高等代数课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲适用专业数与应用数学（师学应用数学总学时168学

分10一编说（一）本课程的性质、地位和作用高等代数是数学与应用数学专业师范学与应用数专业的一门重要的专基础课，其主要内容多项式理论与线性代数两部分。本课程的教学目是使学生初步掌握基的、系统的代数知识抽象的严格的代数方，为后继课程如近世数、常微分方程、概率论与数理计、泛函分析、计算法等提供必须具备的数知识，也为进一步习数学与应用数学专的各门课程所需要的抽象思维能提供一定的训练。高代数课程是中学代数继续和提高。通过本程的教学，要使学生深对中学代数的理解。本课程在教学中要求学生确切理高等代数中的基本概，不仅要正确掌握这概念的内涵，还要了这些概念的实际背景对于一基本的重要概念要求了解它们产生与发的过程及概念推广的则中学代数有直联系或者平行的概念要求学生能与中学数学中相应概加以比较确较高的观点于等代数的基本理论求生掌握基本理论的结果对于典型定理还要求掌握论证方或思想，同时要求学能了解严谨的理论体，体会建立这种体系抽象的代数方法。通本课程的教学，要求学生能显著提高应用基本概念、本理论作抽象论证的力；较好地掌握基本论证方法与基本的计方法，特别要掌握基本的线性代计算法。（二）本大纲制订的依据根据本专业人才的培养目标所需的基本理论和基本技的要求，根据本课程教学性质、条件和教实践而制定。（三）大纲内容选编原则与要求1．本纲列各单元讲授顺序与北京大学数学系几何代数教研室代数小组《高等代数等教出版社第二版）所列基本相同，讲授时可根据具情况作适当调整。2．为避教学上的难点过于集中些定理的掌握可侧重于定理的结果和明定理的方法达掌握基本的代数方法的目的。3．每章重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础，通过适当的练习（题课、作业、问题探）以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运中的技能和技巧以及高综合计算和解决问的能力的目的。难点逐步引人，分散讲解4．本纲入部分带“”内，供选用，不计算入课时。（四）实践环节1.本程实践环节主要分为习课、问题探讨（讨论辅导、课后作等四个部分，问题讨可在辅导课或课后完成。2.本程学时数为168学时，中课堂讲授约119学，习题课49学。（五）教学时数分配表教章节序号

学

时

学环

节

课堂讲授

讨论

实验

其它

课程设计

小计第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章

名称预备知识一元多项式行列式线性方程组矩阵二次型线性空间线性变换

88199288111451912618104141682418826

精选文库第九章

欧氏空间

14620总

计

11949（六）考核方法与要求1.平时成：包括期中考试成绩出勤、作业成绩、课提问、问题探讨（讨）等。平时成绩占3％。2.试卷成：期终考试成绩，占70。3.综合考成绩时绩）（七）教材与主要参考书

30％（终考试成绩）

70％使用教材等代数》第二版，京大学数学系代数小编，高等教育出版社1988主要参考书：1.《高等数主要概念与定理详利主编，中国业大学出版社19922.《高等数》第三版，张禾瑞郝鈵新编，高等教育版社1983。3.《高等数方法选讲世华主编，广西师大出版社1991--

2

精选文库二教内纲第一章预备知识一、教学基本要求1.掌握集的有关概念（子集、合的相等、并集、交、差集练行合的并、交、差运算会证明集合的相等，掌握并与交的算律。2.在中学识的基础上，确切掌映射与各种特殊映射概念，能较熟练地运这些概念进行论证。3.掌握第、第二数学归纳法的义与论证方法。4.理解“重和”的意义，了解写法与性质，并能进运算。二教学内容第一节

