浅谈结构视域下高中数学概念课教学 论文

浅谈结构视域下高中数学概念课教学——以《基本不等式（第1课时）》为例摘要：合肥市新课程新教材下高中数学基于学科核心素养的大单元课堂教学已经实施一年有余，本文从培育学生数学核心素养角度出发，从知识整体结构视角浅要分析高中数学概念课的教学流程，整合出高中数学概念课的六大步骤，并结合具体课例进行分析，最后得到高中数学单元教学的一些启示。关键词：核心素养，结构视域，教学流程，单元教学2020年9月安徽省全面启用高中数学新教材，同年8月人民教育出版社对新高一教师进行了全面系统的线下培训。为切实推进合肥市普通高中新课程新教材实施工作，深入研究大单元和主题式教学设计与实施，积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学改革，确保各学科教师全面准确把握新课程内涵和新教材要求，2021年8月，合肥市教科院举办了“基于学科核心素养的大单元教学设计及实施”系列课堂教学主题研讨活动。经过前几次的线上培训和全员“大练兵大比武”活动，绝大部分数学教师对于大单元课堂教学都有一定程度的学习，也从培训中汲取了很多宝贵的教学经验。众所周知，单元教学离不开知识结构的构建。上好新课程新教材下的大单元新授课，需要教师课前细致的研读新教材，把握上课主线，课上合理设置问题情境，借助问题情境串起单元知识脉络，让学生参与课堂活动，主动学习数学知识。任何系统都有结构，系统只有开放，与外界有信息交换，才可能使结构有序，结构化即是系统有序化的标志[1]，数学教学也不例外。数学知识一般由概念，命题，定理等不同的知识结构构成，而数学概念是反映数学对象本质属性的一种思维形式，是推导出数学定理、法则的基础，准确领悟数学核心概念是学生系统获得数学知识的源泉，是学好高中数学的关键[2]。因此在进行高中数学概念课教学时，需要把它嵌入在完整的概念体系中，以结构化的视角建构起数学知识之间内在的联系，形成完整有序的系统。教学时要厘清数学概念的发展脉络，树立“整体观”和“系统观”。在新课程新教材的背景下，教师应当从整体上把握数学的教学内容，在课堂上要注意核心素养的落实。在结构视域下开展高中数学教学，不仅有利于帮助学生从整体上理解数学知识，还有利于学生形成自己的认知结构。因此，数学单元教学不仅需要关注课时教学内容和目标，还要关注单元教学内容和目标。因此提出“结构视域下的数学单元教学”[3]：在高中数学知识结构框架下，基于学生数学认知的基础，以学生的数学思维为桥梁，形成符合学生认知水平的逻辑链，借助多媒体信息技术，结合教师自身扎实的专业素养而实现的一种综合的教学方法。这里给出数学概念新授课（课时）的“六环节”教学流程（将新教材的每一章称为“大单元”，每一小节称为“小单元”）。以下将简单介绍这六个环节，并以人教A版高中数学必修第一册《基本不等式（第1课时）》为例来叙述这一教学流程的实施。一、教学流程介绍 1.章节导图

乘坐地铁之前在地铁站的醒目位置会有一个“导览图”，为了方便乘客根据自己需求选择乘坐的站数，标有相应的出站口是为了让乘客按照实际情形方便出站。数学学科的章节概览不像地铁站里简单的“导览图”，而是为了凸显教材内容的知识结构，在教学中起到提纲挈领的作用。没有章节导图的引领，学生学习数学知识只是单一的学习，不能掌握知识间内在联系。有了章节导图，学生就可以从整体的角度把握知识结构间的内在联系，了解知识的来龙去脉。 章节导图在每个大单元起始课中，有着“知识框架”的功能；在小单元和课时教学中，是学生自己认识的“知识框架”。 2.问题情境

高中数学学习比初中数学的学习更加抽象，所以需要通过设置合理的问题情境来激发学生学习的欲望，通过问题的设置，尽可能的让学生构建自己对新知的认识。数学问题情境大部分来源于现实生活，数学学科本身，多学科交融等。 学生在真实的情境下学习可以极大的调动学习兴趣，参与新知学习，在“章节导图”的指引下，进一步加深自身对新知结构的认识，利于后续学习。 3.新知构建

