2022届上海市南汇中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022届上海市浦东新区高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．直线的倾斜角为_________．【答案】【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】，则，斜率为则，解得故答案为【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题2．函数的定义域为___________________．【答案】【分析】由二次根式的限制条件可得求解即可【详解】由得，即∴函数的定义域为.故答案为：．3．三阶行列式中元素的代数余子式的值为________.【答案】34【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算．【详解】由题意，可知：（﹣1）1+2•[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．4．已知向量，，若，则__．【答案】##0.25【分析】根据两向量的平行关系得出方程，即可求出的值.【详解】由题意，，，，则，∴.故答案为：或0.25.5．圆心为且与直线相切的圆的标准方程是__．【答案】【分析】根据圆与直线相切得出圆心到直线的距离，即可求出圆的标准方程.【详解】由题意，圆的圆心为且与直线相切，∴圆心到直线的距离，∴圆的标准方程为.故答案为：.6．是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，则的周长是__．【答案】【分析】根据椭圆定义可得的周长为，代入数值即得结果.【详解】根据椭圆定义可得的周长为为，所以的周长为故答案为:7．双曲线的实轴长为，且的一条渐近线方程为，则的方程为__．【答案】或【分析】分别讨论当焦点在x轴和在y轴的情况，结合双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】由题意得，所以，当焦点在轴上时，设方程为，又的一条渐近线方程为，所以，所以，故的方程为；当焦点在轴上时，设方程为，又的一条渐近线方程为，所以，所以，故的方程为；综上，的方程为或.故答案为：或.8．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【分析】利用余弦定理得到，进而得到结合正弦定理得到结果.【详解】，由正弦定理得.【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于基础题.9．等差数列的前项和为，则__________【答案】2【详解】试题分析：，．【解析】等差数列的前项和，数列的极限．10．已知菱形的边长为，，点分别在边上，，.若，则的值为__________【答案】.【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴，，，，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，•2×2×cos120°＝﹣2，∵•1，∴（）•（）（1）•1，即44﹣2（1）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案为2．【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．11．在平面直角坐标系中，二元方程的曲线为，若存在一个定点和一个定角，使得曲线上的所有点以为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线为旋转对称曲线.给出以下方程及其对应的曲线:；

其中是旋转对称曲线的是__（填上所有符合题意的曲线）.【答案】，，【分析】画出图像，判断是否为中心对称图形，然后再确定定点和定角【详解】,为椭圆,是中心对称图形,存在一个定点和一个定角,即或,为正方形,存在一个定点和一个定角是轴对称图形,不是中心对称图形,是中心对称图形,存在一个定点和一个定角故答案为：，，．12．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，，已知点的坐标为，双曲线上的点满足，则______．【答案】2【分析】先求出双曲线方程，根据数量积的定义可知平分，再求出直线的斜率和方程，与双曲线方程联立求出点坐标，从而可得出平分，从而得出为内切圆的圆心，即可求出的值.【详解】椭圆的顶点为，焦点为所以双曲线方程为：，如图所示：因为，，由可得，可得平分，而，∴，∴直线的方程为，即，联立，解得，∴轴，又，∴，平分，即为内切圆的圆心．内切圆半径为，故，故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了向量在向量方向上的投影，考查计算能力，是中档题；由题意求出双曲线方程，再由向量等式可得平分，求出PF1所在直线的斜率，得到PF1所在直线的方程，联立直线方程和双曲线方程，求出P的坐标，进一步说明为内切圆的圆心，然后由三角形面积差结合双曲线定义求得答案.二、单选题13．直线方程的一个方向向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.【详解】解：依题意，为直线的一个法向量，∴方向向量为，故选：D.14．若，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】当时，，故方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充分条件，方程表示双曲线时，需满足，即或，故“”不是“方程表示双曲线”的必要条件，故选：A.15．已知函数的定义域为,复数,若,则的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出的定义域,然后化简复数,把表示成的函数求值域即可.【详解】由,得,即,所以因为复数所以因为,所以故选：B16．太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆.下列说法正确的是（

