矩阵方程AXXB=D的极小范数小二乘解论

AAAA题目：矩阵方程AX+XB=D的极小范数最小二乘解姓 名学 号 指导教师 专 业学 院 摘要矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且也已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。特别是计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。例如，系统工程、优化方法以及稳定性理论等，都与矩阵论有着密切的联系。当前，在矩阵理论领域，对矩阵方程解的研究一直是最热点的问题之一，矩阵方程及其解的问题在生物学、电学、光子光谱学、振动理论、线性最优控制等很多领域都有重要的应用。矩阵方程AX+XB二D解的研究与探索更是没有间断过，可见该方程的求解问题确实是一个非常重要的课题。本文将围绕该命题展开讨论，利用矩阵的直积(Kronecker积)、按行拉直和矩阵的满秩分解等算法解出矩阵方程AX+XB二D的极小范数最小二乘解，并且它可由Moore-Penros^eA+表出。关键词：矩阵方程极小范数最小二乘解矩阵的直积(Kroneck积)满秩分解算法Moore-Penrose逆A+ABSTRACTMatrixtheoryisthefoundationoflearningclassicalmathematics,aswellasoneofthemostmeaningfulmathematicaltheories.Itisnotonlyanimportantbranchofmathematics,butalsohasbecomeapowerfultoolofhandlingmanyrelationshipsbetweenthefinitedimensionspacestructuresandquantitiesinvarityfieldsofmoderntechnology.Theextensiveuseofcomputerhasbroughtabrightprospecttotheapplicationofmatrixtheory.Manyproblemhavecloserelationwithmatrixtheory,suchassystemengineering,optimizationmethod,stabilitytheory,andsoon.Nowadays,theresearchonmatrixequationshasbeenturningintooneofthehottesttopicsinmatrixtheory.Itiswidelyusedindifferentareas,forexample,biology,electrics,spectroscopy,vibrationtheory,linearoptimalcontrol,etc.AndpeoplehaveresearchedandexploredthesolutionofmatrixequationAX+XB=Dallthetime,whichmeansthesubjectstudyisabsolutelycrucial.Thispaperdiscussestheavailablesolutionsofmatrixequation,usingKroneckerproduct,fullrankdecompositionofmatrixtoobtaintheminimalnormleastsquaressolutionofmatrixequationAX+XB=D.AnditcanbeexpressedbyMoore-Penroseinverse1+.Keywords:matrixequation;theminimumnormleastsquaressolution;Kroneckerproduct;fullrankfactorizationalgorithm;Moore-PenroseinverseA+目录TOC\o"1-5"\h\z摘要 0ABSTRACT 1\o"CurrentDocument"绪论 4李雅普诺夫矩阵方程AX+XB=D应用背景及研究现状 4本文的主要工作 4符号说明 5\o"CurrentDocument"预备知识 7矩阵的范数 7矩阵范数的定义 7矩阵范数的性质 7矩阵的直积及其应用 9直积的概念 9矩阵直积的性质 10线性矩阵方程的可解性 10矩阵的满秩分解 11矩阵满秩分解的定义 11矩阵满秩分解的性质 11广义逆矩阵的存在和性质 13Penrose的广义逆矩阵定义 13广义逆矩阵的性质 14Moore-Penrose逆矩阵的计算 15\o"CurrentDocument"3矩阵方程AX+XB=D的极小范数最小二乘解 16广义逆矩阵与线性方程组的求解 16线性方程组极小范数最小二乘解的定义 16矩阵方程转化为线性代数方程组 17矩阵方程AX+XB=D的求解 18矩阵方程AX+XB=D在相容条件下解的情况 18矩阵方程AX+XB=D不相容时解的情况 21\o"CurrentDocument"结论 23致谢 错误!未定义书签。\o"CurrentDocument"参考文献 24绪论矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且也已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。在矩阵理论领域，对矩阵方程解的研究一直是最热点的问题之一，而矩阵方程AX+XB=D解的研究与探索更是没有间断过，但几乎所有的结论要么基于矩阵A,B为特殊矩阵（如对称矩阵等）的情形，要么解的表达形式过于繁琐。此外，还有一些文献仅仅只是讨论了解的存在性。而在力学以及控制论等诸多领域利亚普诺夫方程都有着很重要的应用。可见该方程的求解问题确实是一个非常重要的课题，所以，考虑给出该方程的极小范数最小二乘解的表达式也是很有必要的。本文将围绕该命题展开讨论，并且最终给出它的重要应用 矩阵方程AX+XB=D的最小二乘解以及极小范数最小二乘解。李雅普诺夫矩阵方程AX+XB=D应用背景及研究现状在科学与工程中，经常会遇到求解线性方程组的问题。矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的数学工具。矩阵有很多基本的数学运算，如转置、内积、外积、逆矩阵、广义逆矩阵等。矩阵方程及其解的问题在生物学、电学、光子光谱学、振动理论、有限元、结构设计、参数识别、自动控制理论、线性最优控制等很多领域都有重要的应用，正是这些领域提出了许多不同类型的线性矩阵方程的模型问题刺激了理论的快速发展,使得线性矩阵方程的求解问题成为当今计算数学领域的热门研究课题之一，经过国内外的专家和学者的不断探索,迄今为止，线性矩阵方程问题的研究已取得了一系列丰硕的成果。对于矩阵方程AX+XB=D,1955年，Penrose得到了它有一般解的充要条件和通解表达式；1994年，黄礼平博士研究了四元数体上方阵的标准形与矩阵方程AX+XB=D的问题；2002年，马飞博士研究了矩阵方程AX+XB=D的迭代解法问题,得出方程在不同精度下的解并给出迭代所需步数；2004年,袁永新教授研究了矩阵方程AX+XB=D的最优解问题。本文的主要工作论文第一章简要的介绍了利亚普诺夫方程研究的实际背景及研究现状；第二章介绍了已有的主要结果、范数理论、矩阵的直积（Kronecker积）、按行拉直和矩阵的满秩分解算法等。第三章为本文的主要工作，本文根据直积的定义及性质可以将矩阵方程AX+XB=D拉直为一般的线性方程组，以此为基础，求解经过按行向量拉直转化得到