最早提出建构主义的皮亚杰认为：学习是在一定情境即社会文化背景下，借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程。建构主义提倡在教师的指导下的、以学习者为中心的学习。学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。 学生在前一环节“问题情境”下对知识有了初步的认知，此时教师要适当引导学生辨别分析，进一步构建新的知识结构，为下一步“巩固强化”铺路奠基。 4.巩固强化

本环节主要由例题和练习构成，例题与练习相互配合，相辅相成。先给出例题进行新知的巩固，之后用相对应的练习加以强化。通过例题和练习的学习与训练，教师逐步揭示其中蕴含的数学思想方法和解题步骤（流程），教师要适当的给出规范的书写与表达。通过本环节的设置，可以进一步激发学生的思维，促进学生的个性发展。 5.小结回顾

本环节主要是在完成主要的教学任务后，教师用简练的语言对本节课流程进行回顾，归纳学习新知的数学思想方法，需要注意的地方（包括易错点），适当点评学习本节课的作用与地位。通过小结“小”感受单元的“大”，以小见大。 “小结回顾”一方面可以帮助学生构建良好的认知结构，另一方面可以帮助学生形成正确的科学思维观，是教学流程中重要的一个环节。 6.单元回眸

在“小结回顾”后再次回到“章节导图”，提示学生本节课完成了大单元下具体小单元的教学任务，借助框图完善知识的建构。同时通过“章节导图”进一步感受新知的地位与作用，还可以直观看出已经学习了哪些知识，还将要学习那些新知，也可以适当安排学生提前做好下一新知的预习。结构视域下的高中数学概念课学习是基于整体的角度把握知识体系，学生时刻明确自己学习的目标与方向，从整体角度学习新知。由于在问题情境下通常伴随局部的新知生成，新知在层层构建中也会有新的问题情境出现，所以“问题情境”与“新知构建”这两个教学环节是相互交融，交替进行。二、教学案例展示 本节课《基本不等式》是大单元《一元二次函数、方程和不等式》下第2个小单元的第1课时部分，能较好的体现结构视域下高中数学概念课教学环节。 1.章节导图

教师展示图1，结合图1中的框图讲解已学和未学的内容，重点讲解各知识之间的关联。可以先介绍本章三个小单元的整体框架，之后按照学习知识的先后顺序在图1中由左到右展示第一个小单元（按列）内容（相等关系与不等关系），最下方的第二个小单元（基本不等式），和由第一个小单元平移延伸得到的第三个小单元内容（二次函数与一元二次方程、不等式）。 最后点击图1中的第二个小单元“基本不等式”，会出现图2，也即本节课的新知结构框图，接着告诉学生将要按照图2的研究路径开展新知的学习。图1图2 [设计意图：课首给出章节导图，呈现给学生整个大单元的知识框架，简要介绍新知学习的流程：情境（抽象定义）→建构新知（代数证明）→几何解释→巩固强化→应用提升。使学生站在整体的角度把握新知学习的流程。]

2.问题情境与新知建构

（1）基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢?下面就来研究这个问题。问题1：在上一节，我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式：对于任意实数,ab有a2+b2³2ab，当且仅当a=b时，等号成立。特别地。如果a>0,b>0，我们用a，b分别代替上式中的,ab。可以得到怎样的式子?师生活动：学生独立计算后回答，教师总结:对于a>0,b>0,得到a+³2ab，变形为ab£a+b①，当且仅当a=b时，等号成立，通常我们称不等式①为基本不2等式，其中，ab叫做正数,ab的算术平均数，ab叫做,ab的几何平均数。基本不2等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。[设计意图：导入语为衔接上文，起到承上启下的作用，这也体现了结构视域下课堂教学的整体性一贯性。通过取上一节课得到的重要不等式a2+b2³2ab的特殊形 ab

式，获得基本不等式 ab

，同时在两个不等式之间建立联系，加深对基本不 2

等式的认识。]

