x)就是线性无关的.例10判断l,cosx,sirx的相关性.解