的线性方程组，解出该方程的极小范数解和最小二乘解，虽然最小二乘解一般不是唯一的，但是极小范数最小二乘解确实唯一的，并且它可由Moore-Penrose逆A+表出。若矩阵方程AX+XB=D不相容，则它的极小范数最小二乘解需满足min||X||minllAX+XB一DII求出的X即为矩阵方程AX+XB=D极小范数最小二乘解。第四章给出了结论，最后是本文的参考文献与致谢。1.3符号说明1.3符号说明RRnRmxnRmxnrCCnCmxnCmxn

rdetAVnR(A)rankATe(x,y)L(x,x，…，x)12 nATAH(A)ij|A|AFcond(A)IMp实n维向量空间实mxn矩阵空间秩为r的实mxn矩阵的集合复数域复n维向量空间复mxn矩阵空间秩为r的复mxn矩阵的集合矩阵A的行列式n维线性空间矩阵A的值域，A的列空间矩阵A的秩单位变换向量x与向量）的内积向量x,x，…,x生成的子空间12 n矩阵A的转置矩阵A的共轭转置矩阵A的i行j列处的元素矩阵A的任意范数矩阵A的Frobenius范数矩阵A的条件数向量x的p-范数九或九(A) 矩阵A的第，个特征值iiA区B 矩阵A与矩阵B的直积嬴(A) 矩阵A按行拉直所得到的列向量A+ 矩阵A 的Moore-Penrose 逆A# 矩阵A的群逆预备知识矩阵的范数在计算数学中，特别是在数值代数中，研究数值方法的收敛性、稳定性及误差分析等问题时，范数理论都显得十分重要。本章主要讨论矩阵空间。〃X〃中的矩阵范数的理论及其性质。矩阵空间CmXn是一个mn维的线性空间，将mXn矩阵A看做线性空间CmXn中的“向量”可以按照定义夕-范数的方式定义A的范数。但是，矩阵之间还有乘法运算，它应该在定义范数时予以体现。2.1.1矩阵范数的定义定义2.1设AGCmXn，定义一个实值函数网，它满足以下三个条件（1）非负性：当A丰0时，||A||>0;当A=0时，||A||二0;（2）齐次性：河||=|44〃gc;（3）三角不等式：IA+B<||A||+|B||,BGCmXn，则称网为A的广义矩阵范数。若对CmXn，Cnx/，及Cmx/上的同类广义矩阵范数胪，有（4）相容性：||AB||<||A||+||B||,BgCnxx则称A为A的矩阵范数。2.1.2矩阵范数的性质同向量的情况一样，对于矩阵序列也有极限的概念：设有一个矩阵序列｛A（左）｝，其中A（k）GCmXn，k=1,2,…。用a（k）记A（k）的第i行第j列的元素，且a（k）都有极限a，则ij ij ij称A（k）有极限A=（a），或称A（k）收敛于矩阵A，记为ijlimA（k）=A或A（k）fAx-8不收敛的矩阵序列称为发散的。于是可以证明：A（k）fA的充要条件是帆k）-A|f0。由定义2.1的条件（3），可以证明下列不等式1 A-BII1<1lA-B由此可以证明矩阵范数的连续性，即由A（k）fA可以推出||A（k）|1f冏事实上，由上面的论述知，当A（k）fA时，（A（k）-A|f0,但是||A（k）||-||A|| |<||A（K）-A|于是当a（k）—at0时，便有1a（k）/A。推论2.1已知A=（推论2.1已知A=（〃）eCnxn，可证明下面二函数ijA都是Cnxn上的矩阵范数。，固m8ij证对于函数科II而言，它显然具有非负性与齐次性，现仅就三角不等式与相容性m加以验证于下1||A+Bll=Z|a+b«Z(Ia+b)

