理论力学-动力学-动量矩定理

动量矩定理第11章§1动量矩一、动量矩的定义及计算（一）质点的动量矩1.对任意固定点O的动量矩：质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩：lO§1动量矩一、动量矩的定义及计算（一）质点的动量矩量纲：ML2/T单位：kg·m2/s2.对任意固定轴z的动量矩：lOxyd（二）质点系的动量矩Ⅰ质系对任意固定点O的动量矩：设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为mi，速度为vi。质系对任意固定点O的动量矩为各质点的动量对O点矩的矢量和。质系对任意固定轴z的动量矩：质系对任意固定轴z的动量矩为各质点的动量对轴z矩的代数和。（二）质点系的动量矩Ⅰ设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为mi，速度为vi。Oi1.平移刚体对任意固定点O的动量矩：（二）质点系的动量矩ⅠC平移刚体对任意固定点O的动量矩等于将刚体的动量集中于质心后，该动量对点O的矩。xyzO2.定轴转动刚体对转轴的动量矩设刚体以角速度绕固定轴z转动。miviMi其上任一质点Mi的质量为mi，速度为vi。2.定轴转动刚体对转轴的动量矩刚体对转轴z的转动惯量（惯性矩或惯矩）作定轴转动的刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速度的乘积。二、转动惯量（附录B）1.刚体对轴u的转动惯量u称为刚体对u轴的回转半径或惯性半径。u设刚体上任一点Mi的质量为mi，与轴u的距离为i，则：转动惯量为正标量，取决于刚体质量的分布。单位：kg·m2xyzyixii设平面薄板在xy面内，求该板对x、y、z轴的转动惯量：二、转动惯量（附录B）1.刚体对轴u的转动惯量2.简单形体的转动惯量Ⅰ积分法：m，Lm，ry2.简单形体的转动惯量平行轴定理：

刚体对于任一轴的转动惯量Jz，等于刚体对于通过其质心并与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积。改错题：刚体对任意两个平行轴的转动惯量间的关系亦如此。2.简单形体的转动惯量Ⅱ组合法（分割法、负面积法）：一均质T型杆如图示，求其对过O点的垂直于该平面的水平轴z的转动惯量。解：OABm1,lm2,2l分割法薄板面密度，对称挖去四个半径均为R的圆孔，求剩余部分对x、y、z轴的转动惯量。解：负面积法例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的动量矩。解：m1,rm2ωOm3例2：已知均质圆盘质量为m1,半径为r，角速度为,物块的质量分别为m2，m3，绳子与盘间无滑动,求系统对O的动量矩。m2v2m3v3解：系统是在铅垂平面内运动，所以系统对O点的动量矩退化为代数量。三、质点系的动量矩ⅡOCxyxy其中：三、质点系的动量矩ⅡOC质系对固定点O的动量矩等于将质系动量集中于质心对于O的动量矩与其对质心的动量矩的矢量和。xyxy注意：以质系上其它点为基点，则质系对固定点的动量矩不具备上述形式！例3：均质杆OC质量为m1，长为l，C端铰接一半径为r，质量为m2的均质圆轮,轮在圆弧槽内纯滚动。图示瞬时杆的角速度为，试求系统对点O的动量矩。解：vcCOC§2动量矩定理一、质点动量矩定理对固定点质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点的外力对同一点矩的矢量和。对固定轴动量矩守恒：如力矩为零，则动量矩为常矢量。始终在同一平面上§2动量矩定理一、质点动量矩定理对固定点质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点的外力对同一轴矩的代数和。对固定点二、质点系动量矩定理

质点系对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于该质点系上的所有外力对同一点矩的矢量和。这就是质点系对固定点的动量矩定理对固定轴二、质点系动量矩定理

质点系对固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于该质点系上的所有外力对同一轴的矩的代数和。这就是质点系对固定轴的动量矩定理二、质点系动量矩定理

质点系对固定点O的动量矩在一段时间内的增量，等于作用于质点系的所有外力在同一时间内对O点的冲量矩之和。这就是积分形式的动量矩定理，也称为冲量矩定理。例：为了求半径为R重为W的飞轮对于通过其中心并垂直于轮面的轴的转动惯量，可在飞轮上缠一细绳，绳下端系重物P，重物自h处落下（不计摩擦），测得重物下落的时间t，求飞轮的转动惯量。FOxFOyW解：v取整体为研究对象，进行受力分析和运动分析Mf假设Mf是常量例：为了求半径为R重为W的飞轮对于通过其中心并垂直于轮面的轴的转动惯量，可在飞轮上缠一细绳，绳下端系重物P，重物自h处落下（不计摩擦），测得重物下落的时间t，求飞轮的转动惯量。解：取整体为研究对象，进行受力分析和运动分析FOxFOyWvMf另换一重物P1，重复试验，可得(h,t),与(1)联立即可求解。（1）§3刚体定轴转动微分方程对于绕z轴转动的刚体：刚体定轴转动微分方程代入上式，得：§3刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程例：试用实验与分析的方法确定图示工件的转动惯量。(量测工具：表、称、尺)过程：1.称出重量，确定重心位置例：试用实验与分析的方法确定图示工件的转动惯量。(量测工具：表、称、尺)过程：2.分析复摆FOxFOyP微摆：令例：试用实验与分析的方法确定图示工件的转动惯量。(量测工具：表、称、尺)过程：3.测出周期TFOxFOyP例：直杆OA质量为m，长为l，静止于水平位置，试求:(1)当绳子剪断瞬间，杆的角加速度和O处支座反力。OAFOxFOymgaC解：二、对转轴的动量矩定理：三、质心运动定理：xy一、对杆进行受力分析和运动分析；例：直杆OA质量为m，长为l，静止于水平位置，试求:(2)求转过450时的角速度和角加速度。OAFOxFOymgOA解：二、对转轴的动量矩定理：一、将杆放在一般位置；（1）（2）最后将＝450代入（1）、（2）即可。问题一：跳水运动员在空中屈体翻转比直体翻转能多转一两圈，你能用什么原理解释之？问题二：跳水运动员的翻转与冰舞运动员原地旋转有何区别？你是否用了相同的原理解释？问题三：是否有对动点（轴）的动量矩定理？讨论§4相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程一、质点系相对质心的动量矩定理OCxyxy一、质点系相对质心的动量矩定理OCxyxy质系对质心的动量矩对于时间的一阶导数，等于作用于质系的所有外力对质心的矩之和，这就是质系对于质心的动量矩定理。