）①函数是圆O的一个“太极函数”；②函数是圆O的一个“太极函数”；③函数的图像关于原点中心对称是为圆O的“太极函数”的充要条件；④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数.A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】A【分析】本题首先可根据太极函数的定义得出经过原点的奇函数是圆的“太极函数”，然后对四个选项中的函数依次进行分析，即可得出结果.【详解】根据题意，圆，其图形关于原点对称，若函数为奇函数且经过原点，其图像关于原点对称，则函数的图像必定将圆的周长和面积同时等分成两个部分，故经过原点的奇函数是圆的“太极函数”，对于①项：函数是经过原点的奇函数，故函数是圆的一个太极函数，故①正确；对于②项：因为，所以函数是经过原点的奇函数，故是圆的一个太极函数，故②正确；对于③项：若函数是奇函数，且图像与圆不相交，则不是圆的一个太极函数，故③错误；对于④项：如下图所示：非常值函数为偶函数，也是圆O的的太极函数，故④错误，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意得出经过原点的奇函数是圆的“太极函数”是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题.三、解答题17．已知定点，和曲线上的动点.(1)求线段的垂直平分线的一般式方程；(2)若点是的中点，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与垂直平分线的方向向量乘积为0求解（2）利用相关点代入法求解【详解】（1）由题意得，中点为，则的垂直平分线的方程为，即.（2）设，若点是的中点，则，因为动点在曲线上，所以，整理得.所以点的轨迹方程为18．复数，，为虚数单位，；(1)若是实数，求的值；(2)若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）计算，然后令虚部为0，解方程即可（2）通过向量等式建立与的关系，然后结合的范围，转化为求函数值域问题，再得不等式得出的范围【详解】（1），因为为实数，所以，，结合θ范围，解得，所以.（2）复数，复数、对应的向量分别是，，，，又，，所以，得，因为，所以，所以．所以，解得或．所以实数的取值范围是．19．已知数列的前项的和为,且.(1)当时,求证数列为等比数列,并求的通项公式;(2)当时,不等式对于任意都成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)退相减,得出递推式,再用构造法证明,最后求通项公式(2)恒成立问题,通过分离与转化为函数最值问题求解【详解】（1）当时,当,则当两式相减得,即所以所以是首项为,公比为3的等比数列所以,所以（2）当时,,即当时,由,得,即对于任意都成立,令则因为在上单调递减,在上单调递增所以当时,,所以20．在平面直角坐标系中中，设动点到定点的距离与它到直线的距离相等的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)设为曲线上一动点，点（其中常数），求的最小值；(3)已知是曲线的焦点，点在该曲线上且位于轴的两侧（其中为坐标原点），求与面积之和的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）令，则，分对称轴和进行讨论即可；（3）设，，设直线的方程为，代入抛物线可得，结合题意中的数量积可得，即可求解【详解】（1）动点到定点的距离与它到直线的距离相等，满足抛物线的定义，故曲线的方程为抛物线；（2）令，故，则，当时，；当时，，所以；（3）设，，设直线的方程为，由得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线的方程为，定点为不满足点在该曲线上且位于轴的两侧，故舍去；当时，直线的方程为，定点为，满足点在该曲线上且位于轴的两侧，且满足，不妨令，则，当且仅当即时，取等号，故最小值为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知椭圆，直线，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，为直角三角形，且到椭圆的右顶点的距离为，点为上的动点，直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求的面积的取值范围；(3)设，，直线，判断直线是否经过定点，若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由为直角三角形及两边相等求出参数，即可求得椭圆的方程；（2）设出直线的方程，表达出两点的坐标，让直线与椭圆联立，由韦达定理表达出的表达式，即可求出的面积的取值范围；（3）设出直线的方程，和椭圆联立，利用韦达定理表达出和，求出和的表达式，代入直线的方程并化简，即可求出定