"m 1ijij 1ijij1 i,j=1 i,j=1=^^lajl+^^^7.|=l|A|l+Bj j mmi,j=1 i,j=1 1 1l|AB||m14i,j=1ab+abH l|AB||m14i,j=1ab+abH Fabi11ji22jinnj-Z(lai1i,j=1H Fain/1i1i=1aRZ1in1j+—Fbnjj=1=i,j=1•^^^,

j,i=1=IIAII因此，A是A的矩阵范数。m但是，在数值方法中进行某种估计同理可证，IIA也是A的矩阵范数。m8但是，在数值方法中进行某种估计如同向量范数一样，矩阵范数也是多种多样的。时，遇到的多数情况是，矩阵范数常与向量范数混合在一起使用，而矩阵经常是作为两个线性空间上的线性映射（变换）出现的。因此，考虑一些矩阵范数时，应该使他能与向量范数联系起来。这可由矩阵范数与向量范数相容的概念来实现。下面引入这一概念。TOC\o"1-5"\h\z定义2.2对于Cmxn上的矩阵范数||7和Cm与Cn上的同类向量范数||・||,如果 M V网VSAM

(2.1)则称矩阵范数II・ll与向量范数II•II是相容的。M V定理2.1设AeCmxn，且PeCmxn与QeCmxn都是酉矩阵，则IPAI=1All=1IAQIIF F F即给A左乘或右乘以酉矩阵后其||•II值不变（在AeRmxn时，P和Q都是正交矩阵）。F证若记A的第j列为a（j=1,2,3,…,n），则有j

即pa=iaF。于是FF=|(Pj=i12n即pa=iaF。于是FF=|(Pj=i12na,Pa，…,Pa)Paj『二W2 j=1AQII=||( "II=|QF FhAh=HF=Ia，F推论2.2和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相同的，即若B=QhAQ，则IlBll=1|A||,其中Q是酉矩阵。F F矩阵的直积（Kronecker积）在矩阵的理论研究和计算方法中都有十分重要的应用。特别地，运用矩阵的直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组进行讨论或计算。2.2.1直积的概念首先从简单的例子开始。设有二元向量（e,e）t和三元向量（n,n,nH，他们分别经aab11b12b13a=1112，B=bbbaaab11b12b13a=1112，B=bbbaa2122232122bbbL3132331 2的变换，变成向量（e',e'）t和（n12123一£In'1-n1=a_1 ，n'=Bne222n:n即有t，3」e'1e'23」现在考虑以这两个向量的分量乘积为分量的六元向量u=（en,en,en,en,en,en11 12 13 21 22 23由假设经过怎样的线性变换可以变成六元向量v=(en',en',en',e'n',e'n',e'n')11 12 13 21 22 23故有e'=ae+ae,i=1,2i i11i22n'=bn+bn+bn,j=1,2,3j j11 j22 j33en'=aben+aben+aben+abe「+abenij i1j111 i1j21+abeni2j323于是所求变换的矩阵为六阶矩阵i1j313 i2j121 i2j222(i=1,2,j=1,2,3)aBaB

