高考复习第51讲-离散型随机变量的分布列、期望与方差

1iniii1nMNM－第讲离散型随变量的布列、望与差【学习目1iniii1nMNM－

的方差为DY＝－76.4)2(85－2×＝112.04.

×＋(65－2

×＋(75－2

×＋1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布．2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题．3．理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解．【知识要点】1．离散型随机变量的分布列随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个定的数字表示字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母，Y，，等来表示．离散型随机变量对于随机变量可能取到的值可以按一定顺序一列出这样的变量就叫离散型随机变量．分布列设离散型随机变量可能取的值为x，，…，x，…，x，而每一个值的概率为(＝)＝p(i1，，…，)．则称表为随机变量的概率分布列．分布列的两个性质

由以上的计算结果可以看出，DX<，即购进枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX<，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17玫瑰花Y表示当天的利润(单位元)那么的分布列为的数学期望为EY＝×0.1＋650.2＋×＋85×＝由以上的计算结果可以看出，EX<，即购进17玫瑰花时的平均利润大于购进16时的平均利润，故花店一天应购进枝玫瑰花．P148．某花店每天以每元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．若花店一天购进16玫瑰花求当天的利润(单位元关于当天需求量n单位：枝，n∈N)的函数解析式；花店记录了100玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：①0≤≤1，i＝1，2，…2．两点分布如果随机变量的分布列为

②p＋＋…＋p＝1．

以100记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．ⅰ)若花店一天购进枝玫瑰花X表示当天的利润(单位元求X的分布列、数学期望及方差；ⅱ)若花店计划一天购进16或17玫瑰花你认为应购进16还是17？请说明理由．其中<1)q＝1，则称离散型随机变量X服从参数为的两点分布列．3．超几何分布列

8.【解析】(1)当n≥16时，y＝×(105)＝，当n≤时，＝5n－－)＝n－，在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含X件次品数，则事kn件{＝k}发生的概率为P(X＝)＝，k＝01，2，…，m其中nm＝min{，n}，且n≤N，≤N，n，，∈N*，称此分布列：P1

10n－80（≤）得：y＝（n≥16）ⅰ)X可取60，70，，

nN)．的数学期望为＝×0.1650.2＋75×＋×0.54，

(＝60)＝0.1，＝0.2＝80)＝

2C1＝n6622112261222112211nii35232C1＝n6622112261222112211nii35235＝600.1＋×＋×0.776.DX＝2×0.162×＋40.744.ⅱ)答案一：花店一天应购进枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进枝玫瑰花表示当天的利润单位元)那么Y分布

若服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，D＝np－p)．典型例题考点一、超几何分布及其应用例题1.某校校庆届校友纷至沓来班共来了n位校友n且n∈*，其中女校友6，组委会对位校友制作了一份校友名单，现随机从中选位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．1若随机选出的2校友代表为“最佳组合”的概率等于，求的值；当n12，设选出的位校友中女校友人数为ξ求ξ的分布列和Eξ.列为

【解析】由题可知，所选两人为最佳组合”的概率＝

n62

12n－6）n（n－1）

，则

12－6n－1

1＝，2化简得n

2

－25n＋144＝0，解得n9(舍去)或n＝16，故n＝16.

P2由题意得，ξ的可能取值为，1，2.P13

则(＝＝

25C1＝，(ξ＝＝＝，1212(＝＝

25＝.为超几何分布列．、4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量ξ的分布列为：均值：称Eξ＝x＋＋…＋x为随机变量ξ的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的均水平．方差：称D＝∑－Eξ)2p为随机变量ξ的方差，它刻画了随机变量与其i1均值Eξ的平均偏离程度，其算术平方根Dξ为随机变量ξ的标准差．5．均值与方差的性质E(a＋b＝ξ＋b．(2)Daξ＋b)＝aDξ．6．基本性质若ξ服从两点分布，则ξ＝p，Dξ＝pp

