2022届上海市青浦高三年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022届上海市青浦高三下学期3月月考数学试题一、填空题1．已知集合，则______.【答案】【分析】利用集合交运算即可求解.【详解】由1<2及集合的交运算可知，.故答案为：2．复数,则复数的模为__.【答案】【分析】先将化简,再根据模的公式计算结果即可.【详解】解:因为,所以.故答案为:3．函数的定义域为______.【答案】【分析】利用对数函数的真数大于零列不等式，解不等式即可.【详解】定义域满足：解得或，所以函数的定义域为.故答案为：4．计算：__.【答案】【分析】根据极限的定义和运算法则计算.【详解】；故答案为：-1.5．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．【答案】【分析】先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.【详解】设球半径为，则，解得，所以【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.6．已知二项式，则其展开式中的一次项的系数为__.【答案】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】其展开式中含的项为，故其系数为，故答案为：7．点到直线的距离为__.【答案】【分析】计算行列式得出直线方程，再根据点到直线距离公式求解即可.【详解】计算行列式得，故点到直线的距离为.故答案为：.8．已知函数，若的图像关于中心对称，则最小的正实数__.【答案】##【分析】先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的对称性即可得解.【详解】，令，得，所以最小的正实数.故答案为：.9．已知有红绿黄蓝4个不同颜色的球及红绿黄蓝4个不同颜色的盒子,现在在每个盒子里放一个球,并且确保4个盒子与盒子里的球的颜色都不相同,则不同的放法有__种.【答案】9【分析】将所有情况进行一一列举出数数即可.【详解】解:记为红绿黄蓝4个不同颜色的球,将四个盒子按红绿黄蓝顺序放好,将表示放入四个盒子的球的颜色,则所有的结果为:共9种.故答案为:910．已知正六边形与线段在同一个平面内，数量积的结果构成集合，则集合的元素最少有__个.【答案】3【分析】由题意分析，只有当、两点与正六边形中的点重合时，数量积的结果会出现有相同的值，此时集合的元素最少，不妨假设点与点重合，利用数量积的计算求出结果即可.【详解】如图所示，当、两点与、重合时，即，此时所在直线是六边形的对称轴，形成的数量积就会有相等的若点与点重合，点与点重合如上图，有，，，则集合的元素最少有3个.故答案为：3.11．一定时段内，降落到水平地面上(假定无渗漏、蒸发、流失等)的雨水深度叫做雨量，如日降雨量是在1日内降落在某面积上的总雨量已知日降雨量小于10mm称为小雨、日降雨量在10~25mm称为中雨、日降雨量在25~50mm称为大雨、日降雨量在30~100mm称为暴雨某天下雨，小明将一个无盖的圆锥形的容器放置于屋外，一天后测得圆锥内水的深度为24mm，已知圆锥的高为48mm，则日降雨量为__mm.【答案】2【分析】根据相似可得雨水的截面圆半径，根据圆锥的体积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥内水的深度为24mm，已知圆锥的高为48mm，由相似得雨水的截面半径为，由定义，日降雨量为.故答案为：212．有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.【答案】1010【分析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和当时，，成立；假设时，当时，综上可得，，则数集的所有非空子集的“积数”的和为：故答案为：1010.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“积数”的理解和运用，以及“积数”的和的求法，求证对于有限非空数集，积数和是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题.二、单选题13．已知，则“”是“”的．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先对原不等式变形计算出k，再运用数学归纳法证明.【详解】等价于，当时，不等式成立，所以k的最小值是3，下面用数学归纳法证明：显然时，不等式成立，假设时，成立，则当时，左边=，右边，当时，，即，所以对于任意的，原不等式成立；故选：C.15．现给定两个命题：命题对任意的，都存在，使得；命题存在，对任意的，都有.则（

）A．命题都是真命题 B．命题都是假命题C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题【答案】C【分析】根据全称命题和特称命题的真假判断即可.【详解】解：对于命题：因为当时，，所以当时，有成立，故是真命题；对于命题：当时，不能满足成立，故是假命题.故选：.16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为的圆在一个半径为的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为，给出下列四个结论，正确的有（