1112aBaB21 22一般地，引进以下的定义。定义2.3设A=(a)eCmxn,B=(b)eCpxq,则称如下的分块矩阵ij ijaB

11

aB21aBaB

11

aB21aB12aB22aB1naB2neCmpxnq（2.2）aBaB…aB

m1 m2 mn为A与B的直积(Kronecker积)。A笆B是一个mxn块的分块矩阵，所以式（2.2.1）还可简写为（2.3）A（2.3）A区B=(aB)

ij2.2.2矩阵直积的性质矩阵的直积具有以下性质。(1)k(A区B)=(kA)区B=A区(kB)(2)设(2)设A与A为同阶矩阵，则12TOC\o"1-5"\h\z(A+A)㊁B=A㊁B+A㊁B12 1 2(3)(4)（5）（6）B区(A+A)=B区A+B区(3)(4)（5）（6）B=(b(1)) ,B=(b(2))1ij p1B=(b(1)) ,B=(b(2))1ij p1xq1 2ij p2xq2设A=(a⑴) ,A=(a⑵)1ij m1xn1 2ijm2xn2且n=m,q=p，贝U1 21 2（A区B）（A区B）=（AA）区（BB）。

1 1 2 2 12 12设A与B都可逆，则（A㊁B）-i=A-i㊁B-imxm nxn设A与B都是上三角（下三角）矩阵，则A凶B也是上三角（下三角）矩mxm nxn阵。（7）（A㊁B）h=Ah㊁Bh（8）设A与B都是正交（酉）矩阵，则A笆B也是正交（酉）矩阵。mxn mxn2.2.3线性矩阵方程的可解性在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程AX+XB=D （2.4）的求解问题，其中AeCmxm,BeCnXn,DeCnxn为以知矩阵，而XECmxn，为未知矩阵，一般地线性矩阵方程可表示为工AXB=Fiii=1

其中AGCmxp,BGCqxn,FGCmxn为已知矩阵，而XGCpxq为未知矩阵。ii下面利用矩阵直积的性质，研究矩阵方程(2.5)的可解性问题。设A=(a) ,BGCqxn，并记XGCpxq的第i行为xT(i=1,2,...,p)及ijmxp ivec(X)=(xT,xT,…，xT)t12 p则有AXB=(axT+axTH FaxT)Bi11 i22 ipp从而vec(AXB)=BT(vec(AXB)=BT(ax

i1Haxi22H Fax)ippaBT

11aBT1paBT

m1aBT

mp=(A③BT)vec(X)定理2.2方程(2.5)有解的充要条件是嬴(F)gR(Xa⑤BT)，这里，R(A)表示ii矩阵A的列空间。定理2.3设A矩阵A的列空间。定理2.3设A的特征值为九,九，…,九i=1mxm12B的特征值为日，四，…平nxn12，则方程nAX+XB=F有惟一解的充要条件…/0(i=以…,m,j=12…,n)。2.3矩阵的满秩分解本节论述将非零矩阵分解为列满秩矩阵与行满秩矩阵的乘积问题。矩阵满秩分解的定义定义2.4设AGCmxn(r>0)，如果存在矩阵FGCmxr和GGCrxn，使得r rrA=FG则称式(2.6)为矩阵A的满秩分解。当A是满秩(列满秩或行满秩)矩阵时，A可分解为一个因子是单位矩阵，另一个因子是A本身，称此满秩矩阵分解为平凡分解。2.3.2矩阵满秩分解的性质矩阵的满秩分解有下列性质：定理2.4设AGCmxn（r>0），则A有满秩分解（2.6）。r证当rankA=r时，根据矩阵的初等变换理论，对A进行初等变换，可将A化为阶梯形矩阵B，即, 「G一「「A行~BB= ,GGCrxn0r于是存在有限个m阶初等矩阵的乘积，记作P，使得PA=B或者A=P-1B将P-1分块为P-1=[F：S],FGCmxr,SGCmx（n-r）