（2）基本不等式的证明问题2：前面，我们通过考察a2+b2³2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢? 师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用平方后作差比较法证明上式，教师在肯定学生的做法之后，给出教科书第44页用分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了。 追问(1)：上述证明中，每一步推理的依据是什么?师生活动：学生分别回答教科书第44页的证明过程中，由②→①，由③→②，由④→③，由⑤→④的依据。追问(2)：上述证明方法叫“分析法”。你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗?师生活动：学生讨论后回答。教师总结：分析法是种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。追问(3)：根据教科书第44页的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的?师生活动：学生思考后回容。教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证......只要证......的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然XXX成立”。[设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，考虑分析法证明问题的困难，因此以问题串的形式激发学生的求知欲和探索欲，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，另一方面类比重要不等式整体证明过程，建构基本不等式的代数证明，这个过程体现了结构视域下数学知识的整体性，整个证明过程水到渠成，自然而然，学生也从中对新知学习有了初步的认识。特别的，分析法为学生整个高中阶段的证明提供了更为便捷的证明方法。]（3）基本不等式的几何解释图3问题3：在图3中，AB是圆的直径。点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接ADBD。你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗?师生活动：学生思考后回答。教师引导学生总结:从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于a+b，CDab所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意2一条弦”得到解释。当且仅当弦过圆心时，二者相等。[设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常难的，因此这里给出了几何图形，引导学生将ab和ab与图中的几何元素建立起联系，数形结合，在2图形变化中观察这些几何元素大小关系的变化，这也体现了概念的本质，也即比较两个不同线段长短的问题，是继代数证明后从整体角度获得基本不等式的几何解释。数学问题的证明从整体上看，有代数和几何两种解释，几何解释促进了学生对基本不等式的理解，提升了学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。]3.巩固强化例1已知x>0，求x1的最小值。x追问(1)：“求x1的最小值”的含义是什么?x师生活动：学生思考后回答。教师总结:求x1的最小值，就是要求出一个y(x1)，使x>0，都有xx00x01

+³xy0。追问(2)：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点?是否可以利用基本不等式求x1的最小值?如果能，如何求?x师生活动：学生思考后回答。教师总结：本题中要求的代数式是x与1和的形式，而且x.11由于x1是x与1xxx的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数x1是一个定值，所以可以利用基xx本不等式求解。教师展示教科书第45页例1的解答过程。追问(3):在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当x1即x2=1,x=1时，等x号成立？师生活动：学生讨论后回答。教师总结：这是为了说明“2”是x1的一个取值。请同学们想想，当y<2时，xx01

+³y成立吗?这时能说y是x1(x>0)的最小值吗?x00x追问(4)：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗?师生活动：学生讨论后回答。 教师总结：代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗地说，就是“一正、二定、三相等”。变式：已知x0求x1的最值。x[设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否满足使用基本不等式的条件，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供规范书写与解答。结构视域下的例题设计需要配备相关变式为了建立起特殊到一般，一般到特殊的联系，例1后的变式还体现了分类讨论的数学思想。另外，教师亲自示范解答过程，强调书写规范，总结用基本不等式解决求最值问题的主要步骤。]例2已知,xy都是正数，求证:=y时，和x+y有最小值2p;(1)如果积xy等于定值P，那么当x(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值s2.4 师生活动:师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善。追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗?师生活动：学生思考后回答。教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决。 [设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题如何直接利用基本不等式解决问题，同时借助本题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，“积定和最小，和定积最大”，同时为下一节用基本不等式解决实际问题铺路奠基。]

课堂练习：1.当x取什么值时，x1取得最小值？最小值是多少？x22.已知1x1，求1x2的最大值。 [设计意图：通过设置课堂练习来检测学生学习新知的效果，第1小题基于基本不等式使用条件，第2小题仿照例2，利用“和定积最大”来求最大值，两道题目要求学生完整书写解答过程，规范学生使用基本不等式解决求最值问题的一般步骤，加深对基本不等式的知识建构。]

4.小结回顾

教师引导学生回顾本小单元的内容，并回答下面的问题：

(1)什么是基本不等式?如何推导得出基本不等式?(2)基本不等式的代数特征是什么?如何从几何图形上解释? (3)基本不等式的使用条件是什么?如何利用基本不等式解决最值问题?需要注意什么?(4)本节课有哪些数学思想