5∴ξ＝0×＋1×＋×＝【点评】超几何分布的特征是：(1)本空间的N个元素可分为两类元素，其中一类元素共M(＜N)从个元素中取出个元素机变量是这n元素中含某类元素的个数．考点二、二项分布及其应用例题福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方2案方案甲的中奖率为中奖可以获得分；方案乙的中奖率为中奖可以获得3未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X求≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？2【解析】方法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为小红中奖的概率为，

34235151515151543121223512iiA14iAAA111121AAA112A422＝.1且两人中奖与否互不影响．记“这人的累计得分≤”的事34235151515151543121223512iiA14iAAA111121AAA112A422＝.12211因为(＝＝×＝，所以P(A)＝1＝5)＝，11即这两人的累计得分≤3的概率为.1111所以()＝1－P(X＝5)＝，即这两人的累计得分≤3概率为.设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X，都选择方案乙抽奖中奖次数为，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为X，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为．由已知可得，

＝1－P(X＝－(＝＝1－4×0.8×－0.8＝1－2×0.8＝0.18.设一年内该员工扣Y销售津贴，Y＝0，500，1(＝＝0.8＝，(＝＝×0.8×0.2＝，(＝1＝－P(＝0)－P(Y＝500)＝所以EY＝500×6＋1＝一年内该员工平均扣元销售津贴．P12～B～B

P3

6．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车7某公司规定员工的销售津贴按季度发放如果员工没有完成季度销售任务，则在其相应季度的销售津贴中扣除元，但每个员工全年最多扣除1000元销售津贴．设某员工完成季度销售任务的概率为0.8，且每个季度是否完成销售任务是相互独立的，计算(结果精确到0.01)：一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率；一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率；一年内该员工平均扣多少销售津贴．7.【解析】用表示一年内该员工第i个季度完成销售任务，由已知有：P()_＝0.8，P＝0.2，i＝1，2，3，4，且，，，相互独立．一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率为___A＝(·)＋(··)＋(···)

首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲乙两种品牌轿车保修期均为2，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；＝(

(＋)P

(

_A3

)A)P(A)(

A

_3

_()

该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车经济效益的角度考虑认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．6.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A＝0.2＋0.8×0.2＋×0.2＝×(1＋0.8＋0.8)≈0.10.

则()＝

2＋315010设一年内该员工有X个季度完成销售任务，由题设知X服从二项分布，．一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴年内该员工至少有两个季度没有完成销售任务，故其概率为

依题意得，X的分布列为

22550501101021239335512351122431235936223555231515121991535a322550501101021239335512351122431235936223555231515121991535a3252552122·＝，由(2)得，13143()＝1×＋2×＋3×＝＝万元)，19()＝1.8×＋2.9＝2.79(万元)．因为()>(，所以应生产甲品牌轿车．

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【点评】二次分布的题设情境是试验或可化为独立重复试验．P4考点三、离散随机变的分布、数期望与差例题3.(2013江)设袋子中装有个红球，b个黄球个蓝球，且规定：取出一个红球得1，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3．当a3b＝2＝时，从该袋子中任(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此球所得分数之和，求ξ的分布列；从该袋子中任取每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球P11

55所得分数．若Eη，Dη，求a∶b∶.24所以(＝2×＝，E＝2×＝，812从而＝2E(＝，＝3E()＝.

【解析】由题意得，ξ＝2，3，4，56.3×31××1(＝＝＝，ξ＝3)＝＝，6×666因为)>E(3X)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．2方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分≤3”的事件为，则事件包含有“X＝0“＝2”“＝3三个两两互斥的事件，

(＝＝(＝＝

2×3×1＋2×25＝，6×6182×2×1×1＝，(ξ＝＝＝6×666因为(＝＝，P(X＝2)×35(X3)＝＝，51511所以()＝P(＝0)＋P(X＝2)＋＝3)＝，11即这两人的累计得分≤3的概率为.

