随机过程第三课件

随机过程第三课件第1页，共15页，2023年，2月20日，星期日引言[泊松分布]

随机变量X

的所有可能取值为0,1,2,…

，而取各个值的概率为则随机变量X

服从参数为的泊松分布，简记为()。第2页，共15页，2023年，2月20日，星期日3.1泊松过程的定义[定义]称{N(t),t0}

为计数过程，若N(t)表示到时间t

为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件：

(1)N(t)0;

(2)N(t)取整数;

(3)若s<t，N(s)N(t);

(4)当s<t时，N(t)N(s)等于区间(s,t]中“事件A”发生的次数。第3页，共15页，2023年，2月20日，星期日泊松过程[定义]称计数过程{X(t),t0}为具有参数

>0的泊松过程，若它满足下列条件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是独立增量过程;

(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数

>0的泊松分布，即对任意s,t0，有第4页，共15页，2023年，2月20日，星期日泊松过程的另一个定义[定义]称计数过程{X(t),t0}为具有参数

>0的泊松过程，若它满足下列条件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是独立、平稳增量过程;

(3)X(t)满足下列两式：第5页，共15页，2023年，2月20日，星期日泊松过程的几个实例考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在(0,t]

时间内收到的呼叫次数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t)

为时间(0,t]

内到达售票窗口的旅客数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。考虑机器在

(t,t+h]

内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在(t,t+h]

内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。第6页，共15页，2023年，2月20日，星期日3.2泊松过程的基本性质(1)泊松过程的数字特征均值函数方差函数相关函数协方差函数第7页，共15页，2023年，2月20日，星期日(2)

时间间隔与等待时间的分布设

{X(t),t0}是泊松过程，令X(t)表示时刻事件A发生（顾客出现）的次数，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn

——第n次事件A发生的时刻，或称等待时间Tn

——从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔第8页，共15页，2023年，2月20日，星期日时间间隔的分布Tn的分布函数：[定理]设

{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Tn,n1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn(n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/的指数分布。Tn的概率密度：第9页，共15页，2023年，2月20日，星期日等待时间的分布分布又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。[定理]设

{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Wn,n1}是对应的等待时间序列，则随机变量Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为第10页，共15页，2023年，2月20日，星期日例1已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0

正常工作的概率。[解]

仪器发生第k次振动的时刻Wk就是故障时刻，故仪器在时刻t0

正常工作的概率为:第11页，共15页，2023年，2月20日，星期日(3)到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布分布函数：分布密度：——均匀分布第12页，共15页，2023年，2月20日，星期日到达时间的条件分布[定理]设

{X(t),t0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间W1<W2<…<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布，第13页，共15页，2023年，2月20日，星期日3.3泊松过程的应用举例[例2]

设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n

，求在[0,s]内事件A发生k次的概率。参数为n

和s/t

的二项分布第14页，共15页，2