）（1）星形线的参数方程为：（为参数）（2）若，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线在星形线的内部（包含边界）；（4）设星形线围成的面积为，则；A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3）（4）C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】A【解析】根据同角的三角函数的基本关系式可判断（1）（3）的正误，计算出星形线内部整点的个数后可判断（2）的正误，利用两个特殊图象的面积可判断（4）的正误.【详解】（1）把代入，此方程成立，故（1）正确；（2）若，则，显然，当时，，2个整点，当时，，2个整点，当时，，2个整点，当时，，6个整点，，当时，，6个整点，，当时，，11个整点，，…，，综上，共29个整点，故（2）错误；（3）曲线的参数方程为（为参数）星形线的参数方程为（为参数），因为，当且仅当或；或时等号成立，故比距离原点近或两者重合，故曲线在星形线的内部（包含边界），故（3）正确；（4）直线交星形线于点，，数形结合，星形线的围成的面积大于以这两点为直径的圆的面积，即，又显然，星形线围成的面积小于以，四点构成的正方形的面积，即，所以，故（4）正确；故选：A．【点睛】思路点睛：特殊曲线的性质的判断，可根据其指数的特征进行合理的三角换元，也可以根据曲线的特征进行面积的估计.三、解答题17．如图，正四棱柱中，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接与相交于，连接，由三角形的中位线性质可得，再通过线面平行的定理即可得到平面；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示，求出，以及平面的法向量，设与平面所成角为，则有，求解即可.【详解】（1）连接与相交于，连接，由于、分别是、的中点，则，因为平面，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，则，所以，，，设是面的法向量，则，令，即，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.18．在中，角，，的对边分别是，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求和的值.【答案】(1)(2)或【分析】(1)根据二倍角公式可得，进而得到角的大小；(2)由余弦定理得到，配方得到，结合题干条件解方程组，得到最终结果.【详解】（1）由二倍角公式得到，化简得到，.（2）根据余弦定理得到配方得到：解得：或.19．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．【答案】(1)不能，5000元；(2)400吨.【分析】（1）根据条件可得当时，设该项目获利为S，则，然后可得答案；（2）然后分别求出每段上的最小值作比较即可.【详解】（1）当时，设该项目获利为S，则；当时，，此时该项目不会获利；当时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．（2）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：则：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，，当且仅当，即时，取得最小值200；∵，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．20．已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：直线与的斜率之积为定值；(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．【答案】(1)(2)定值为，证明见解析.(3)三点，，共线，证明见解析.【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.（2）设，，，再计算即可.（3）分别计算和，根据，为公共点，即可证明，，三点共线.【详解】（1）由题知：，所以椭圆：.（2）由题知：，存在，且不为零，设，，，则，即..所以直线与的斜率之积为定值.（3），，三点共线，证明如下：设直线：，则直线：，将代入直线，得：，，，设直线：，联立，设，则，解得，所以，即，所以，，所以，为公共点，所以，，三点共线.21．记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①，②；（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．【答案】（1）①数列为“趋势递减数列”；②数列不是“趋势递减数列”；理由见解析；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）根据“趋势递减数列”的定义逐个分析可得结果；（2）由数列为“趋势递减数列”可得，①若，推出，经验证数列为“趋势递减数列”；②若，推出，经验证数列为“趋势递减数列”，由此可得结果；（3）利用反证法证明必要性，根据“趋势递减数列”的定义证明充分性,即可得解.【详解】（1）①中，由，，得（为正整数），因为，所以①数列满足“趋势递减数列”的定义，故①中数列为“趋势递减数列”.②中，由，，所以（为正整数），因为，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”．（2）由数列为“趋势递减数列”，得．①若，则，即，也即，此时为递减数列，故．所以，故（），满足条件．②若，则，则，即，由得，则，则，即，解得，所以．此时