r n-r则有.一「GIA=P-iB=[F:S]0=FG其中F是列满秩矩阵，G是行满秩矩阵。 证毕需要指出的是，矩阵A的满秩分解（2.6）不是唯一的。这是因为若取D是任意一个r阶非奇异矩阵，则式（2.6）可改写为A=（FD）（D-iG）=FG这是A的另一个满秩分解。在求列满秩矩阵F时，需要求出矩阵P及其逆矩阵P-1，这是十分麻烦的。为了避免这些运算，引入下面的定义。定义2.5设BGCmxn（r>0）,且满足r（1）B的前r行中每一行至少含一个非零元素，且第一个非零元素是1,而后m-r行元素均为零;TOC\o"1-5"\h\z⑵若B中第i行的第一个非零元素1在第4列（i=1,2，…,r），则j<j<j；i 12 r（3）B中的j1,j2,…:j列为单位矩阵I的前r列，那么就称B为Hermite标准形。12 r m定义2.6以n阶单位矩阵I的n个列向量匕，e2，一'e为列构成的n阶矩阵nP-（e,e，…，e） （27）j1j2 jn （2.7）称为置换矩阵，这里j1，j2,…，j是1,2，…,n的一个排列。定理2.5设AGCmxn（r>0）的Hermite标准形为B（如定义2.5），那么，在A的r满秩分解（2.6）中，可取F为A的j1，j2,…，jr列构成的mxr矩阵，G为B的前r行构成的rxn矩阵。证由A-B知，存在m阶可逆矩阵P，使得PA-B或者A-P-1B根据定理，将P-1分块为P-1-[F：S],FGCmxr,SGCmx（n-r）

r n-r

可得满秩分解A=FG,其中G为B的前r行构成的rxn矩阵。下面确定列满秩矩阵F。参照A的Hermite标准形B，作n阶置换矩阵P=(e,…，e,e1 j1 jP=(e,…，e,e1 j1 jrjr+1划分A=(a,a，…,a),B=(b,b，…,b),则有,…e)

jn12 n12 nAP=(a,…,a1 j1,ajr jr+1…,a)

jnBP=(b，…,b1 j1 j其中B12GCrx(n-r)。再由A二P-1B可得,bjr+1，…,bj)=B12OAP=P-i(BP)二[FS]OB12O=[FFB]12证毕(i)(ii)(iii)(iv)阵满足四个Penrose证毕(i)(ii)(iii)(iv)阵满足四个Penrose方程。若r>0，由定理知，A可进行奇异值分解即F为AP的前r列构成的矩阵，也就是A的«j,j列构成的矩阵。1 12 r2.4广义逆矩阵的存在和性质Penrose的广义逆矩阵定义定义2.7设矩阵AGCmxn，若矩阵XGCn义m满足如下四个Penrose方程AXA=AXAX=X