集合1.集合的念2.子集、合的相等3.并集、集、差集4.集合运的基本算律第二节

数学归纳法1.最小数理2.第一数归纳法3.第二数归纳法第三节映1.映射的念2.△满射单射和双射3.映射的成，可逆映射和映射逆的充要条件第四节连号（重双重）第二章一元多项式一教学基本要求1.理解数的概念，掌握数域最本的性质。2．理解数上文字x的多项式的念；理解多项式的次、整除、最大公因式互素、不可约多项式重因式等重要概念，了解这些概念和系数域的扩与缩小的关系。3.熟练掌“整除性素不约多项式的基本性质理解带余除法的实质掌握用带余除法求商和余式；会求两个多项式的最大公因式并掌握把大公因式表示成这两多项式的组合的方法会用微商判断多项式、无重因式；能把多式的有关概念，性质与整数的有概念、性质进行比较4.理解数P上项式分解唯一定理的内容、意义及一定理在多项式理论中的重要地位。掌握项式在复数域和实数域上的标准分解式，掌握多项的根与系数的关系。5.理解多式的函数观点，明确项式的根、因式与可性之间的关系，特别掌握余数定理和因式理。6.理解本多项式的概念及多项在有理数域Q上可约性题掌Eisenstein别法和求整系数多项有利根的求法。二、教学内容第一节数1.数域2.有理数是最小的数域第二节一多项式1.△多项的有关概念2.多项式运算与算律3.多项式与积的次数第三节多式的整除性--3

精选文库1.△带余法2.△整除定义和基本性质第四节最公因式1．△最大因式2．〇最大因式的存在性定理及转相除法3．△〇互的定义和基本性质4．多个多式的最大公因式第五节因分解定理1．△不可多项式的定义和基本质2．〇因式解唯一性定理3．利用典分解式求最大公因式第六节重式1．多项式微商、微商法则2．△重因的定义3．△多项的重因式与其微商的系4．△多项无重因式的充要条件第七节多式函数1．多项式值，多项式函数2．△余数理3．△多项的根、因式定理4．重根5．非零多式的根的最多个数6．多项式相等与多项式函数的等插公）第八节复域和实数域上的多式1．代数基定理2．△复系多项式因式分解定理3．△实系多项式因式分解定理第九节有系数多项式1．本原多式Gauss引理2．整系数项式在有理数域上的约性问题3．△Eisenstein判法4．△有理域上多项式的有理根第三章行列式一、教学基本要求1．掌排的奇偶性，逆序数的法及排列在对换下奇性的变化。2．了行式概念推广的过程，切理解阶行式的定义，熟练掌握n阶行式的性质及依行依列开定理。3．掌计阶行式的常用方：三角化法、递推法加边法等。4．切掌Gramer法，不仅明确其条件、结论，应理解证明这一法则思路与论证方法。二教学内容第一节

排列1．排列的序数，奇排列和偶排2．对换对列的作用第二节n行列式的定义和基性质1．〇n阶列式的定义2．△n阶列式的基本性质第三节

行列式的展开--4

精选文库1．依一行列）展开2．Laplace展式第四节

行列式的计算1．△行列的计算2．〇Vandermonde行列第五节

克兰姆（）则1．法则2．法则的应用第四章线性方程组一教学基本要求1．了解消法解一般线性方程组依据，熟练掌握利用阵的初等变换求线性程组的解的方法。2．理解n维向量的概念，掌握n维量的加法和数乘两运算和它们的基本性。3．理解n维向量的线性组合、线表示、线性相关、线无关、向量组的极大关组、向量组的秩等重要概念，掌握它们的常用的重要性质，熟练掌握论线性相关性的一般证方法。4．理解矩的秩的概念及这一概的几种等价刻划，熟掌握用初等变换求矩秩的方法。5．掌握线方程组的有解性判别理及线性方程组的解结构，熟练掌握求齐线性方程组的基础系的方法。二教学内容第一节

线性方程组的消元法1．线性方组的同解性及线性方组的初等变换2．用初等换（即消元法）解线方程组3．矩阵的念及矩阵的初等变换4．△用矩的初等变换解线性方组第二节n向量空间1.n维向量线性运算和基本性质2.向量的性组合（线性表示）向量组的等价3.△〇量组的线性相关性4.△向量的极大无关组第三节

