高考数学热点题型训练第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

16－k416－k4第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系考点一

直线与圆、圆与圆的位置关系[例1](1)(2013²陕西高)知点M(b在圆O＋＝外，直线＋＝与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．离．不确定(2)(2014²南昌模拟若点1,2)总可以作两条直线与圆x＋＋＋2y＋k

－15＝相切，则实数的值范围是________________．[自主解答因M(，b在圆O：＝1外，以＋b>1，而圆心O到线|²0²01＋by1的距＝＝<1，所以直线与圆相交．a＋a＋1(2)把圆的方程化为标准方程2

3＋y＋＝16k4

，38383所以16－k>0，解得－<<，433由题易知点1,2)应在已知圆的部，把点代入圆的方程得1＋＋＋4＋－15>0(－2)²(＋3)>0，解得>2或<3，8383则实数k的值范围，333883[答案](1)B，333【动究在本例2)中的条件“总可以作条直线”改为“至多能作一条直线”，结果如何？解：依题意知点1,2)应在圆上圆的内部，3>0，所以有

1＋4＋＋＋k－15，解得－≤【法律1．判断直线与圆的位置关系的法(1)几何法：①明确圆心C的标，b)和径，将直线方程化为一般式；②利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；③比较d与的小，写出结论．(2)代数法①线方程与圆的方程联立去一个变量②判断二次方程根的个(与0的系；③得出结论．2．圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：(1)确定两圆的圆心坐标和半径；(2)利用平面内两点间的距离公求出圆心距，r＋|；(3)比较dr＋，－|的小，写出结.1．直线yx＋1与圆＋＝的位关系是)A．相切．相交但直不过圆心

2eq\o\ac(△,S)AOBeq\o\ac(△,S)AOB2eq\o\ac(△,S)AOBeq\o\ac(△,S)AOBC．直线过圆心D．相离解析：选B法：消去，整理得x＋＝，因为Δ＝－4³1³0＝，以直线与圆相交．又圆＋＝的圆心坐标为(0,0)，且≠01，所以直线不过圆心．法二：圆x＋＝1的圆坐标(0,0)，半径长为1，则圆心到直线＝＋1的距12＝＝.2因为0<

22

<1，所以直线y＋1与＋＝交但直线不过圆心．2．圆：x＋＋＋2y－＝0与C：x＋y－x－2＋＝的公切线()A．1条B．条C．3条D．条解析：选D圆C：＋1)＋＋1)＝，∴圆心C－1，1)，半径长＝；圆：－＋y－＝，∴圆心C(2,1)，径长r＝1.∴＝－2＋－＝13，＋＝，∴>＋，两圆外离，∴两圆有4条切线．考点二

与圆有关的弦长问题[例2](1)(2013²安徽高)线＋2－＋5＝被x＋2－y＝截的弦长为)A．1．．．6(2)(2013²江西高考过(2，0)直线l与线y＝1－相交于，B两点，为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的率等于)A.

33B．－C．±．－3333|1＋－＋5|[自主解答因圆心(1,2)直线＋－＋50的离d＝＝1＋1，且圆的半径＝5.所以所得弦长＝5－＝4.(2)由于y＝1－，即x＋＝1(≥0)，直线l与x＋＝1(≥0)交于A，B两点11如图所示，＝³1³1³sin≤，且∠＝90°时，取得最大值，此时AB22＝2，点到线的离为3为－.3[答案](1)C(2)B

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，则∠＝30°，所以直线l的倾斜角为150°则斜率

【方法规律】计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距即圆心到直线的距)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式||＝1＋x－|＝1＋[x－x].AAB1．直线yx被圆＋y－＝得的弦长________．|0－2|解析：法一：几何法：圆心到直线的距离为d＝＝2，圆的半径r＝，所以弦2长＝2³r－＝4－＝2.法二：代数法：联立直线和圆的方程＝，