(AX)H=AX(XA)h二XA则称X为A的Moore-Penrose逆，记为A+。定理2.6对任意AGCmxn，A+存在且唯一。A=UDVh其中o>0(i=1,…,r)是A的奇异值，io।I・・・r.二 iOU和A=UDVh其中o>0(i=1,…,r)是A的奇异值，io।I・・・r.二 iOU和V分别是m阶和n阶酉矩阵。容易验证0-11\O\O-1-，・・・2・・・・;_ iO满足四个Penrose方程。可见，A+总是存在的。nxmUH唯一性设X,y均满足方程(i)〜(iv),则X=X(AX)H=XXhAh=X(AX)H(AY)h=XAY=(XA)H(YA)hY=AhYhY=(YA)HY=Y证毕广义逆矩阵的性质广义逆矩阵有以下性质定理2.7设AeCm义n,BeCn义p,九eC，贝(1)(A(1))HeAH{1};(2)九+A(i)eAh*}；(3)若S和T非奇异，则T-iA(i)S-ie(SAT)&}；rankA⑴>rankA；AA(i)和A(i)A均为幂等矩阵且与A同秩；R(AA(1)=R(A),N(A(1)A)=N(A),R((A(i)A)H=R(AH)定理2.8给定矩阵A和XeA4},则XeA42}的充要条件&nkX=rankA证充分性显然R(XA)eR(X),若rankX=rankA，由定理2.6之(5)得rank(XA)=rankX=rankA所以R(XA)=R(X),即存在矩阵Y使得X=XAY从而 XAX=XA(XAY)=XAY=X必要性因为A和X互为{1,2}-逆，有定理(2.4.2)之(4)即得。证毕定理2.9设矩阵A给定，则(1)rankA+=rankA(2)(A+)+=A(3)(AH)+=(A+)H,(AT)+=(A+)T；(4)(AHA)+=A+(AH)+,(AAH)+=(AH)+A+；(5)A+=(AHA)+AH=AH(AAH)+；(6)R(A+)=R(AH),N(A+)=N(AH)推论2.2若AeCmxn，贝I」A+=(AHA)-iAH若AeCmxn，贝I」mA+=Ah(AAh)-1推论2.3设a为n维列向量，且aw0，贝a+=(aha)-1ah而(ah)+=(a+)h=a(aha)-12.4.3Moore-Penrose逆矩阵的计算假定mxn矩阵A的秩为r，其中r<min(m,n)，下面介绍求Moore-Penrose逆矩阵A+的一种方法，满秩分解法。前面已经介绍过矩阵AGCmxn的满秩分解的概念，并给出了用初等变换进行满秩分r解的方法。设AgCmxn(r〉0)的满秩分解为rA=FG(2.12)其中FGCmxr,GGCrxn,那么可以按照下述定理给出的结论计算广义逆矩阵。rr定理2.10设AGCmxn(r>0)的满秩分解为式(2.12),则G(i)F(1)GA±}i=1,2,4;G(1)F(i)gA±}i=1,2,3;G(1)F+gA{1,2,3),G+F(1)gA{1,2,4);A+=G+F(1,3)=G(1,4)F+A+=G+F+=Gh(GGh)-1(FhF)-1Fh=Gh(FhAGh)-1Fh证由定理知F(1)F=GG(1)=Ir根据定义容易验证(1),(2)成立。(3)可由(1),(2)直接得到。(其中F+与G+分别换成F(1,2,3)与G(124)时，结论仍成立。)(4)由(3)知，X=G+F(1,3)gA&24},又因为(AX)h=(FGG+F(1,3))h=(FF(1,3))h=FF(1,3)=AX所以XgA11,2,3,4)另一式可类似的证明。(5)由(4)知，G+F+=A+，载根据式A+=(AhA)-1Ah和A+=Ah(AAh)-1可推得其他结论。3矩阵方程AX+XB=D的极小范数最小二乘解广义逆矩阵与线性方程组的求解线性方程组极小范数最小二乘解的定义考虑非齐次线性方程组Ax=b其中AGCmxn,bGCn给定，而X£C为待定向量。如果存在向量X使方程组（3.1）成立，则称方程组相容，否则称为不相容或矛盾方程组。关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形。（1）方程组（3.1）相容的条件是什么？在相容时求出其通解（若解不唯一的话）。（2）如果方程组（3.1）相容，其解可能有无穷多个，求出具有极小范数的解，即min||x||Ax=b其中II•II是欧氏范数。可以证明，满足该条件的解是唯一的，称之为极小范数解。（3）如果方程组（3.1）不相容，则不存在通常意义下的解。但在许多实际问题中，需要求出极值问题min||Ax一b|| （3.3）xGCn的解x，其中||•||是欧氏范数。称这个极值问题为求矛盾方程的最小二乘问题，相应的x称为矛盾方程的最小二乘解。（4）一般说来，矛盾方程的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解得集合中，具有极小范数的解min||x|| （3.4）miJAx一b是唯一的，称之为极小范数最小二乘解。广义逆矩阵与线性方程的求解有着极为密切的关系。利用广义逆矩阵可以给出上述

诸多问题的解，反之由线性方程的解又可以确定广义逆矩阵。3.1.2矩阵方程转化为线性代数方程组对比较复杂的矩阵方程的求解，我们通常要用按行向量拉直的方法将矩阵方程转化为线性方程组，把矩阵方程化成Ax=b的形式，然后再讨论矩阵方程解的情况。设AGCmXP,XGCPXq,BGCqXn，X的第i行为XT,则X可表示为由此可得XT1XT2XTpAXB=a11a21a12由此可得XT1XT2XTpAXB=a11a21a12a22vec(X)=apapaxt+a111XT12 2x1X2=(tXT1XT2XTp」+…+axt1PPxt2XTPaxt+axt+…axtm1 1 m2 2 mPP(axt+axt+…+axt)B11112 21PP11112 2所以Bt(aX111+ax+…12 2…+ax)1ppB所以Bt(aX111+ax+…12 2…+ax)1ppBt(aXm1+ax+•1 m2 2…ax)mppBtaX111+Btax+12 2……+BtaBtaX+BtaX+…Btavec(AXB)=m11m2 2X1PP(axt+axt+…axt)Bm1 1 m2 2 mPPXmppa11Btx+aBtx+…+aBtx12aBtx

m1+aBtx+…aBtxmPaBt

11aBt

m12a=(A⑤Bt)vec(X)a由上面推理可得vec(AX+XB)=(A凶I+I凶Bt)vec(X)

