2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二上学期期末数学试题一、单选题1．如图，空间四边形中，，，，点为的中点，点在线段上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果.【详解】解：由已知，故选：D.【点睛】本题考查向量的减法运算，及共线向量的知识.2．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题求出圆心和半径，再根据几何关系即求.【详解】由题知圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径，圆截直线所得弦的长度为4，，解得.故选：C.3．已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.【详解】解：设这个二面角的度数为，由题意得，，，解得，∴，∴这个二面角的度数为，故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，且焦距为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆得，再根据焦距为得，解方程即可得的值．【详解】解：∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，∴，又椭圆的焦距为，∴，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，属于基础题．5．若数列是等差数列，a1=1，，则a5=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令、可得等差数列的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出.【详解】令得，令得，所以数列的公差为，所以，解得，故选：B.6．已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，半径为，所以的最小值为.故选：C7．已知，若，则（

）A． B．2C． D．e【答案】B【分析】求得导函数，则，计算即可得出结果.【详解】,.,解得：.故选：B8．设数列的前项的和为，已知，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将原式两边同时取倒数，运用叠加法求出，根据题意即可选出答案.【详解】由题意可知，，因为，所以，即.令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，上式相加，得，即，所以，因为，所以，所以，即.故选：C二、多选题9．已知点、，直线l经过点且与线段相交，则直线l与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．相切 D．不好确定【答案】BC【分析】根据两点斜率公式求解的斜率，进而求得的方程，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】由题意可知：直线l经过点且与线段相交,则直线l的斜率的范围为，直线的方程为，即，由圆的方程得圆心为半径为，圆心到直线的距离为，故直线l与圆相切或者相离,故选：BC10．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（

）A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为【答案】AC【解析】先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点P到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误.【详解】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；对于B，当P在双曲线的左支上时，，故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于突破选项B，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.11．已知函数，则（

）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可．【详解】解：因为所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：200极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，，，，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，在，上单调递增，又，，所以在，上的最大值是4，故正确．故选：．12．等比数列中，，公比，则下列结论正确的是（

）A．数列中的所有偶数项可以组成一个公比为的等比数列B．设数列的前项和为，对，，恒成立C．数列是递增数列D．数列是首项和公差都小于0的等差数列【答案】ABC【分析】由，可判断A；当，时，，可判断B；由，公比，可判断C；与1无法比较大小，可判断D．【详解】由可知A对；由，公比，可知，当，时，恒成立，故B对；由，公比，可知数列是递增数列，故C对；与1无法比较大小，数列是首项无法和0比较，故D错．故选：ABC三、填空题13．已知空间向量，若，则________．【答案】【分析】由空间向量的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以存在实数k，使得，即，所以解得，，，.故答案为：14．各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，，则___________.【答案】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式，即可得到答案.【详解】由题意各项均为正数的等比数列得：，故答案为：15．若曲线在点处的切线与曲线相切，则______．【答案】##【分析】先求得曲线在点处的切线，直线与曲线相切时，需设切点列方程组可解得参数a的值.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程为．设与相切于点，因为，所以，则，，可得，从而．故答案为：16．在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______．【答案】-2【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，求最小值.【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，点为底面上一点，设，有，，，当时，的最小值为-2.故答案为：-2四、解答题17．直线l经过两点(2,1)、(6,3).(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．【答案】（1）x－2y＝0；（2）(x－2)2＋(y－1)2＝1【详解】试题分析：（1）由直线过的两点坐标求得直线斜率，在借助于点斜式方程可得到直线方程；（2）借助于圆的几何性质可知圆心在直线上，又圆心在直线上，从而可得到圆心坐标，圆心与的距离为半径，进而可得到圆的方程试题解析：（1）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为．（2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，所以，所以圆心坐标为，半径为1，所以，圆的方程为【解析】1．直线方程；2．圆的方程18．已知直线和直线.(1)当m为何值时，直线和平行？(2)当m为何值时，直线和重合？【答案】(1)或(2)【分析】（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.【详解】（1）由题意，，得，解得或当或时，直线和平行.（2）由题意，，得，解得，当时，直线和重合.19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系.则，，，.可得，.所以，所以（2）由（1）得到，，因此可得，.设平面的一个法向量为，则由得令，解得.同理，可求平面PDC的一个法向量.所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.20．已知等差数列的公差，且，数列是首项为的等比数列，且满足，，成等差数列．(1)求数列与的通项公式；(2)设数列满足，求证：数列的前n项和．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由，且，可求得，从而可求出的通项公式，再由等比数列中，，成等差数列列方程求出公比，从而可求出的通项公式，（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出，从而可证得结论【详解】（1）因为，．所以，解得．所以．因为为等比数列，，且，，成等差数列．所以．设公比为q，则，所以，所以，所以，．（2）证明：由（1）得，所以①，②，①-②得：，所以．21．已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的长轴长是短轴长的倍.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围，【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据已知设椭圆的焦距，当时，，由题意得，的面积为，，，解得即可；（2）设，，，分类讨论：当时，利用椭圆的对称性即可得出；时，直线的方程与椭圆的方程联立得到及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．【详解】(1)由题意可得,则,则，的面积，①椭圆的长轴长是短轴长的倍，②，③，由①②③解得，，∴椭圆的标准方程.(2)当时,则，由椭圆的对称性得，即时,存在实数,使得，当时,得，三点共线，，设,由，得(，由已知得,即且，.由得,，，显然不成立，，,即.解得或.综上所述,的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质及直线与椭圆的综合等知识，属于常考题型.22．已知函数.（1）若该函数在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若函数在其定义域上有两个极值点.①求的取值范围；②证明:.【答案】（1）1；（2）①；②证明见解析.【分析】（1）求出导函数，由