消去y可x－0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，长为2－0＋20＝2.答案：22．(2014²济南模拟)已知圆C过(1,0)，圆在x轴正半轴上，直线ly＝－1被所得弦长为22圆心且与直线直的直线的方程________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＝，圆心坐标为0)则由题意知|a－1|(－，得＝或a＝1，又因为圆心在x轴正半轴上，所以a＝，2故圆心坐标(3,0)．因为圆心(3,0)所求的直线上，所以有＋＋＝，即m＝－，所求的直线方程为＋y－＝0.答案：＋－＝高频考点

考点三

圆的切线问题1．与圆有关的切线问题，是近来高考在本节命题的一个热点问题，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中、低档题目．2．高考对圆的切线问题的考查要有以下几个命题角度：(1)过圆上一点求圆的切线方程(2)过圆外一点求圆的切线方程(3)与切线长有关的问题；(4)与切线夹角有关的问题．[例3](1)(2012²江西高)过线x＋22＝上P作圆x＋

＝的两切线，若两条切线的夹角是60°，则P的坐________．(2)(2013²江苏高考如图，在平面直角坐标系中点A(0,3)直y2x－设圆C的半径为1，圆心在l上

①若圆心C也在直线＝－，过点作C的切，求切线的方程；②若圆C上在点，使MA＝MO，求圆心C的横坐标a的值范围．[自主解答如所示，||||＝＝，sin∠OPA设(，y，则

x＋＝，－2＝0

，，故(2，2)(2)①由题意知，圆心C是线＝x－和y1交点，解得点(3,2)，是切线的斜率必存在．设过(0,3)圆C的线方程为＝＋，|3－＋3|依题意知，＝，k＋3所以＝0或－，43因此，切线方程为＝3或y＝＋，4即切线方程为y－＝或x4－12＝②因为圆心在直线＝2x－，所以圆C的程为(－＋y2(－2)]＝1.设点(，)，因为MAMO，所以x＋y3＝x＋，化简得xy＋2y－＝，x＋＋1)＝，所以点M在D(0－1)圆心，为半径的圆上．由题意，点Mx，)圆上所以圆C与圆D有公点，则|2－1|≤CD≤21，即1≤a＋2－≤3.由5－12＋8≥0得∈R；12由5－12≤0得0≤.512所以点C的坐标a的值范围为0，.5[答案](1)(2，2)与圆的切线有关的问题的常见类型与解题策略(1)过圆上一点求圆的切线方程首先考虑切线斜率不存在时，是否符合要求，其次考虑斜率存在时，由直线与圆相切，求出斜率，进而得出切线方程．(2)过圆外一点求圆的切线方程方法同上．(3)与切线长有关的问题．解题应注意圆心与切点的连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形，然后求解．(4)与切线有关的夹角问题．与(3)同，利用直角三角形解决问题．

16aa16aa1．(2014²大庆模拟已知圆C的半径为，圆心在x轴正半轴上，直线3＋y＋＝与C相切，则圆的程为()A.x＋2－＝B.x＋＋＝C.x＋2－＝D.x＋－＝解析：选D设心的坐标为a,0)(>0)又因为直线3＋y＋4＝与圆相，|3＋4|所以＝，3＋14解得＝2或－(舍，3因此圆的方程为x－＋＝，即

－x＝32．(2014²豫东、豫北十校联圆在曲线y＝x上，且与直线3＋y＋＝相x切的面积最小的圆的方程()3A．(x－＋2

＝B．(x－＋y－＝18C．(x－＋y－＝D．(x－3)＋(－3)

＝33解析：选A设所求圆的圆心坐标则

(>0)直线＋y＋121212＋＋＋23³3aaa12＝的离d＝≥＝，当且仅当a＝，a＝555a33时取等号，因此所求圆的圆心坐标是3圆的方程(－2)＋2———————————[课堂归纳—通法领悟——————————————2种法——解决直线与圆位置系的两种方法见本节考点一[方法规