即矩阵方程AX+XB=D按行向量拉直后为(A③I+I③Bt)诙(X)=嬴(D)令(A⑤It+I⑤Bt)为G,vec(X)为了,定(D)为c，则矩阵方程AX+XB=D可写成等价形式Gx=c3.2矩阵方程AX+XB=D的求解考虑将矩阵方程AX+XB=D(其中A,B,X,DgCnxn)，按行向量拉直后有(a③I+1③bt)vec(x)=vec(d)，即aI1naInnaI1naInnBT0十:,0••0]:0x1xj—--dd：20BtJxxd—1nn0Bt这里xT表示X的第i行，dT表示D的第i行。i i经整理得aI+BtaI…aIx「d]11aI12aI+Bt1n：x1d12122aI:2—-：2aI…aIn-1,naI+Btxxdn1n,n-1nnnn3.2.1矩阵方程AX+XB=D在相容条件下解的情况在本节主要考虑矩阵方程AX+XB=D在相容条件下解的情况，并且其中AgCmxm与BGCnXn。由前面分析知道，这时矩阵方程成为(A区I+1区Bt)嬴(X)=嬴(D)nm可知该矩阵相容的条件是R(A区I+1®Bt)=R(A区I+1区B,vec(D))，它有唯一解nm nm当且仅当矩阵(A区I+1区Bt)为非奇异矩阵。nm定理3.1设AGCmXm与BGCnxn，则当且仅当九十日丰0，其中九与日分别是A和Bij ij的特征值，矩阵方程AX+XB=D有唯一解。证明矩阵方程AX+XB=D有唯一解Ovec(AX+XB)-vec(D)有唯一解o(a区I+1区bt)vec(x)-vec(d)有唯一解嬴(x)nmodet(A区I+1区Bt)牛0nm令f(x,y)=xiy0+x。尸，并注意Bt与B的特征值完全相同，由f(A,Bt)-A③In+I③Bt的特征值为f(X,R)=九十日，故m ijijdet(A区I+1区Bt)中0oX+Rw0nm ij

其中i=1,2，…,m;j=1,2，…,n。 证毕推论3.1设AmXm的特征值为九,九,…,九,B的特征值为从,从，…,从，则齐次方12 m nxn 12 n程AX+XB=0有非零解的充要条件是存在i与j使九十从=0。00 i0 j0虽然上述定理给出了矩阵方程AX+XB=D有唯一解的充分与必要条件，但要写出它们解矩阵X的明显表达式一般是不容易的。若AeCmXm与BeCnXn为稳定矩阵，即所有特征值的实部小于零的矩阵，则AX+XB=D的解X有明显的表达式。定理3.2设AeCmXm与BeCnXn为稳定矩阵，且DeCmXn给定。则线性矩阵方程AX+XB=D有唯一解X，并且，X=—feAtDeBtdt (3.5)证本定理的假定保证了A与-B没有相同的特征值，因而按定理3.1,AX+XB=D有唯一解X。现考虑初值问题Z(t)=AZ(t)+Z(t)B,Z(0)=D (3.6)式中，Z(t)eCmXn为定义在［0,+8)上的矩阵值函数。直接验证可得，Z(t)=eSt为问题(3.6)的解。即有自t=0到t=8对方程(3.6)的两端求积分便有Z(8)-Z(0)=AJ8Z(t)dt+(J8Z(t)dt)题(3.6)的解。即有A(-J8eAtCeBtdt)+(-J8eAtCeBtdt)B=D-Z(8).00只需验证上式中因此，为了证明由(3.5)式确定的X为AX+XB=D的解，只需验证上式中limeAt=0对任意稳定矩阵A成立。但按普分确t—8Z(8)limeAt=0对任意稳定矩阵A成立。但按普分确t—8定理，我们有eAt=Zmk-tje九kteAtik=1 j=0式中，九,九,…,九为A不同的特征值，m,m，…,m分别为它们的指标，E为A的分1 2 s 1 2 s kj量。现令九=a+ip，a与0分别为九的实部和虚部。按A为稳定矩阵的假设，kkkkk ka<0,k=1,2，…,s，因而ktje九k=tjeakt-0,t-8.于是，limeAt=0。所以结论成立。前甯我们讨论了AX+XB=D有解与有唯一解的条件，现在讨论当此方程有解时，解的结构形式。具体步骤如下。首先取B=-A,C=O，我们得到如下特殊的矩阵方程：AX=XA, AeCnXn (3.7)求解方程(3.7)等价于寻求与AeCnxn可交换的所有矩阵。显然，方程(3.7)有无限多个解。事实上，Xep(A)(p(A)为复系数多项式)总是它的解。在下面定理3.3中将给出方程(3.7)的解的表达式，接着，应用这个结果讨论AX+XB=O解的表达式与它的解空间的构造。由于AX+XB=D的解可以表示为齐次方程AX+XB=O的同解与