若作用于质系的所有外力对质心的矩之和恒为零，则质系对质心的动量矩守恒。§4相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程质点系的运动随质心平移+相对质心运动相对质心的动量矩定理质心运动定理二、刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程：讨论：一均质杆置于光滑水平面上，初始静止，C点为中点，在图示各种受力情况下，杆分别作什么运动？CF(a)C(c)FFC(b)2FFa2aFFa3Fa平移绕质心轴转动平面运动450ABC解：1.受力分析2.运动分析3.动力学方程设定运动量FNmgABCaCxaCyα例7：质量m、长度l的均质杆初始时刻被光滑的水平面和绳索约束，平衡于图示位置。现突然将绳索剪断，试求剪断后瞬时A处的约束反力。ABCaCxaCyα4.补充方程：运动量间的关系以A为基点向y方向投影aAatCAaAy例7：质量m、长度l的均质杆初始时刻被光滑的水平面和绳索约束，平衡于图示位置。现突然将绳索剪断，试求剪断后瞬时A处的约束反力。解：450ABCFNmg练习：均质杆AB质量m,长l,B处为固定铰支座,A端被一个小环约束在半径为r的固定半圆形轨道上,OA与水平线夹角45º,试求突然去掉B处支座瞬时,AB杆的角加速度及A端受到的约束反力（不计摩擦）。ABOABOCmgFNaCxaCyaAaAABC450O练习：质量m、长度2l的均质杆被光滑的地面和绳索约束，从图示位置由静止开始运动。绳长l，与杆垂直。试求此时B处及绳索的约束反力。acxacyαABC450OacxacyαaAaAatCAFNBmgFAABC450OacxacyαaBaAaBatCB例8：质量m、半径r的均质圆轮被常力FT拉动在水平地面作纯滚动。试求圆心C的加速度和地面予圆轮的摩擦力。CFTFFNmg1.受力分析2.运动分析CaC设定运动量3.动力学方程4.补充方程解得：解：问1：是否对任意大小的FT，圆轮均作纯滚动？问2：圆轮作纯滚动的条件是什么？问3：当条件不满足时，问题如何求解？CFTFFNmgCaC解：讨论例8：质量m、半径r的均质圆轮被常力FT拉动在水平地面作纯滚动。试求圆心C的加速度和地面予圆轮的摩擦力。例9：质量m、半径r的均质圆轮被常力FT拉动在水平地面上运动。轮与地面间摩擦因数为fs。试求当

FT>3mgfs

时，圆心C的加速度。得解：补充方程：CFTFFNmgCaC例10：质量m、半径r的均质圆轮被常力FT拉动在水平地面上运动。轮与地面间摩擦因数为fs。试求圆心C的加速度。解：补充方程：

假设纯滚动条件：否则连滚带滑条件：CFTFFNmgCaC还有什么花样？CFTCFTCFTC例8：质量m、半径r的均质圆轮被常力FT拉动在水平地面作纯滚动。试求圆心C的加速度和地面予圆轮的摩擦力。CFTFFNmgCaC解：当刚体的速度瞬心I与质心的间距始终保持不变时，可以取瞬心I为矩心，建立相对于瞬心的动量矩定理：解：取整体为研究对象m1,rm2Om3ωm1,rm2Om3α例11：求图示系统中轮的角加速度及O支座处的约束反力。代入动量矩定理，得：建立质心运动定理：其中：方程可解。若分别取各部分为研究对象，该如何求解？并比较两种解法。CBAD例12：均质圆盘A、B重量分别为W1、W2，半径分别为R，r，求B下落时质心C的加速度。不计摩擦。vCBAW2

W1

FAxFAyTT´解：系统有两个独立的运动量，只取整个系统为研究对象时，求不出未知量。A轮：B轮：补充方程：

CDaCBaCatDCanDC以C为基点，分析B轮上D点加速度，得：θmgFN动力学方程θatan运动微分方程与约束力有关的方程解：1.用牛顿定律解之例4：质量m的质点从半径为r的半圆形光滑轨道上与铅