矩阵的秩1.〇矩阵行秩和列秩2.〇矩阵子式和行列式秩3.△用初变换求矩阵的秩第四节

线性方程组有解的判别定理1．△〇线方程组有解的判别定第五节

线性方程组解的结构1．△齐次性方程组的基础解系齐次线性方程组的解结构2．△非齐线性方程组的解的结第五章矩阵一教学基本要求1．熟掌矩阵的各种运算，特要理解矩阵乘法运算不可交换性，有零因，不满足消去律等点。2．掌矩乘积的行列式与因子行列式、矩阵乘积的与因子的秩之间的关。3．切理矩阵的等价（即相抵与等价标准形、可逆阵与逆矩阵、初等矩等概念，牢固掌握逆矩阵的几种常用的等价刻划，熟练掌握求可逆矩的逆阵的两种方法。握初等矩阵与初等变之间的“左行右列”则。4．初掌矩阵分块的原则、技及运算。二教学内容第一节

矩阵的概念和运算1.矩阵的关概念--5

精选文库2.△矩阵运算和算律，矩阵的项式3.△矩阵转置及性质4.对角矩，数量矩阵、上（下三角阵、对称矩阵、对称矩阵第二节矩乘积的行列式和秩1．△矩阵积的行列式2．△〇矩乘积的秩第三节

可逆矩阵1．△可逆阵的定义及简单性质2．△矩阵等价及等价标准形3．△初等阵，初等变换与初等阵的关系4．△〇矩可逆的充要条件5．△求逆阵的两种方法6．Gramer法的矩阵形式第四节

矩阵的分块1．分块矩的概念2．分块矩的运算3．准对角阵的概念及有关性质第六章二次型一教学基本要求1．达到了二次型的来源，掌握次型的一般表示，对写法，矩阵表示，理二次型的有关概念如二次型的矩阵，二次型的秩等。2．熟练掌在数域上化次型为标准形的方法：配方和合同变换法。3．熟练掌化复二次型、实二次为规范形的方法，理规范形的唯一性，理实二次型的秩，正负惯性指数，符号差等概念；掌握复二次型（复对矩阵二型（实称矩阵）等价（合同的充要条件；初步理复二次型、实二次型按等价分类（复对称矩阵、实对矩阵按合同分类）的念。4．理解正二次型、正定矩阵的念握判定实二次（实对称矩阵）正定的判别方法是序主子式判别法。二教学内容第一节

二次型的矩阵表示1.二次型矩阵及矩阵表示，二型的秩2.〇二次的非退化线性替换与次型的等价3.合同矩第二节

二次型的标准形1.二次型标准形2.△数域P上一元二型都可以经过非退化线性替变成标准形△数域P任一n对称矩阵都同于一对角阵3.△配方化二次型为标准形4.△初等换法化二次型为标准第三节

复二次型和实二次型的规范形1.复数域对称矩阵（二次型）同（等价）规范标准（规范形）的存在唯性2.△复数上对称矩阵（二次型合同（等价）的充要件3.△〇实域上对称矩阵（二次）合同（等价）规范准形（规范形）的存唯一性4.实数域对称矩阵（二次型）惯性指标和符号差5.△〇实域上对称矩阵（二次）合同（等价）的充条件第四节

正定二次型1.正定二型的定义2.△〇实次型为正定二次型的定条件--6

精选文库第七章线性空间一教学基本要求1．初了代数运算的概念。2．理线空间的概念及有关概念：线性相关、线性关、维数、基、坐标子空间、子空间的交和、子空间的直和、余子空间等等。3．掌线空间的简单性质，基变换和坐标变换；已一个向量在一组基下坐标，会求它在另一基下的坐标。4．掌握子间的判别法，理解生子空间的概念并掌握成子空间的集合形式掌握两个生成子空相等的条件，生成子空间的基、维数的求法。5．掌维公式及其证明方法并能灵活应用；掌握常的几个子空间直和的别法。6．理线空间的同构映射和线性空间同构的概念握构映射的基本性质解维数是有限维线空间的唯一的数量特征。掌握数域两个有限维线性空同构的条件。二教学内容第一节第二节