非齐次方程AX+XB=D某个特解之和，故最后我们只要讨论AX+XB=D有解的条件即可。定理3.3设AeCnxn有形式A=PJPt,这里J=diag[J,J，…,J]为A的Jordan12 p正规形式，J,J，…,J分别是对应于A的特征值九,九，…,九的Jordan块。则XeCnxn12 p 12 p为方程（3.7）解的充分与必要条件为X=PYP-1,其中，Y=[Y]是与J有相同分块形式st的分块矩阵。接着考虑齐次线性矩阵方程AX+XB=O （3.8）的解的形式。主要的技巧是将它归结为前面讨论过的问题。显然，方程（3.8）有解。假定X为它的解，则可以验证（3.9）则X（3.9）则X必定为方程（3.8）的mOIn可交换，反之，若（3.9）式中两个（m+n）阶矩阵可交换，解。因此，对（3.9）式中这两个矩阵应用定理3.3的结果，我们有J=P-1AP=diag[XI+N，…，入I+N]，A 1kk pkk1 1 p kpJ=Q-1AQ=diag[^I+N，…，RI+N]，B 1rr qrr1 1 qr则矩阵方程(3.8)的任意解X有形式X=PYQ-1,其中Y=[Yq]pq(YeM(C))是sts,t=1 k,r矩阵方程JY+YJ=O的一般解。 'AB类似地，将推论应用到矩阵方程O-Xnn（3.10）O-Xnn（3.10）我们有如下结果推论3.2矩阵方程（3.8）的一般解呈如下形式：X=X推论3.2矩阵方程（3.8）的一般解呈如下形式：X=XavX，ii式中，X，…,X为方程（3.8）的线性无关解，而1aa立Xa，st这里，a（1<s<p,1<t<q）为A的初等因子（X-X）ks与一B的初等因子（X+日）rst s t（3.11）（3.12）

的最大公因式的次数。我们顺便指出，（3.12）式中a恰为（3.8）解空间的维数，因而也等于dim（KerG）,其中G=（A区I+1®Bt）=A㊉Bt。nm最后考虑一般非齐次矩阵方程AX+XB=D （3.13）它等价于线性代数方程组Gx=c，于是，G=A㊉Bt，x=诙（X）与c=VeC（D），因此，若方程（3.10）可解，则它的解或是唯一的，或有无限多个，且一般解为方程（3.8）的一般解与方程(3.10)的某个特解之和。下面的基本结果应用非构造性办法给出方程(3.10)有解得充分与必要条件。显然，它相当于rankG=rankG:c]3.2.2矩阵方程AX+XB=D不相容时解的情况当R(A区I+1区Bt)中R(A区I+1区B,vec(D))即相当于nmrankG丰rankG:c」时，称矩阵方程AX+XB=D不相容，此方程组为矛盾方程组。当矩阵方程不相容时可求出该方程的最小二乘解min||AX+XB-D||XGCm义n一般说来，矛盾方程的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有极小范数的解min X||miniAX+XB-D11是唯一的，称之为极小范数最小二乘解。要求解上述矩阵方程的极小范数最