所以ξ的分布列为设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X，都选择方案乙所获得的累计得分为，则，的分布列如下：

所以Eη

ab3＋＋a＋b＋＋b＋cab＋c

5＝，314所以(＝0×＋2×＋4×＝，

2D＝·

2＋·a＋＋

b＋a＋b＋91212()＝0×＋3×＋6×＝.因为()>E(，

ca＋b＋

52125221212121217223912222222252125221212121217223912222222252P54．某学校要从名男生和2名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望ξ＝果用最

P10考点集1．已知X～n，p)，E(X)＝8D(X＝1.6，则和值分别为()A．100和0.08B．和．和D．和0.8简分数表示)．2104.【解析】可取，，，因此P(＝＝＝，(ξ＝1)711210101＝＝，(ξ＝＝＝，Eξ＝0＋1＋2×＝.77

＝8【解析∵X～n)E(X)＝D＝np－p)而有（1－p）＝1.6解得n＝，p＝

，2．设随机变量的分布列为(ξ＝)＝

ck（k＋1）

，k＝1，2，3，c为常数，则＜ξ＜2.5)＝．5．设p非负实数，随机变量X的概率分布列为：

2.【解析】由

cc4＋＋＝1，知c＝，1×223348＜ξ＜2.5)＝(ξ＝(ξ＝＝.则的最大值为_；的最大值为___－≤1，5.【解析】由≤1，

1得0≤p≤，

3．随机变量的分布列如下：于是EX＝0×－1＋2＝p＋113显然EX的大值为＋1＝；DX＝－p－1)·－－p－2·p(2－p－

·

12

则：x＝；(2)(ξ>3)＝(1≤<4)____．3.【解析(1)由分布列性质得0.1＋0.25＋0.3＋0.1＝1，解得x＝0.1.P(ξ＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＋P(ξ＝＋＋0.1＝P(1≤<4)＝P(ξ＝＋P(ξ＝＋P(ξ＝3)0.1＋0.25＋0.1＝0.45.＝－＋∴当p＝0时，DX得最大值，且最大值是1.4P9

44444C.D.ijij33516283662814283328144331053313310533022137－－＝.373510544444C.D.ijij33516283662814283328144331053313310533022137－－＝.3735105化简得a＋4b－11＝0，解得＝，b2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.考四期与差实应例题4.(2013庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装3红球与4白球的袋中任意摸出3个球，再从装

阅读解题意后由题意确定随机变量的可能取值时对所取的每一个值的实际背景理解到位后，才能正确计算其概率，最后解决问题．【基础测】451．设是服从二项分布B(n，p的随机变量，又ξ)＝15，Dξ)＝，则n与p的值为()个蓝球2个白球的袋中任意摸1个球摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

A．60，

34

B．

1．，D．50，4511.【解析】由ξ～n，p，有ξ)＝np＝，()＝np(1－p)＝，∴p＝n＝60.2．已知袋中装有个白球、2个黑球，从中任取个球，则取到白球个数ξ的期望()＝()其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．求一次摸奖恰好摸到1红球的概率；

A．2B.

59612828求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望(．【解析】设表示摸到i个红球，表示摸到j个蓝球，则i＝0，1，2，3)与j＝0，1)独立．12恰好摸到个红球的概率为P(A)＝＝.37X的所有可能值为0，，，200，且31(＝＝＝A)P(＝·＝，3732(＝＝PAB)＝PA)P(＝·＝，37

122.【解析】取到的白球个数可能的取值为12，3.所以P(＝1)＝＝；82115C3(＝＝＝；(ξ＝3)＝＝.此取到白球个数ξ的期望ξ)＝＋8815592×＋3×＝＝.3．已知随机变量X分布列为：则(6X＋8)于____．(＝＝PAB)＝PA)P()＝

21124·＝＝，3105

3.【解析】E(X)＝1×0.2＋2×0.43×0.4＝0.20.8＋1.22.2，∴(6X＋8)6()＋8＝6×2.2＋8＝＋＝21.2.(＝0)＝1－

12105105357

4．已知随机变量的分布列如下：综上知的分布列为64从而有()＝0×