线性空间的定义与简单性质维数、基与坐标1．△〇向组的线性相关性1）向量的性组合（线性表示）其性质2）向量组线性相关和线性无关定义及性质3）向量组等价，极大线性无关4）*替换理及其推论2．△基与数的定义及性质3．△基的渡矩阵及其性质4．向量的标，坐标变换公式第三节

线性子空间1．△子空的定义和判别条件2．△子空的交与和3．△〇有维子空间的交与和的数公式4．△〇子间的直和、余子空间余子空间的存在性第四节

线性空间的同构1．〇构定义及简单性质2．〇限线性空间同构的充要件第八章线性变换一教学基本要求1．理线变换的概念，掌握线性变换的基本性质。2．掌线变换的运算，明确数域上线空间的线性变换作成集合关于线性变换的法和数量乘法运算作数域上的一个线性空间。3．理可变换的概念，掌握其常用的判别法。4．理线变换的矩阵的概念和线性变换与矩阵的紧联系握利用矩阵计一个向量在线性变换之下的象明性变换在不同基下的矩阵是相似，而两个相似的矩阵以看成同一线性变换某两个基下的矩阵。5．切理线性变换的特征值与特征向量的概念和n阶方阵的特征多项式特值与特征向量的概念实掌握有限维线性空间中线性变换的特征值、征向量的求法。掌握n阶阵的特征多项式结构定理及哈密顿—莱定理。6．掌n维性空间V的一线变换可对角化的一些充分条件与充要条件在满足可对角化时能矩阵化成对角形。7．理线变换的值域、核、秩和零度等概念，掌握下性质：1）值由象组线性生成；2）值的数等于线性变换的秩等于其矩阵的秩；3）有维性空间的线性变换的与零度之和等于这个性空间的维数。4）有维性空间的一个线性变是映上的（满射）充条件是这个线性变换一一的（单射--7

精选文库8．理不子空间的定义关不变子空间的常用简单事实线变换在其不变子空间上导出变换的概念，了解线性空间关于一个线性变换解成不变子空间的直与这个线性变换的矩的化简之间的关系，步掌握按线性变换的征值将空间分解成不变子空间的和的事实。二、教学内容第一节

线性变换的定义1．△性换的定义2．线变的简单性质第二节

线性变换的运算1．加与量乘法及其算律2．△乘及其算律，线性变换的多项式3．〇逆性变换及其逆变换第三节

线性变换的矩阵1．△性换的矩阵2．向的的坐标公式3．△线变换与矩阵的同构对应4．△线变换在不同基下的矩阵，相似矩阵第四节

特征值与特征向量1．△特征、特征向量和特征多式的定义和求法2．△矩阵秩和行列式与特征值关系3．相似矩的特征多项式第五节

对角矩阵1．△于同特征值的特征向量的线性无关性2．〇征空间的维数与所属特征值的重数的关系3．△线变换和矩阵可对角化的条件第六节第七节

线性变换的值域与核不变子空间1．△变空间的定义和简单性质2．不子间与简化线性变换的矩阵之间的关系第八节

矩阵的若当Jordan）标准形第九章欧氏空间一教学基本要求1．理实域上线性空间中引入度量概念从而定义欧空间概念的梗概欧空间的概念及向量度和两个向量的夹角的概念，掌握Cauchy-Schwarz等式。2．理n维氏空间中基的度量阵及由此而确定的氏空间的内积度矩阵的性质与不同基度量矩阵之间的关系。3．理正组、标准正交组、正交基、标准正交基等念，切实掌握Schimidt正化方法，掌握正阵的简单性质。4．理